精品解析：江苏省连云港市灌云县2025-2026学年高一上学期11月期中学业水平质量监测数学试题

2025-2026学年度高一第一学期期中学业水平质量监测 数学试题 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 一、单项选择题（共8小题，满分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设为实数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．黄海是我国东部中强地震多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄海海域发生里氏4.0级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的（ ）倍．（精确到1） （参考数据：，，，） A 29 B. 30 C. 31 D. 32 6. 设函数,则使成立的的取值范围是 A. B. C. D. 7. 已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数为偶函数，且满足对均有，对满足，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题，满分18分） 9. 设，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 函数与不是同一函数 B. 若，则 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则k取值范围是 11. 已知正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（共3小题，满分15分） 12. 函数的定义域是______． 13. 已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是________________． 14. 已知是函数的零点，则______. 四、解答题（共5大题，满分77分） 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 16. 已知函数，. （1）利用定义证明函数单调递增； （2）求函数的最大值和最小值. 17. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元．x为每月生产人形机器人的个数． （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本y（单位：万元）最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润W（单位：万元）不低于400万元？ 附：利润=售价×销量-成本． 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 19. 定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. （1）判断是否为“伴随函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； （3）已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一第一学期期中学业水平质量监测 数学试题 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 一、单项选择题（共8小题，满分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解分式不等式化简集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，所以. 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式直接判断即可. 【详解】根据全称量词命题的否定形式可知， 命题“，”的否定为，. 故选：C 3. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对勾函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，单调递增函数，不符合题意， 当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意， 当时，在单调递增，在单调递减， 故在上单调递减，则， 故选：C 4. 设为实数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分，两种情况讨论可求得的取值范围. 【详解】当时，不等式为，解得，所以不等式不恒成立， 当时，由不等式恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 5. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．黄海是我国东部中强地震多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄海海域发生里氏4.0级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的（ ）倍．（精确到1） （参考数据：，，，） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到方程组，相减后得到，结合给出的参考数据，得到. 【详解】由题意得， 两式相减得，而， 故， 故选：D 6. 设函数,则使成立的的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A. 考点：抽象函数不等式. 【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可． 7. 已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出，在上的图象，当的图象在的图象的上方时，分析此时的取值范围即可. 【详解】作出，在上的图象如下图所示： 因为在上恒成立，所以的图象在的图象的上方（可以部分点重合）， 且，令，所以，所以， 根据图象可知：当经过点时，有最小值，， 当经过点时，有最大值，， 综上可知的取值范围是， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是采用数形结合思想解决问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质. 8. 函数为偶函数，且满足对均有，对满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，根据函数单调性把函数不等式转化为代数不等式，再根据分离参数求最值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数满足：对均有，所以在上单调递增， 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式可化为，恒成立， 所以，，即，， 由，，， 由，，， 综上，. 故选：A 二、多项选择题（共3小题，满分18分） 9. 设，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】通过赋值法和不等式的性质对逐个选项进行分析即可. 【详解】对于选项，令，则，，故选项错误. 对于选项，，，又，根据不等式的性质可得，故选项正确. 对于选项，，，，，即，， ，，故选项正确 对于选项，令，则，，，故选项错误. 故选：. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 函数与不是同一函数 B. 若，则 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两个函数的对应法则不同可判断A；利用基本不等式可判断B；利用对勾函数的单调性可判断C；利用一元二次不等式恒成立的条件可判断D. 【详解】对于A，函数，所以函数与不是同一个函数，故A正确； 对于B，，当且仅当取得等号，故B正确； 对于C，，因为函数在上单调递增，所以当时，，故C错误； 对于D，当时，不等式即，满足题意，当时，则有，解得. 综上所述，满足题意的的取值范围是，故D错误. 故选：AB 11. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得，即， 解得，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，即， 解得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，得，则， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，由，得，且， 因此 ， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ABD 三、填空题（共3小题，满分15分） 12. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】要使函数有意义，则，解得， 即函数的定义域为. 故答案为：． 13. 已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式求得集合，根据充分不必要条件可得集合之间的包含关系，从而建立不等式，可得答案. 【详解】， 由是成立的一个充分不必要条件，则是的一个真子集， 所以，解得. 故答案为：. 14. 已知是函数的零点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出方程，进而得到进行求解即可. 【详解】由题可知，， 所以， 令,则单调递增，且, 所以，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题（共5大题，满分77分） 15 （1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指对幂的计算法则以及对数的运算性质求解即可； （2）先求出，再求出，利用整体代入求解即可. 【详解】（1）原式 ； （2），且， 原式. 16. 已知函数，. （1）利用定义证明函数单调递增； （2）求函数的最大值和最小值. 【答案】（1）证明见详解；（2）最大值；最小值. 【解析】 【分析】 （1）任取、且，求，因式分解，然后判断的符号，进而可得出函数的单调性； （2）利用（1）中的结论可求得函数的最大值和最小值. 【详解】（1）任取、且， 因为， 所以， ， ，，， ， 即， 因此，函数在区间上为增函数； （2）由（1）知，当时，函数取得最小值； 当时，函数取得最大值. 【点睛】关键点睛：求函数的最值利用函数的单调性是解决本题的关键. 17. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元．x为每月生产人形机器人的个数． （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本y（单位：万元）最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润W（单位：万元）不低于400万元？ 附：利润=售价×销量-成本． 【答案】（1）台，最低为万元 （2）不低于台 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到平均每个人形机器人的成本为，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，得到每月的利润，结合，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意得，生产台人形机器人的总成本为， 所以每个人形机器人的平均成本为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以该企业每月的产量为台时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为万元. 【小问2详解】 解：由题意得，每月的利润， 令，即， 整理得，解得或， 因为为正整数，所以， 所以该企业应每月制订生产的人形机器人不少于台时，才能确保每月的利润不低于万元. 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. 【小问1详解】 函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ①，解得， ②，解得， ③，解得，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 【小问3详解】 由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 19. 定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. （1）判断是否为“伴随函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； （3）已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取，结合“伴随函数”的定义判断即可； （2）推导出，结合指数运算可证得结论成立； （3）分、两种情况讨论，当时，可知不是“伴随函数”；当时，函数在上单调递增，根据求出的值，利用基本不等式求出的最小值，再利用参变量分离得出，令，可得，利用二次函数的基本性质求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 取，则，此时，不存在，使得， 因此，函数不是“伴随函数”. 【小问2详解】 因为函数在定义域上为增函数，则存在， 使得，若，则， 根据题意，存在，使得，矛盾， 故，所以，， 所以，，即. 【小问3详解】 若，则当时，， 此时，不存在，使得，则函数不是“伴随函数”， 所以，，函数在上单调递增， 则，， 由“伴随函数”的定义可得， 因为，解得，即，， 当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，，恒有， 则，所以，， 令，则，由题意可得， 令，，函数在上单调递增， 所以，，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $