精品解析： 河北省石家庄市第二十七中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年河北省石家庄二十七中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组图形中，是全等图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 代数式，，，，，中，分式的个数为（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 5. 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（ ） A. ①②③④ B. ①③②④ C. ①③④② D. ①②④③ 6. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（    ） A. 近似数和近似数的精确度一样 B. 近似数万精确到 C. 近似数3千万与近似数3000万精确度相同 D. 近似数精确到百位 9. 已知，，且，则的值是（　　） A. 9 B. C. 3 D. 或3 10. 如图，的面积为，垂直的平分线于P，则的面积为（　 ） A. B. C. D. 11. 下列说法： ①实数和数轴上的点是一一对应的； ②一个正数的算术平方根小于它本身； ③负数没有立方根； ④16的平方根是，用式子表示是； ⑤某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的有（ ）个． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12. 如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 若最简二次根式和乘积是有理数，则______． 14. 如图，已知，点E在上，若，，则的度数为______． 15. 按照如图所示的程序计算，若输出y的值是，则输入x的值是______． 16. 如图，在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点M在线段上，且以的速度由C点向点B运动，同时，点N在线段上由点D向点C运动．当点N的运动速度为______时，与全等． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）； （3）先化简，再求值：，从、0、1、2、3、4中选取你喜欢的数作为x的值，代入求出原式的值． 18. （1）下面是小颖同学解分式方程的过程．请认真阅读并完成相应的任务． 解：方程两边同乘______， 得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 系数化为1，得…第四步 ①第一步中横线处应填______，这一步的目的是______，其依据是______； ②小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你写出这一步，并说明这一步不能缺少的理由． （2）解分式方程： 19. 、、均为实数，且是的整数部分． （1）则的值为__________；的值为___________；的值为___________； （2）求的平方根． 20. （1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点C，于点求证： （2）如图2，且，且，直接写出实线所围成的图形的面积______． 21. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，，．以上这种化简的方法叫做分母有理化． （1）化简 ； （2）请化简； （3）计算的值． 22. 如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动． （1）若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则______（用含n的代数式表示），a是______（填“有理数”或“无理数”）； （2）若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）； （3）若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数． 23. 小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼． （1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？ （2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地分钟． ①当，时，求小强跑了多少分钟？ ②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含的式子表示）． 24. 在中，，，D是直线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交直线于点 （1）基础探究：如图1，当点D为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． （2）能力提升：如图2，当点D在线段上（不与C，B重合）时，探究线段之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由） （3）拓展探究：如图3，当点D在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河北省石家庄二十七中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组图形中，是全等图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等图形，根据形状和大小都相同的两个图形是全等图形，进行判断即可． 【详解】解：A、形状不同，不是全等图形； B、大小不同，不是全等图形； C、大小不同，不是全等图形； D、形状和大小都相同，是全等图形； 故选D． 2. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根．根据算术平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项正确． C、，故本选项错误； D、，故本选项错误； 故选：B． 4. 代数式，，，，，中，分式的个数为（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的代数式即为分式．需逐一判断各代数式是否符合条件． 【详解】解：：分母为常数3，不含字母，是整式，不是分式． ：分母为，含字母，是分式． ：分母为，是常数，不含变量，是整式，不是分式． ：分母为，含字母，是分式． ：分母为，含字母和，是分式． ：分母为常数2，不含字母，是整式，不是分式． 综上，分式共有3个， 故选C． 5. 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（ ） A. ①②③④ B. ①③②④ C. ①③④② D. ①②④③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本作图，先作射线并在射线上截取,再作，接着在上截取，最后连接即可． 【详解】∵根据基本作图，先作射线并在射线上截取,再作，接着在上截取，最后连接， 则即为所求． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 6. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 与被开方数不相同，不能进行相加，故原选项计算错误，不合题意； B. ，不能与进行加减运算，故原选项计算错误，不合题意； C. ，故原选项计算错误，不合题意； D. ，故原选项计算正确，符合题意． 故选：D 7. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 8. 下列说法正确的是（    ） A. 近似数和近似数的精确度一样 B. 近似数万精确到 C. 近似数3千万与近似数3000万精确度相同 D. 