易错08 对称、平移、旋转（7大易错陷阱）（易错专练）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

易错08 对称、平移、旋转 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01：对称轴条数及点关于坐标轴对称的点判断错误 易错02：混淆轴对称、轴对称图形和中心对称 易错03：将军饮马问题不会套用模型 易错04：混淆点的平移规律和函数的平移规律 易错05：旋转作图做错 易错06：旋转对称图形的最小旋转角度误判 易错07：旋转角找错，混淆对应线段夹角 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 对称轴条数及点关于坐标轴对称的点判断错误 易错典例 【典例01】图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 【错因分析】坐标变换规则记忆模糊，出现横纵坐标变号混淆、符号方向错误；对常见图形的对称轴条数掌握不牢，凭直观印象判断，导致数量错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记口诀：“关于谁对称，谁不变，另一个变号”，关于轴对称不变，关于轴对称不变；平时熟记常见图形对称轴条数，做题时先画图标注坐标，再核对变号是否正确，做完反向检验是否对称。 【知识链接】 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点为，规律是横坐标不变，纵坐标变为相反数；点关于轴对称的点为，规律是纵坐标不变，横坐标变为相反数；轴对称图形的对称轴是直线，不同图形对称轴条数不同，如圆有无数条，等腰三角形有1条，矩形有2条。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·三模）分别连接等边三角形、平行四边形、矩形、正方形各边中点得到下列图形，其中对称轴条数最多的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江丽水·模拟预测）已知点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，那么点的坐标为__________． 3．（2024·浙江嘉兴·二模）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出关于轴对称的； (2)画出关于轴对称的； (3)求出的面积． 易错02 混淆轴对称、轴对称图形和中心对称 易错典例 【典例02】中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项属于轴对称图形的是（   ） A．优 B．秀 C．品 D．质 【错因分析】概念混淆，分不清“一个图形”和“两个图形”的区别，把轴对称图形与成轴对称混用；无法区分轴对称（关于直线）和中心对称（关于点）的本质差异。 避坑攻略 【技巧点拨】 判断时先看数量，一个图形用“轴对称图形/中心对称图形”，两个图形用“成轴对称/成中心对称”；记住关键词，轴对称看“直线折叠”，中心对称看“旋转180°重合”，逐一对应概念再下结论。 【知识链接】 轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能重合，是单个图形的性质；两个图形成轴对称是指两个图形沿一条直线折叠后能完全重合，是两个图形的位置关系；中心对称是一个图形绕某点旋转后与原图形重合，对称中心是点，旋转角度固定为。 类题巩固 1．（2025·浙江嘉兴·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江湖州·三模）窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是______（填序号）．    3．（2024·浙江湖州·二模）从镜子里看到的时间如图所示，则实际时间是________． 易错03 将军饮马问题不会套用模型 易错典例 【典例03】如图，在四边形中，，，M，N分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是 _______． 【错因分析】模型识别能力弱，无法从题目中提取定点、定直线、动点要素；不会用对称转化线段，不知道同侧要作对称点，异侧直接连线。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到“直线上找点使距离和最小”直接判定为将军饮马模型；先判断定点在直线同侧还是异侧，同侧作对称、异侧直接连；作图后验证对称点、连线、交点三步是否完整，用“两点之间线段最短”说明理由。 【知识链接】 将军饮马是利用轴对称转化线段，依据“两点之间线段最短”求最小值；两定点在直线两侧时，直接连线交点即为最小值点；两定点在直线同侧时，作其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点连线交点即为所求，最小值为对称点与定点连线的长度。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·期末）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 3．（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，是一个正方形格纸，中点坐标为，点的坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，和关于哪条直线对称？ (2)作出关于轴对称的图形； (3)在轴上求作一点，使的和最小． 易错04 混淆点的平移规律和函数的平移规律 易错典例 【典例04】在平面直角坐标系中，如果将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【错因分析】规律记忆混淆，把点的平移直接套用到函数上，或把函数平移用到点上，尤其左右平移方向最容易出错。 避坑攻略 【技巧点拨】 分开记忆，点平移看坐标“左减右加，上加下减”；函数平移看式子“左加右减自变量，上加下减整体”；做题先标明是“点平移”还是“函数平移”，再代入对应规律，简单画图验证位置是否正确。 【知识链接】 点的平移规律为横坐标左减右加，纵坐标上加下减；函数图像平移规律为自变量左加右减，函数整体上加下减，两者在横坐标方向规则相反。 类题巩固 1．（2026·浙江嘉兴·期中）将表达式为的抛物线经过平移后得到表达式为的抛物线，则平移的方向和距离是（　　） A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 2．（2025·浙江舟山·一模）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为． (1)填空：点A的坐标是______，点B的坐标是 ． (2)将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到．设点是内部一点，则平移后对应点的坐标为______． (3)的面积是______． 3．（2025·浙江衢州·三模）探索阅读以下材料： 将直线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，求平移后直线的解析式． 解：在直线上任取两点， 由题意知，点， ． 设平移后直线的解析式为． ∵平移后直线经过点， ，解得， ∴平移后直线的解析式为． 应用  请仿照以上提供的信息解决问题； 将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求平移后直线的解析式． 易错05 旋转作图做错 易错典例 【典例05】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将线段向右平移3个单位，得到，请画出； (2)以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，画出． 【错因分析】 漏看旋转方向（顺时针/逆时针）或旋转角度，导致作图偏差；忘记对应点到中心距离相等，线段截取错误；关键点找不全，图形连接出错。 避坑攻略 【技巧点拨】 作图前先圈出三要素“中心、方向、角度”；每个关键点都绕中心旋转相同角度，用圆规保证距离相等；按顺序连接对应点，完成后检查旋转角与线段长度是否一致。 【知识链接】 旋转三要素为旋转中心、旋转方向、旋转角度，三者确定旋转位置唯一；旋转前后图形全等，对应点到旋转中心距离相等，对应旋转角相等；作图步骤为找关键点→作旋转角→截取等长线段→顺次连接。 类题巩固 1．（2025·浙江舟山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于点，将绕原点逆时针旋转，得到． (1)画出； (2)直接写出点和点的坐标； (3)直接写出线段旋转到线段所扫过的区域的面积（结果保留）． 2．（2025·浙江丽水·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，，，，是格点（网格线的交点），其中点的坐标为． (1)以点为旋转中心，将旋转得到，画出，并写出的坐标； (2)仅用无刻度直尺在上找一点，使得． 3．（2026·浙江台州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出与关于原点对称的，写出点、的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后的． 易错06 旋转对称图形的最小旋转角度误判 易错典例 【典例06】利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如下图2中的图案可以由图1中的基本图案以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角，依次旋转四次形成，则旋转角的值不可能是（    ）    A． B． C． D． 【错因分析】不会找对称分支数，直接用边数计算导致错误；误把当作最小旋转角，忽略“小于”的要求。 避坑攻略 【技巧点拨】 先数图形的重复单元数（分支数），用除以该数得到最小角度；判断结果必须满足最小旋转角，不符合则重新数分支数。 【知识链接】 旋转对称图形是绕中心旋转一定角度（小于）后与自身重合的图形；最小旋转角对称分支数（或边数/花瓣数等重复单元数）；最小旋转角必须大于且小于。 类题巩固 1．（2025·浙江湖州·一模）如图，经过旋转后到达的位置，，下列说法错误的是（　　） A．点是旋转中心 B．是一个旋转角 C．顺时针旋转，则至少旋转 D．逆时针旋转，则至少旋转 2．（2025·浙江丽水·三模）如图，已知点O是等边三角形三条高的交点，现将绕点O旋转，使其和重合，则至少应旋转（   ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江温州·二模）如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为__________°． 易错07 旋转角找错，混淆对应线段夹角 易错典例 【典例07】如图，中，，，将绕点B逆时针旋转，得到，旋转角为．点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，延长交边于点F，连接，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【错因分析】把图形内角当成旋转角，找错对应点导致角度判断错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 找旋转角先定位旋转中心与对应点，连接中心与两组对应点，形成的角才是旋转角；多个角度时核对是否相等，避免用内角代替旋转角。 【知识链接】 旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，也是对应线段所在直线的夹角，所有旋转角都相等；旋转角不等于图形内角，需严格按对应点确定。 类题巩固 1．（2024·浙江舟山·模拟预测）如图，是由绕点顺时针旋转一定的角度得到的，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论中正确的是（   ） A．次轴对称 B．次平移和次轴对称 C．次轴对称 D．以上都不对 2．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，将绕顶点顺时针方向旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江湖州·二模）如图，将绕直角顶点顺时针旋转得到，连接．若，则的度数为__________． 易●错●闯●关 1．（2024·浙江舟山·期末）在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 ____________条．（写出所有可能的条数） 2．（2024·浙江金华·一模）一个正n边形绕它的中心至少旋转18°才能与原来的图形完全重合，则n的值为_____． 3．（2024·浙江杭州·期末）如果将点向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，恰好落在原点处，那么______． 4．（2025·浙江丽水·期末）已知点和关于x轴对称，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 5．（2025·浙江丽水·三模）如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是______（填序号）． 6．（2025·浙江舟山·期末）如图是一个报警装置，由一个正六边形的可旋转阀门和一个触碰装置组成，且，将阀门绕其中心旋转，当正六边形的顶点恰好与重合时，报警器会发出警报，此时阀门至少旋转了________度． 7．（2025·浙江台州·二模）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 8．（2024·浙江温州·期中）如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D．9 9．（2025·浙江湖州·一模）如图，在中，．将绕点顺时针旋转，使的对应边经过点，连接．若，则的度数为（） A． B． C． D． 10．（2025·浙江绍兴·二模）如图，某学校甲、乙两栋教学楼分别位于校内一条封闭式道路的两旁，现规划修建一座垂直于道路两旁的过路天桥，要求天桥建成后甲到乙的路程最短．则甲到乙的最短路程为_________． 11．（2025·浙江丽水·期末）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 12．（2025·浙江丽水·一模）如图1是市内某区域的平面示意图．小明建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示部分学校的位置．已知点，． (1)在图2中补全平面直角坐标系，并直接写出点B，C的坐标； (2)连接，将三角形沿直线平移，点C与点D重合，画出平移后的三角形（点B的对应点是点E）； (3)点M是x轴上一点，且满足三角形的面积等于4，直接写出点M的坐标． 13．（2024·浙江丽水·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，其中格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于原点顺时针旋转的并直接写出直线与直线的关系； (3)连接并求的面积， 14．（2025·浙江丽水·三模）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，画出的位似图形，使与位于点的两侧，且与的相似比为； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错08 对称、平移、旋转 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01：对称轴条数及点关于坐标轴对称的点判断错误 易错02：混淆轴对称、轴对称图形和中心对称 易错03：将军饮马问题不会套用模型 易错04：混淆点的平移规律和函数的平移规律 易错05：旋转作图做错 易错06：旋转对称图形的最小旋转角度误判 易错07：旋转角找错，混淆对应线段夹角 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 对称轴条数及点关于坐标轴对称的点判断错误 易错典例 【典例01】图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【详解】解：如图，对称轴一共有5条． 【错因分析】坐标变换规则记忆模糊，出现横纵坐标变号混淆、符号方向错误；对常见图形的对称轴条数掌握不牢，凭直观印象判断，导致数量错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记口诀：“关于谁对称，谁不变，另一个变号”，关于轴对称不变，关于轴对称不变；平时熟记常见图形对称轴条数，做题时先画图标注坐标，再核对变号是否正确，做完反向检验是否对称。 【知识链接】 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点为，规律是横坐标不变，纵坐标变为相反数；点关于轴对称的点为，规律是纵坐标不变，横坐标变为相反数；轴对称图形的对称轴是直线，不同图形对称轴条数不同，如圆有无数条，等腰三角形有1条，矩形有2条。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·三模）分别连接等边三角形、平行四边形、矩形、正方形各边中点得到下列图形，其中对称轴条数最多的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接等边三角形各边中点得到的图形是等边三角形，共有三条对称轴； 连接平行四边形各边中点得到的图形是平行四边形，不是轴对称图形，没有对称轴； 连接矩形各边中点得到的图形是菱形，共有两条对称轴； 连接正方形各边中点得到的图形是正方形，共有四条对称轴； 所以对称轴条数最多的图形是D． 