因式分解：提公因式法、公式法、探究性问题专项训练-2025-2026学年 人教版八年级数学上册

因式分解：提公因式法、公式法、探究性问题专项训练 因式分解：提公因式法、公式法、探究性问题专项训练 考点目录 利用提公因式法进行因式分解 利用公式法进行因式分解 提公因式法与公式法的综合应用 因式分解中的探究性问题 考点一 利用提公因式法进行因式分解 例1．（25-26八年级上·湖南·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了提公因式，解题的关键在于理解公因式的概念． 确定公因式需考虑系数和字母部分：系数取最大公约数，字母取最低次数，并注意首项符号． 【详解】解：多项式的各项系数为、16、12，最大公约数为4， 首项为负，故系数取； 字母的最低次幂为， 公因式为． 故选D． 例2．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 多项式各项系数为、、12，最大公因数为 ， 各项共有字母为a和b， a的最小指数为2，b的最小指数为2， ∴ 公因式为． 故选：D． 例3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（   ） A．3 B． C． D．x 【答案】B 【详解】解：多项式 中，系数3和9的最大公因数为3，字母部分和的公因式为， 多项式中公因式为， 故选：B． 例4．（25-26八年级上·山东淄博·月考）多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 例5．（25-26八年级上·山东日照·期中）计算：等于 ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为： 例6．（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 例7．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（25-26八年级上·四川内江·阶段练习）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A． 左边为单项式，因式分解对象应为多项式，故此选项错误； B． 为分式，非整式，不符合因式分解要求，故此选项错误； C． 左边为多项式，右边分解为与的乘积，均为整式，符合因式分解定义，故此选项正确； D． 仍包含加法运算，未完全转化为积的形式，故此选项错误； 故选：C． 变式2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）因式分解的最终结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ． 故选：D． 变式3．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 变式4．（2025·江西抚州·二模）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：原式． 故答案为：． 变式5．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）已知，，则 ． 【答案】120 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 变式6．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式7．（24-25七年级下·广西百色·期末）（1）化简：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）原式 （2）原式 考点二 利用公式法进行因式分解 例1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）下列式子能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.该选项不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B. 该选项为完全平方形式，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C. 该选项不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D.∵ ，符合平方差公式， ∴ 可分解为 ； 故选：D． 例2．（25-26八年级上·福建福州·期中）当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解： ， 为自然数， 为整数， 能被4整除， 因此，原式一定能被4整除． 故选：B． 例3．（25-26九年级上·广西南宁·期中）因式分解：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 故选：A． 例4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于x的多项式能用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴． 故答案为：． 例5．（25-26八年级上·北京·期中）已知，则 ． 【答案】18 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故答案为：18． 例6．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）分解因式及利用因式分解计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例7．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）（1）因式分解： （2）因式分解： 【答案】（1） （2） 【详解】解；（1）原式 ； （2）原式=+ ． 变式1．（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A：，常数项不是平方数，且无法配成完全平方，故不符合题意； B：，若，则，但，故不符合题意； C：，∵ ，且，∴ 符合完全平方公式，即； D：，若 ，则，但，故不符合题意． ∴ 能用完全平方公式因式分解的是C， 故选：C． 变式2．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（    ） A．1 B．8 C． D． 【答案】D 【详解】根据完全平方公式，可知． 故选：D． 变式3．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）老师在课堂上布置了如图所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：①，它是利用平方差公式因式分解的，不符合题意； ②，它不是利用平方差公式因式分解的，符合题意； ③，它是利用平方差公式因式分解的，不符合题意； ④，它是利用平方差公式因式分解的，不符合题意； 故选：B． 变式4．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知，则 ． 【答案】3 【详解】解：∵且，， ∴； 故答案为：3． 变式5．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）因式分解： ． 【答案】/ 【详解】解：． 故答案为：． 变式6．（25-26八年级上·海南海口·期中）因式分解下列各式或计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 变式7．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 考点三 提公因式法与公式法的综合应用 例1．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）下列因式分解正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故此选项正确； B、，故此选项错误； C、，原式漏项，故此选项错误； D、，不是因式分解，是整式的乘法，故此选项错误； 故选：A． 例2．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）将多项式分解因式，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ． 故选：D． 例3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）若，，则的值为（  ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 又，， 原式， 故选：C． 例4．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 例5．（25-26八年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 例6．（25-26八年级上·福建泉州·月考）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 例7．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 例8．（25-26八年级上·云南昆明·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（25-26八年级上·海南海口·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A: ， A错误； B: ，B正确； C: ， C错误； D: ， D错误； 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·上海·期中）下列分解因式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故A项正确，不符合题意； B、，故B项正确，不符合题意； C 、，故C项不正确，符合题意； D、，故D项正确，不符合题意． 故选：C． 变式3．（25-26八年级上·山东泰安·阶段练习）下列各式：①，②，③，④分解因式正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①：右边展开为：，与左边不符，故①错误； ②：左边展开为：， 右边展开为：，与左边相等，故②正确； ③：右边展开为：，与左边不符，故③错误； ④：右边展开为：，与左边相等，故④正确； 综上，正确的有②和④，共2个， 故选B． 变式4．（2025·甘肃武威·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：原式． 故答案为：． 变式5．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 变式6．（25-26八年级上·福建福州·期中）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 变式7．（25-26八年级上·四川内江·期中）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式8．（25-26八年级上·福建泉州·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 考点四 因式分解中的探究性问题 例1．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 例2．（25-26八年级上·重庆·期中）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题， 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，则________； (2)已知有因式和，求、的值； (3)已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式． 【答案】(1)7 (2) (3)，该多项式分解因式为： 【详解】（1）由题设知：， 故， 解得． 故答案为：7； （2）设（A为整式）， 分别令和得： ， 解得：， ∴； （3）设， ∵ ， ∴， 解得：， ∴多项式， ∴ ， ∴，该多项式分解因式为：． 例3．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）定义：若多项式有一个大于1的整数因式，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． (1)当，为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有________． ①  ②  ③  ④ (2)若关于的多项式是的完美多项式，求的值． (3)已知正整数，，满足不等式，且，若关于的多项式（为常数）是的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为，求，的值． 【答案】(1)②④ (2) (3)， 【详解】（1）解：①，是一个单项式，故①不符合题意； ②，该式有因子，是的半完美多项式，故②符合题意； ③，没有等于的因子，故③不符合题意； ④，因为，为整数，所以与中必有一个为偶数，则是2的倍数，所以是16的倍数，是的半完美多项式，故④符合题意； 故答案为：②④； （2）解：设 ， ； （3）解：， ， ，为正整数， 当时，， 当取其它值时，与题意不符，舍去； ， 是的完美多项式 此完美多项式的另一个因式为， 且最小值为， ， ． 例4．（25-26八年级上·北京·期中）“回文”是汉语的一种修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷．例如：处处飞花飞处处，源源碧水碧源源．数学中，也有一种类似具有对称性的自然数，其正读和反读的结果一样，如22、585等，我们将这类自然数称为回文数．回文数在数学、计算机科学等领域均具有研究意义． (1)下列数是回文数的是_____（填写序号）； ①66    ②101    ③2929    ④1331 (2)两位回文数显然都是11的倍数．若将个位数字和十位数字分别为，的四位回文数记为．求证：所有的四位回文数都是11的倍数； (3)我们把既是回文数又是某个整数的平方的数称为平方回数（如）．若一个两位数的个位为5，那么它的平方是否可能是平方回数？如果是，请举出例子；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)①②④ (2)见解析 (3)不可能 【详解】（1）解：根据题意可得66，101，1331是回文数， 故选：①②④； （2）证明：设四位回文数为 ，其值可表示为。 ∵ ， ∴ 是11的倍数。 故所有四位回文数都是11的倍数； （3）解：设这个两位数为，则可表示为，且为整数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 所以若一个两位数的个位为5，那么它的平方不可能是平方回数． 例5．（25-26八年级上·吉林长春·期中）图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： (1)用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为 ． (2)如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 【答案】(1) (2)①；②图②中空白部分图形的面积为 【详解】（1）解：由题意知，将图①中的大长方形拆分成不同的小正方形和长方形，此时表示的面积为，已知图①大长方形的长为，宽为，则面积为， ∴， 故答案为：． （2）解：①由图②可知，， 故答案为：． ②由题意知，阴影面积表示为， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴图②中空白部分图形的面积为． 变式1．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： ． 例2：若，求M的最小值． ∵，， ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)当，时，多项式有最小值，最小值为3 (3)周长的最大值为13 【详解】（1）解： ； （2） ， 当，时，多项式的最小值为3； （3）∵， ∴， ∴， ∴，． ∴， ∵c是正整数， ∴当时，周长取最大值， ∴周长的最大值． 变式2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法：． 仔细阅读以上内容，解决下面问题： (1)因式分解：_____． (2)已知：、、为的三条边，，求的周长． 【答案】(1) (2)10 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∴， ∴， ，，， ，，， ∴，，， ， 故的周长为：10． 变式3．（25-26八年级上·四川内江·期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如： ③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项；2．分解常数项；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．得出原二次三项式的两个因式． 例如： 分析： 解：原式 (1)仿照以上方法，按照要求分解因式：（写出过程） ①（分组分解法） ②（拆项法） ③= ． (2)已知：、、为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)①，②，③ (2)7 【详解】（1）解：① ； ② ； ③； 故答案为：，， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴． ∴的周长为7． 变式4．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． 例如：，，都把一个多项式进行了因式分解． 现有图1中的A、B、C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例如：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，即多项式因式分解的结果为． 请回答下列问题： 【小试牛刀】 （1）根据图3拼图，多项式因式分解的结果是 ． 【自主探索】 （2）请利用图1中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式因式分解的结果； 【拓展应用】 （3）某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为b的均匀泥路（如图5），求剩余草皮面积． 【答案】（1）；（2）示意图见解析，；（3） 【详解】解：（1）由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， ∴图3的面积为， 又∵图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ， 故答案为：； （2）图形如下： ， （3）由图可知：剩余草皮面积为 ． 变式5．（25-26八年级上·吉林长春·期中）阅读材料：把的式子叫做完全平方式有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． 用配方法分解因式：． 解：． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ．，即的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为__________； (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值； (4)若实数，满足，则的最小值为__________ 【答案】(1)4 (2) (3)2 (4)6 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ， ， ； （2）解： ； （3）解： ， ， ， 的最小值为2； （4）解： ， ， ， ， 的最小值为6． 2 学科网（北京）股份有限公司 $因式分解：提公因式法、公式法、探究性问题专项训练 因式分解：提公因式法、公式法、探究性问题专项训练 考点目录 利用提公因式法进行因式分解 利用公式法进行因式分解 提公因式法与公式法的综合应用 因式分解中的探究性问题 考点一 利用提公因式法进行因式分解 例1．（25-26八年级上·湖南·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（   ） A．3 B． C． D．x 例4．（25-26八年级上·山东淄博·月考）多项式分解因式的结果是 ． 例5．（25-26八年级上·山东日照·期中）计算：等于 ． 例6．（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 例7．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 变式1．（25-26八年级上·四川内江·阶段练习）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）因式分解的最终结果是（   ） A． B． C． D． 变式3．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 变式4．（2025·江西抚州·二模）因式分解： ． 变式5．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）已知，，则 ． 变式6．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 变式7．（24-25七年级下·广西百色·期末）（1）化简：； （2）因式分解：． 考点二 利用公式法进行因式分解 例1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）下列式子能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·福建福州·期中）当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 例3．（25-26九年级上·广西南宁·期中）因式分解：（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为 ． 例5．（25-26八年级上·北京·期中）已知，则 ． 例6．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）分解因式及利用因式分解计算： (1) (2) 例7．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）（1）因式分解： （2）因式分解： 变式1．（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（    ） A．1 B．8 C． D． 变式3．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）老师在课堂上布置了如图所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 变式4．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知，则 ． 变式5．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）因式分解： ． 变式6．（25-26八年级上·海南海口·期中）因式分解下列各式或计算 (1) (2) (3) (4) 变式7．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）分解因式： (1) (2) 考点三 提公因式法与公式法的综合应用 例1．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）下列因式分解正确的是（　） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）将多项式分解因式，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）若，，则的值为（  ） A．6 B． C． D． 例4．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 例5．（25-26八年级上·上海·期中）因式分解： ． 例6．（25-26八年级上·福建泉州·月考）因式分解： (1) (2) 例7．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 例8．（25-26八年级上·云南昆明·期中）因式分解： (1)； (2)． 变式1．（25-26八年级上·海南海口·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·上海·期中）下列分解因式不正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·山东泰安·阶段练习）下列各式：①，②，③，④分解因式正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式4．（2025·甘肃武威·模拟预测）分解因式： ． 变式5．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： ． 变式6．（25-26八年级上·福建福州·期中）分解因式： (1) (2) 变式7．（25-26八年级上·四川内江·期中）分解因式： (1) (2) 变式8．（25-26八年级上·福建泉州·期中）分解因式： (1)； (2)． 考点四 因式分解中的探究性问题 例1．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 例2．（25-26八年级上·重庆·期中）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题， 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，则________； (2)已知有因式和，求、的值； (3)已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式． 例3．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）定义：若多项式有一个大于1的整数因式，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． (1)当，为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有________． ①  ②  ③  ④ (2)若关于的多项式是的完美多项式，求的值． (3)已知正整数，，满足不等式，且，若关于的多项式（为常数）是的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为，求，的值． 例4．（25-26八年级上·北京·期中）“回文”是汉语的一种修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷．例如：处处飞花飞处处，源源碧水碧源源．数学中，也有一种类似具有对称性的自然数，其正读和反读的结果一样，如22、585等，我们将这类自然数称为回文数．回文数在数学、计算机科学等领域均具有研究意义． (1)下列数是回文数的是_____（填写序号）； ①66    ②101    ③2929    ④1331 (2)两位回文数显然都是11的倍数．若将个位数字和十位数字分别为，的四位回文数记为．求证：所有的四位回文数都是11的倍数； (3)我们把既是回文数又是某个整数的平方的数称为平方回数（如）．若一个两位数的个位为5，那么它的平方是否可能是平方回数？如果是，请举出例子；如果不是，请说明理由． 例5．（25-26八年级上·吉林长春·期中）图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： (1)用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为 ． (2)如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 变式1．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： ． 例2：若，求M的最小值． ∵，， ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 变式2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法：． 仔细阅读以上内容，解决下面问题： (1)因式分解：_____． (2)已知：、、为的三条边，，求的周长． 变式3．（25-26八年级上·四川内江·期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如： ③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项；2．分解常数项；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．得出原二次三项式的两个因式． 例如： 分析： 解：原式 (1)仿照以上方法，按照要求分解因式：（写出过程） ①（分组分解法） ②（拆项法） ③= ． (2)已知：、、为的三条边，，求的周长． 变式4．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． 例如：，，都把一个多项式进行了因式分解． 现有图1中的A、B、C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例如：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，即多项式因式分解的结果为． 请回答下列问题： 【小试牛刀】 （1）根据图3拼图，多项式因式分解的结果是 ． 【自主探索】 （2）请利用图1中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式因式分解的结果； 【拓展应用】 （3）某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为b的均匀泥路（如图5），求剩余草皮面积． 变式5．（25-26八年级上·吉林长春·期中）阅读材料：把的式子叫做完全平方式有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． 用配方法分解因式：． 解：． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ．，即的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为__________； (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值； (4)若实数，满足，则的最小值为__________ 2 学科网（北京）股份有限公司 $