近似数精确到百位 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了近似数的精确度，近似数精确到哪一位，应当看末位数字（从左边开始数）实际在哪一位，据此求解即可． 【详解】解：A、近似数精确到百分位，近似数精确到十分位，二者精确度不相同，原说法错误，不符合题意； B、近似数万精确到百位，原说法错误，不符合题意； C、近似数3千万精确度千万位，近似数3000万精确到万位，二者精确度不相同，原说法错误，不符合题意； D、近似数精确到百位，原说法正确，符合题意； 故选：D． 9. 已知，，且，则的值是（　　） A. 9 B. C. 3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键，根据可得的值，再根据可确定的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，的面积为，垂直的平分线于P，则的面积为（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线，延长交于E，利用全等三角形的性质证明，再根据三角形的中线平分面积，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于E， 垂直于的平分线于P， ，， 在与中， ， ， ，， ∴为的中线， ， ， 故选：D． 11. 下列说法： ①实数和数轴上的点是一一对应的； ②一个正数的算术平方根小于它本身； ③负数没有立方根； ④16的平方根是，用式子表示是； ⑤某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的有（ ）个． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴的关系、平方根、立方根、绝对值、相反数、算术平方根的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据相关的定义逐个分析说法的正确性即可． 【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确； ②一个正数的算术平方根不一定小于它本身，例如，当正数为1时，算术平方根等于1；当正数为0.25时，算术平方根0.5大于0.25，因此原说法错误； ③负数有立方根，如的立方根为，因此原说法错误； ④16的平方根是，用式子表示是，故原说法错误； ⑤某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0，正确． 综上，错误的有②③④，一共3个， 故选：B． 12. 如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 由三角形中线的定义可得，运用可证明可得，即可判断①；由全等三角形的性质可得，再根据面积的和差可判定②；由全等三角形的性质可得，利用平行线的判定定理即可判断③；直接根据全等三角形的判定判断④即可． 【详解】解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，所以①正确； ∵ ∴， ，即和面积相等，所以②正确； ∵， ， ∴，所以③正确； 与BC不一定相等， 不能判断，所以④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 若最简二次根式和乘积是有理数，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，最简二次根式，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． 将化为，再根据题意得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：， 最简二次根式和乘积是有理数， ， 解得：， 故答案为： 14. 如图，已知，点E在上，若，，则的度数为______． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 先根据全等三角形的对应角相等得到，然后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，又， ∴． 故答案为：80． 15. 按照如图所示的程序计算，若输出y的值是，则输入x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次方程，理解题意是解题的关键．根据程序分析即可求解． 【详解】解：设输入的值为时， 由题意得，， 整理得，， 解得（舍去）； 当时，根据题意得，， 整理得， 解得， 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点M在线段上，且以的速度由C点向点B运动，同时，点N在线段上由点D向点C运动．当点N的运动速度为______时，与全等． 【答案】3.5或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，由点为线段的中点得到，由于，根据全等三角形的判定得到当，时，；当，时，，然后分别列方程求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，， ∴，， 点为线段的中点， ， ， 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点N的运动速度为； 当，时，， 即， 解得，， 即此时点N的运动速度为； 综上所述，点N的运动速度为3.5或． 故答案为：3.5或． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）； （3）先化简，再求值：，从、0、1、2、3、4中选取你喜欢的数作为x的值，代入求出原式的值． 【答案】（1） （2）3 （3），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用运算法则． （1）根据零指数幂、负整数指数幂的意义、绝对值的意义以及二次根式的化简即可求出答案； （2）利用平方差公式和二次根式的乘法法则计算即可； （3）先计算括号内的分式减法，再计算除法，得到化简结果，再选取合适的x的值代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ，， ，，， 当时， 原式． 18. （1）下面是小颖同学解分式方程的过程．请认真阅读并完成相应的任务． 解：方程两边同乘______， 得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 系数化为1，得…第四步 ①第一步中横线处应填______，这一步的目的是______，其依据是______； ②小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你写出这一步，并说明这一步不能缺少的理由． （2）解分式方程： 【答案】（1）①，去分母，等式的基本性质；②检验；理由：因为分式方程可能产生增根，所以分式方程必须检验；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，掌握分式方程的一般步骤是解决问题的关键． （1）①根据解分式方程的去分母方法，即可得出答案； ②根据解分式方程的一般步骤，即可解决问题． （2）根据解分式方程的一般步骤，即可得出结论． 【详解】解：（1）①第一步中横线处应填，这一步的目的是去分母，其依据是等式的基本性质； 故答案为：，去分母，等式的基本性质； ②检验：当时，， 是原方程的增根，原方程无解． 理由：因为分式方程可能产生增根，所以分式方程必须检验； （2）， 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是原方程的解． 19. 、、均为实数，且是的整数部分． （1）则的值为__________；的值为___________；的值为___________； （2）求的平方根． 【答案】（1）；3；6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根，无理数大小估算，算术平方根和偶次幂非负性，熟练掌握相关概念及运算是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得，从而求出a，b的值，再利用无理数大小估算求出c的值； （2）把a，b，c的值代入，再根据平方根的定义解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； 故答案为：；3；6 【小问2详解】 解：当，时， ， ∴的平方根为． 