故选：D． 2．（2025·浙江丽水·模拟预测）已知点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，那么点的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：∵点关于轴的对称点为， ∴点Q的坐标为， ∵点Q关于轴的对称点为， ∴点Q的坐标为， ∴点Q的坐标为． 3．（2024·浙江嘉兴·二模）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出关于轴对称的； (2)画出关于轴对称的； (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的面积为 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：的面积为． 易错02 混淆轴对称、轴对称图形和中心对称 易错典例 【典例02】中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项属于轴对称图形的是（   ） A．优 B．秀 C．品 D．质 【答案】C 【详解】解：A 、“优”不存在直线能使折叠后直线两旁部分完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； B、“秀”不存在直线能使折叠后直线两旁部分完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； C、“品”沿竖直中线折叠后，直线两旁部分可完全重合，是轴对称图形，符合题意； D、“质”不存在直线能使折叠后直线两旁部分完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； 【错因分析】概念混淆，分不清“一个图形”和“两个图形”的区别，把轴对称图形与成轴对称混用；无法区分轴对称（关于直线）和中心对称（关于点）的本质差异。 避坑攻略 【技巧点拨】 判断时先看数量，一个图形用“轴对称图形/中心对称图形”，两个图形用“成轴对称/成中心对称”；记住关键词，轴对称看“直线折叠”，中心对称看“旋转180°重合”，逐一对应概念再下结论。 【知识链接】 轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能重合，是单个图形的性质；两个图形成轴对称是指两个图形沿一条直线折叠后能完全重合，是两个图形的位置关系；中心对称是一个图形绕某点旋转后与原图形重合，对称中心是点，旋转角度固定为。 类题巩固 1．（2025·浙江嘉兴·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2．（2025·浙江湖州·三模）窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是______（填序号）．    【答案】②③④ 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称．    故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 3．（2024·浙江湖州·二模）从镜子里看到的时间如图所示，则实际时间是________． 【答案】 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 易错03 将军饮马问题不会套用模型 易错典例 【典例03】如图，在四边形中，，，M，N分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是 _______． 【答案】/68度 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接， 由对称性知：， ， 当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ， ， ， ， ， ， ， 此时． 故答案为：． 【点睛】本题考查对称和最短路径问题，核心是两次轴对称，把三角形周长转化为两点间距离． 【错因分析】模型识别能力弱，无法从题目中提取定点、定直线、动点要素；不会用对称转化线段，不知道同侧要作对称点，异侧直接连线。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到“直线上找点使距离和最小”直接判定为将军饮马模型；先判断定点在直线同侧还是异侧，同侧作对称、异侧直接连；作图后验证对称点、连线、交点三步是否完整，用“两点之间线段最短”说明理由。 【知识链接】 将军饮马是利用轴对称转化线段，依据“两点之间线段最短”求最小值；两定点在直线两侧时，直接连线交点即为最小值点；两定点在直线同侧时，作其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点连线交点即为所求，最小值为对称点与定点连线的长度。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·期末）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 2．（2024·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【答案】10 【详解】解：如图，连接． ∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵， ∴的最小值为10． 3．（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，是一个正方形格纸，中点坐标为，点的坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，和关于哪条直线对称？ (2)作出关于轴对称的图形； (3)在轴上求作一点，使的和最小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】 【详解】（1）解：根据中点坐标为，点的坐标为， 建立平面直角坐标系如下图， 如图所示，点的坐标为，点的坐标分别为， 和的对应点的连线被y轴垂直平分， ∴和关于y轴对称； （2）解：如图，的三点关于轴对称的对应点分别为 ，连接对应点得，即为所求； （3）解：如图，作关于轴的对称点， 和关于轴对称，点M在x轴上， ， ， 当在一条直线上时，最小， 连接，和轴的交点即为所求点，此时最小． 易错04 混淆点的平移规律和函数的平移规律 易错典例 【典例04】在平面直角坐标系中，如果将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵向右平移个单位长度，横坐标加，再向下平移个单位长度，纵坐标减． 又∵点坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∴的坐标为． 【错因分析】规律记忆混淆，把点的平移直接套用到函数上，或把函数平移用到点上，尤其左右平移方向最容易出错。 避坑攻略 【技巧点拨】 分开记忆，点平移看坐标“左减右加，上加下减”；函数平移看式子“左加右减自变量，上加下减整体”；做题先标明是“点平移”还是“函数平移”，再代入对应规律，简单画图验证位置是否正确。 【知识链接】 点的平移规律为横坐标左减右加，纵坐标上加下减；函数图像平移规律为自变量左加右减，函数整体上加下减，两者在横坐标方向规则相反。 类题巩固 1．（2026·浙江嘉兴·期中）将表达式为的抛物线经过平移后得到表达式为的抛物线，则平移的方向和距离是（　　） A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】D 【详解】解：原抛物线 的顶点坐标为． 平移后抛物线可化为，顶点坐标为． ∵顶点从平移到， ∴x坐标减少2，即向左平移2个单位；y坐标减少3，即向下平移3个单位． ∴平移的方向和距离是向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． 故选：D． 2．（2025·浙江舟山·一模）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为． (1)填空：点A的坐标是______，点B的坐标是 ． (2)将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到．设点是内部一点，则平移后对应点的坐标为______． (3)的面积是______． 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】 【详解】（1）解：点A的坐标是，点B的坐标是； （2）解：由题意得，点平移后对应点的坐标为； （3）解： ． 3．（2025·浙江衢州·三模）探索阅读以下材料： 将直线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，求平移后直线的解析式． 解：在直线上任取两点， 由题意知，点， ． 设平移后直线的解析式为． ∵平移后直线经过点， ，解得， ∴平移后直线的解析式为． 应用  请仿照以上提供的信息解决问题； 将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求平移后直线的解析式． 【答案】平移后直线的解析式为 【详解】解：在直线上任取两点， 由题意知，点， ． 设平移后直线的解析式为． ∵平移后直线经过点， ， 解得， ∴平移后直线的解析式为． 易错05 旋转作图做错 易错典例 【典例05】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将线段向右平移3个单位，得到，请画出； (2)以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，画出． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】 【详解】（1）解：线段如图所示： （2）解：如图所示： 【错因分析】 漏看旋转方向（顺时针/逆时针）或旋转角度，导致作图偏差；忘记对应点到中心距离相等，线段截取错误；关键点找不全，图形连接出错。 避坑攻略 【技巧点拨】 作图前先圈出三要素“中心、方向、角度”；每个关键点都绕中心旋转相同角度，用圆规保证距离相等；按顺序连接对应点，完成后检查旋转角与线段长度是否一致。 【知识链接】 旋转三要素为旋转中心、旋转方向、旋转角度，三者确定旋转位置唯一；旋转前后图形全等，对应点到旋转中心距离相等，对应旋转角相等；作图步骤为找关键点→作旋转角→截取等长线段→顺次连接。 类题巩固 1．（2025·浙江舟山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于点，将绕原点逆时针旋转，得到． (1)画出； (2)直接写出点和点的坐标； (3)直接写出线段旋转到线段所扫过的区域的面积（结果保留）． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，∵点，且轴， ∴，根据勾股定理，得， 在中，， ∴， 则，即为所求作； （2）解：根据旋转可得， 过点作轴于点C， 则， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， ∴点； （3）解：如图，线段旋转到所扫过的区域是以点O为圆心，为半径，且圆心角是的扇形， 所以其面积． 2．（2025·浙江丽水·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，，，，是格点（网格线的交点），其中点的坐标为． (1)以点为旋转中心，将旋转得到，画出，并写出的坐标； (2)仅用无刻度直尺在上找一点，使得． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：如图所示，点E即为所求； 3．（2026·浙江台州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出与关于原点对称的，写出点、的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后的． 【答案】(1)图见解析，， (2)图见解析 【详解】（1）解：根据题意可得，，， 故画图如下： 即为所求，且，． （2）解：根据题意可得，，，， 故画图如下： 即为所求． 易错06 旋转对称图形的最小旋转角度误判 易错典例 【典例06】利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如下图2中的图案可以由图1中的基本图案以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角，依次旋转四次形成，则旋转角的值不可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知旋转后的图形内部是正五边形， ∴（且为正整数）， 当时，， 当时，， 当时，， ∴不可能是， 故选：A． 【错因分析】不会找对称分支数，直接用边数计算导致错误；误把当作最小旋转角，忽略“小于”的要求。 避坑攻略 【技巧点拨】 先数图形的重复单元数（分支数），用除以该数得到最小角度；判断结果必须满足最小旋转角，不符合则重新数分支数。 【知识链接】 旋转对称图形是绕中心旋转一定角度（小于）后与自身重合的图形；最小旋转角对称分支数（或边数/花瓣数等重复单元数）；最小旋转角必须大于且小于。 类题巩固 1．（2025·浙江湖州·一模）如图，经过旋转后到达的位置，，下列说法错误的是（　　） A．点是旋转中心 B．是一个旋转角 C．顺时针旋转，则至少旋转 D．逆时针旋转，则至少旋转 【答案】B 【详解】解：A、经过旋转后到达的位置，则旋转中心为点，说法正确，故该选项不符合题意； B、，是旋转角，原说法错误，故该选项符合题意； C、由可得，顺时针旋转，则至少旋转，说法正确，故该选项不符合题意； D、由可得，逆时针旋转，则至少旋转，说法正确，故该选项不符合题意 故选：B 【点睛】本题考查了旋转三要素：找旋转中心、旋转角和对应点，解题关键是熟练掌握旋转三要素． 2．（2025·浙江丽水·三模）如图，已知点O是等边三角形三条高的交点，现将绕点O旋转，使其和重合，则至少应旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵点O是等边三角形三条高的交点， ∴、平分和， ∴， ∴， ∴绕点O旋转可与重合， ∴至少应旋转． 故选B． 3．（2024·浙江温州·二模）如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为__________°． 【答案】 【详解】解：如图，设正方形①、②、③的对角线交点分别为，连接，，， ∵正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称， ∴必过点A，必过点B，且， ∴， 由图可知，正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为， 故答案为： 易错07 旋转角找错，混淆对应线段夹角 易错典例 【典例07】如图，中，，，将绕点B逆时针旋转，得到，旋转角为．点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，延长交边于点F，连接，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由旋转的性质知，， ， 故A正确； 过点B作于点H，作于点G， ， ， 、， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 故C正确； 、， ， 在四边形中，， ， ， 故D正确； 若，则或， ， ， 当时，旋转角或， ，不一定为或， 不一定平行于， 故B不一定正确． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、四边形内角和、平行线的性质，熟练掌握相关性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 【错因分析】把图形内角当成旋转角，找错对应点导致角度判断错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 找旋转角先定位旋转中心与对应点，连接中心与两组对应点，形成的角才是旋转角；多个角度时核对是否相等，避免用内角代替旋转角。 【知识链接】 旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，也是对应线段所在直线的夹角，所有旋转角都相等；旋转角不等于图形内角，需严格按对应点确定。 类题巩固 1．（2024·浙江舟山·模拟预测）如图，是由绕点顺时针旋转一定的角度得到的，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论中正确的是（   ） A．次轴对称 B．次平移和次轴对称 C．次轴对称 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：如图，连接、，设， ∵是由绕点顺时针旋转一定的角度得到的， ∴与的形状不变，，，， 过点作直线平分，作与关于直线对称，连接，设， ∴与形状不变，，，，， ∴，，与形状不变， ∴点与点重合，连接得射线，则点与点关于直线对称， ，， ∴， ， ∴， ∴点与点关于直线对称， 按同样的方法知：点与点关于直线对称， ∴与关于直线对称， 综上所述，可以看作是经过次轴对称的变换得到． 2．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，将绕顶点顺时针方向旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∵将绕顶点顺时针方向旋转后得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·浙江湖州·二模）如图，将绕直角顶点顺时针旋转得到，连接．若，则的度数为__________． 【答案】 【详解】解：将绕直角顶点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， ∴． 易●错●闯●关 1．（2024·浙江舟山·期末）在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 ____________条．（写出所有可能的条数） 【答案】、1、2或3 【分析】 【详解】根据三个圆的位置关系，图形的对称轴可能有以下几种情况： ①三个圆圆心在一条直线上，如图： 对称轴共1或2条； ②三个圆圆心构成不等边三角形， 此情况下0条对称轴； ③三个圆圆心构成等腰三角形，如图：． ④三个圆圆心构成等边三角形：如图： 对称轴有3条； 综上所述，所画图形的对称轴可能为0条、1条、2条或3条； 故答案为：0、1、2或3； 2．（2024·浙江金华·一模）一个正n边形绕它的中心至少旋转18°才能与原来的图形完全重合，则n的值为_____． 【答案】20 【详解】解：正多边形中绕中心至少旋转18°后能和原来的图形相互重合则中心角360°除以边数结果是18，则n=20， , 故答案为：20． 【点睛】本题考查了旋转对称图形，熟记概念并求出各图形的旋转角的度数是解题的关键． 3．（2024·浙江杭州·期末）如果将点向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，恰好落在原点处，那么______． 【答案】1 【详解】解：∵点向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到，即， 又∵平移后恰好落在原点上， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：1． 4．（2025·浙江丽水·期末）已知点和关于x轴对称，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：根据关于x轴对称的点的坐标规律可得，， ∴． 5．（2025·浙江丽水·三模）如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是______（填序号）． 【答案】③ 【详解】解：对折后不能重合， ③对折后能重合， 故答案为：③． 6．（2025·浙江舟山·期末）如图是一个报警装置，由一个正六边形的可旋转阀门和一个触碰装置组成，且，将阀门绕其中心旋转，当正六边形的顶点恰好与重合时，报警器会发出警报，此时阀门至少旋转了________度． 【答案】 【分析】 【详解】解：如下图所示，连接、、、， 六边形是正六边形，点是正六边形的中心， ，， 点在的垂直平分线上， 又， 点在的垂直平分线上， 连接，则是的垂直平分线， ， 阀门至少顺时针旋转. 故答案为：． 7．（2025·浙江台州·二模）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 【答案】 【详解】解：实际车牌号是． 故答案为：． 8．（2024·浙江温州·期中）如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴． 9．（2025·浙江湖州·一模）如图，在中，．将绕点顺时针旋转，使的对应边经过点，连接．若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，，， ． 由旋转的性质可知，，． ． 10．（2025·浙江绍兴·二模）如图，某学校甲、乙两栋教学楼分别位于校内一条封闭式道路的两旁，现规划修建一座垂直于道路两旁的过路天桥，要求天桥建成后甲到乙的路程最短．则甲到乙的最短路程为_________． 【答案】 【详解】解：如图，将点乙（点）沿垂直于道路方向向上平移得到点，连接， 由平移的性质可知，除去天桥长度外，甲到乙的最短路径即为线段的长度，天桥长度等于的长度， ，， 根据勾股定理，得， 则甲到乙的最短路程为． 11．（2025·浙江丽水·期末）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 【答案】见解析 【详解】解：如下图，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明：如下图，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点，的对称轴，点，在上， ∴，， ∴． 在中，∵， ∴，即最小． 12．（2025·浙江丽水·一模）如图1是市内某区域的平面示意图．小明建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示部分学校的位置．已知点，． (1)在图2中补全平面直角坐标系，并直接写出点B，C的坐标； (2)连接，将三角形沿直线平移，点C与点D重合，画出平移后的三角形（点B的对应点是点E）； (3)点M是x轴上一点，且满足三角形的面积等于4，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3)或 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴点M的横坐标为或点M的横坐标为， ∴点M的坐标为或． 13．（2024·浙江丽水·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，其中格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于原点顺时针旋转的并直接写出直线与直线的关系； (3)连接并求的面积， 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)1 【分析】 【详解】（1）解：如图，建立直角坐标系如下： （2）解：如图，即为所求 直线与直线的关系为； （3）解：如图， . 14．（2025·浙江丽水·三模）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，画出的位似图形，使与位于点的两侧，且与的相似比为； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图：即为所求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $