第2章 第2节 矩形的折叠-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

以壹学知道中考数学压轴题得高分 第2节 矩形的折叠 “矩形的折叠”是图形对称的重要组成部分，在了解了对称的性质后，结合矩形的性质，探究矩 形折叠的问题与方法， M处.若AB=4,BC=6,则CF= 》知识导航 与勾股定理、相似结合 ®例D(2024·泸州)宽与长的比是5,1的 2 矩形叫作黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀 C解析由题意得CM=2BC=3.设CF=x, 称的美感.如图，把黄金矩形ABCD沿对角线 则MF=DF=4-x.在Rt△CFM中，CF2十 AC翻折，点B落在点B'处，AB'交CD于点E, CM=MF2,即x2+32=(4-x),解得x=gy 则sin∠DAE的值为 :CF=8 7 B ®例3(2024·济南)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=√2，AD=2,E为边AD的中点，点F 在边CD上，连接EF,将△DEF沿EF翻折， B 点D的对应点为D',连接BD'.若BD'=2,则 A. DF= 5 c D26 5 ○解析不妨设AB=2,则BC=√5一1.由题意 得△ADE≌△CB'E,设DE=x,则AE= CE=2-x.在Rt△ADE中，AD2+DE2= AE2,即(5-1)2+x2=(2-x)2,解得x= ○解析如图，连接BE,则BE=√AB2十AE= 6,De-52,8 1 3 3.又D'E=DE=1,BD'=2,.BE2+ D'E2=BD'2,.∠BED'=90°.延长ED交CD sin∠DAE=5 · AB AE 于点G,可得△BAEn△EDG,DE-DG, ®例2(2024·徐州)如图，将矩形纸片 ABCD沿EF折叠，使点D落在边BC的中点 ∴.DG= .:∠GDF-∠GDE=90, 2 38☐ 第2章 几何变换 AGPFA6DEE-器- 点，不妨设AE=BE=x,设AG=1,则BC=2, 3 由题意得△GAE∽△EBC,得x2=2,∴.AE= 设DF=D'F=√2x,则FG=3x,∴.DG= BE=√2.由题意得GF⊥GE,EC⊥GE, 2+a-号-28 :.DF- ∴.GF∥EC,故结论①正确；由题意得AB= 2 √2AD,故结论②错误；由题意得△EAG∽ 2-2x23,-2)-月-2. GDr,能架得Dr-是义cE √AG2十AE2=√3，∴.GE=√6DF,故结论③正 确：由题意得OC=BC=2,OF=DF=2 0C=220P,故结论④正确；由题意得C卡 蜜思路点拔 矩形的四个角都是直角，翻折之后或可 EC,△COF与△CEG不相似，故结论⑤错 O 得到更多的直角，结合线段的信息，灵活运用 误.综上所述，正确的结论有①③④. 勾股定理与相似三角形，可解线段长问题 ≥3.翻折与“十字架”模型 ≥2.多次翻折必有中点 ®例5(2020·武汉)如图，折叠矩形纸片 ®例4(2022·连云港)如图，将矩形ABCD ABCD,使点D落在边AB上的点M处，EF为 沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都 折痕，AB=1,AD=2.设AM的长为t,用含有t 落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同 的式子表示四边形CDEF的面积是 时点E、O、F在另一条直线上，小炜同学得出以 下结论：①GF/C,②AB-gAD;⑤GE= √6DF;④OC=2√2OF;⑤△COF∽△CEG.其 中正确的是 ) C解析如图，连接DM,过点E作EH⊥BC 于点H. 由题意得△DAMp△EHF. AM=t,∴FH= 2 A.①②③ B.①③④ 设AE=x,则EM=ED=2一x. C.①④⑤ D.②③④ 在Rt△EAM中，AE2+AM2=EM,即x2+ C⊙解析由题意得E、G分别是AB、AD的中 t2=(2-x)2, 39 壹学知道中考数学压轴题得高分● 解得x=1-行DE=1+ 中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为 AB',折痕与边BC交于点P.当AB'与AB、AD 4+1+ .12 t 42 中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可 .S四边形CDEF= 2 ·12 以是 4+1. B B C解析由题意得AB'=AB,∴.点B'的轨迹是 以点A为圆心，AB为半径，且在AB右侧的圆 思路点拔 弧.当∠BAB'的度数为15°或75°或105°时，满 足题意，此时∠APB的度数为82.5°或52.5°或 压轴题的考点通常不是单一的，既要了 37.5°. 解对称的不同性质，也要学会将这3个性质 综合应用.另外，也要学会与其他几何内容结 合，如勾股定理、相似三角形等 ≥4.多解探究，从轨迹着手 ®例6(2025·江西)如图，在矩形纸片ABCD 40M )第2章 几何变换 》真题演练 1.(2023·大庆)在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张 矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN,点A的对应点记为 M,若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 E B M (第1题) (第2题) (第3题) 2.(2020·青岛)如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF,EF与AC交于点O.若 AE=5,BF=3,则AO的长为 () A.√5 B36 C.25 D.45 3.(2020·烟台)如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上 的点F处.若AB=3,BC=5,则tan∠DAE的值为 () A号 B.20 c 1 D.3 4.(2024·河南)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为 (一2,0)，点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处若点F的坐标为(0,6)，则点 E的坐标为 D E A B x G B (第4题) (第5题) (第6题) 5.(2020·潍坊)如图，矩形ABCD中，点G、E分别在边BC、DC上，连接AG、EG、AE,将△ABG 和△ECG分别沿AG、EG折叠，使点B、C恰好落在AE上的同一点，记为点F,若CE=3,CG= 4,则sin∠DAE= 6.(2022·金华)如图是一张矩形纸片ABCD,E为AD的中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折 叠，点AB的对应点分别为ABAE与BC相交于点GBA的延长线过点C若能-则 A把的值为 () A.2√2 B.40 0 8 5 C.7 D. 3 41 么壹学知道中考数学压轴题得高分 7.(2024·连云港)如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF, 连接BF.再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG.若G恰好为线段BC最 靠近点B的一个五等分点，AB=4,则BC的长为 D B G (第7题) (第8题) 8.(2025·宜宾)如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EF∥BD,把△ECF沿EF 翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上的点M处若A、M,E三点共线，则AC, DC的值为 9.(2024·湖北)在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点 A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为G,PG交BC于点H. (1)如图1，求证：△DEP∽△CPH. (2)如图2，当P为CD的中点，AB=2,AD=3时，求GH的长， (3)如图3，连接BG,当P、H分别为CD、BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明 理由. B H C B F B G G G 图1 图2 图3 42AP=AM=号4=号：如图4，当点P在边BC 延长线上时，设AF=5a,则AC'=12a,C'F=13a, 上时，过点D作DH⊥AA'于点H,则∠HAD+ BM+Mr=BM+Mr=12+5a,∴BM=号12+ ∠HDA=90°，：∠DPC+∠PDC=90°，∴∠DPC= 6).B25F-B'F-Bc'-BC. ∠DAA'=∠B,∴.AB∥DH,D是AC的中点，∴.P 是BC的中点，BP-8C-名i-5+号号综 13a12+50-8,12a-,AC-是综上所 5 述，AC'的长为写或亏· 2852 5 13 上所述，t的值为4或2 4 图3 图4 12.解析：(1)如图1，当点C与点A重合时，易知点N 图2 图3 与点D重合.设B'M=BM=x,则AM=12-x, AB'=BC=8.在Rt△AB'M中，AB2+BM=AM, 第2节矩形的折叠 即8+=12-z,解得-号即BM的长为号 1.△MCB 2.C解析：易证AF=AE=5,又BF=3,∴.AB=4, A(C D(N) BC=8,.AC=45,.AO=2√5. 3.D解析：由题意可得△AED≌△AEF,∴.AF= M AD=5,DE=EF,BF=4,.CF=1.设EF=x,则 C EC=3-x.在Rt△EFC中，CF2+EC2=EF2,即12+ 图1 （G-)=,解得x=号DE=EP=昌 (2)如图2，过点C作CH⊥AD于点H,则四边形 ABCH是矩形，.AH=BC=8,CH=AB=12, n∠DAE-86-号 DH-AD-AH-6,m∠ADC-8-号，48,10)得桥：设08=x,则BF=BC=BA=z十 2.在Rt△BOF中，OB2+OF2=BF2,即x2+62= tan∠ArC'=an∠ADC-号当点F在线段BA (x十2)2，解得x=8.记DC与y轴交于点G,则FG= 上时，设AF=5a,则AC'=12a,CF=13a,BF= 4又1am∠EG=1an∠OBF=,BG=3点 BM+MF=B'M+MF=12-5a,又，sin∠B'FM= E的坐标为(3,10). -号8M-号18-5a,BF-12, 5 7 5.25 解析：由题意可知，∠AGE=90°，BG=CG=4, :B'F+C'F=B'C=BC=8,1250+13a=8, 5 .△ABG∽△GCE..CE=3,CG=4,.AB= 12a-SAC-9:如图3，当点F在线段BA的 号8G-5DB-9-8-又：AD-8AE 中考数学压轴题得高分 ·10 罗m∠DAE=6 ∠DPA=90°-a,∴.∠PMC=∠PCM,∴.PM=PC. 6.A解析：连接CE,则△CDE≌△CA'g,A'C=设PM=PC=m,则MH=GH-号MG=2m, CD=AB=A'B',即A'是B'C的中点.A'G∥B'F, .G是CF的中点.设BF=2a,则FG=GC=3a, PH=m,∴CH=5。 2m,AD BC =2CH= B'F-BF=2a,AD=BC=8a,∴B'C=4W2a,5m.过点P作PQ⊥CM交CM于点Q,∴cos∠PCQ= AB=AB=2Ba,AD-)8g。产22·/ Cos∠DPA6,BG=CM=2CR=6● 3m.又：AB= 7.2W√10解析：由折叠可知AG⊥BF,可得△ABG∽2m,∴.AB=√6BC. △BCF,小2记-82设BG=a,题BC=5a,代入特 名-受解得a2 5a 5,∴BC=5a=210 解析：由题意得E、F分别是边BC、CD的中 点，不妨设AD=BC=2,则EM=EC=EB=1. 第3节旋转的性质与手拉手模型 :△MEB∽△MMD,8-8S-AM- 1.75°解析：由题意得∠O'AC'=∠OAC= 2∠BAC-25,·∠OA0'=∠OAC'-∠OAC'- 2EM=2,AE=3,∴AB=2W2,AD-2=2 DC222' 75°，即四边形ABOC旋转的角度是75°. 9.(1)解析：证明：由题意得∠EPH=90°，∠EPD+2.80°解析：：∠ABE=55°，.∠EBG=35, ∠CPH=90°.，∠EPD+∠DEP=90°，∴∠CPH=:∠BEF=∠BFE=45°，∴.∠EGC=∠EBG+ ∠DEP.又∠C=∠D=90°，∴.△DEP∽△CPH. ∠BEG=80°. (2:P是CD的中点，DP=CP=CD=AB= 3.D解析：如图，连接AD,交CC'于点O,由旋转的 性质得AC'=AC=4,∠AC'B′=∠ACB=90°， 1.设DE=x,则PE=AE=3-x.在Rt△DEP中，」 .∠AC'D=90°，.Rt△AC'D≌Rt△ACD(HL), DE+DP-PE2,即x2+1=(3-x)2,解得x=含， 4 .CD=CD=3,AD垂直平分CC',∴.CC'=2OC, AD⊥CC,∠ACB=90°，AC=4,CD=3,.AD= ADR-专，E-号：△DRPO△CPH,铝 5,又：SAm-AD·0C=日AC.CD,0C= DE,代入得HP=5, C GH-PG-HP-2- (3)如图，连接AP,则AP⊥EF,BG⊥EF,.AP∥ A00e0-8号cc=2x号0 AD 551 BG,∴.∠PAB+∠ABG=180°，∴.∠DAP=∠FBG. 设∠DAP=∠FBG=a,则∠EPA=∠DAP=Q, .∠APG=90°-a.过点C作CM∥BG交PG于点 M,则△CHM≌△BHG,∴.CM=BG.,BG∥AP, ∴.CM∥AP,∴.∠PMC=∠APG=90°-a,∠PCM= 中考数学压轴题得高分 ·11·