20. （1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点C，于点求证： （2）如图2，且，且，直接写出实线所围成的图形的面积______． 【答案】 （1）证明：于点C，于点E， ， ， 又，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）50 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，梯形的面积公式是解决问题的关键． （1）依题意得，依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； 同（1）证明和全等，得出相等的边长，求出相关三角形的面积，证明四边形是直角梯形，由梯形的面积减去所有三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：依题意得：，，，，，，， 同（1）证明：，， ，，，， ，， ， ， ， ， ，， ， 四边形是直角梯形， ， 图中实线所围成的图形的面积的面积为：， 故答案为：50． 21. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，，．以上这种化简的方法叫做分母有理化． （1）化简 ； （2）请化简； （3）计算的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式和完全平方公式，正确进行分母有理化是解题的关键． （）直接进行分母有理化即可得出答案； （）进行分母有理化即可得出答案； （）将要求的式子各项进行分母有理化，再进行二次根式加减即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 22. 如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动． （1）若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则______（用含n的代数式表示），a是______（填“有理数”或“无理数”）； （2）若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）； （3）若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数． 【答案】（1），无理数 （2）C、D之间的距离为 （3）点D表示的数为或 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，无理数，实数与数轴，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）表示圆的周长，再根据滚动的圈数得出滚动的距离即可得出答案； （2）圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，可得，再得出，整体代入即可； （3）根据“圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈”，因此分两种情况进行解答，即为1圈，为2圈，或为2圈，为1圈． 【小问1详解】 解：圆形纸片的直径为1，因此周长为，滚动n圈的距离为， 而， 所以， 即， 是无理数， 故答案为：，无理数； 【小问2详解】 解：圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，所以有， 所以， 答：C、D之间的距离为； 【小问3详解】 解：由（2）得： ， 由于圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈， 因此有①当A、B的距离为时， 则B、C的距离为，C、D之间的距离为， 所以A、D之间的距离为， 又因为点A表示的数为， 所以点D所表示的数为， ②当A、B的距离为时， 则B、C的距离为，C、D之间的距离为， 所以A、D之间的距离为， 又因为点A表示的数为， 所以点D所表示的数为， 答：点D表示的数为或． 23. 小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼． （1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？ （2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地分钟． ①当，时，求小强跑了多少分钟？ ②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含的式子表示）． 【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为3分；②． 【解析】 【分析】（1）设小强的速度为x米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案； （2）①设小明的速度为y米/分，由m＝3，n＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答； ②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案. 【详解】（1）设小强的速度为x米/分，则小明的速度为（x+220）米/分， 根据题意得：＝． 解得：x＝80． 经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意． ∴x+220＝300． 答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分． （2）①设小明的速度为y米/分，∵m＝3，n＝6， ∴，解之得. 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴小强跑的时间为：（分） ②小强跑的时间：分钟，小明跑的时间：分钟， 小明的跑步速度为： 分． 故答案为：． 【点睛】此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键. 24. 在中，，，D是直线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交直线于点 （1）基础探究：如图1，当点D为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． （2）能力提升：如图2，当点D在线段上（不与C，B重合）时，探究线段之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由） （3）拓展探究：如图3，当点D在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1） （2） 解：线段之间的数量关系是：，理由如下： 同（1）证明：， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据点D为的中点得，证明，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出段与的数量关系； （2）同（1）证明和全等得，再根据即可得出线段之间的数量关系； （3）分类进行讨论即，当点D在线段延长线上时和当点D在的延长线上时，依据“”判定和全等得，再根据线段的和差，即可得出结论． 【小问1详解】 解：线段与的数量关系是：，理由如下： 在中，，，点D为的中点， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点D在线段或者的延长线上运动时，线段之间的数量关系是：或，理由如下： ①当点D在线段延长线上时，如图所示： ， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； ②当点D在的延长线上时，设和交于点H，如图所示： ， ， ， ， ，， 是和的外角， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $