精品解析：广东省广州市增城区三校（新塘中学、郑中钧中学、增城一中）2025-2026学年高一上学期期中联考数学试卷

广东省广州市增城区三校（新塘中学、郑中钧中学、增城一中）2025-2026学年高一上学期期中联考数学试卷 命题学校：广州市增城区新塘中学 命题人：刘玉波 审题人：张勇 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、试室号和座位号填写在答题卡上，并在相应位置贴条形码． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则集合中元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 下列各组函数中为同一函数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（     ） A. 或 B. C. D. 6. 已知函数，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，满足，且．若，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. C. 在区间上单调递减 D. 的值域为 10. 已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的定义域是_________． 13. 化简：______. 14. 已知函数，存在直线与图象有4个交点，则_____，若存在实数，满足，则的取值范围是_______________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）当时，求出； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知指数函数（且）的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的值域 17. 给定函数，，且，用表示，的较大者，记为． （1）作出函数的图象，并写出函数的解析式； （2）求不等式的解集． 18. 某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完． （1）求x关于t的函数； （2）将下一年利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数； （3）该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？ （注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且， （1）求a，b的值 （2）判断在上单调性，并证明． （3）设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市增城区三校（新塘中学、郑中钧中学、增城一中）2025-2026学年高一上学期期中联考数学试卷 命题学校：广州市增城区新塘中学 命题人：刘玉波 审题人：张勇 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、试室号和座位号填写在答题卡上，并在相应位置贴条形码． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】命题，为全称量词命题， 则为：，. 故选：A 2. 若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 3. 已知集合，，则集合中元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由列举法列出集合所有元素，即可判断； 【详解】解：因为，，所以或或或， 故，即集合中含有个元素； 故选：C 4. 下列各组函数中为同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域、对应关系、值域等知识来确定正确答案. 【详解】A选项，，所以A选项错误. B选项，，， 两个函数定义域、对应关系、值域相同，所以是同一函数，B选项正确. C选项，对于，，解得或， 所以的定义域是， 对于，，解得， 所以的定义域是，所以C选项错误. D选项，的定义域是， 的定义域是，所以D选项错误. 故选：B 5. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（     ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和函数为奇函数，可求的值. 【详解】因为函数为幂函数，所以，所以，或. 当时，为偶函数，故不合题意； 当时，为奇函数，故满足题意. 故选：D 6. 已知函数，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合分段函数的解析式，直接计算得到答案. 【详解】，. 故选：D 7. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 8. 已知定义在上的函数，满足，且．若，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件可得在上单调递减，且为奇函数，将化为，再利用函数的单调性可求得结果. 【详解】因为定义在上的函数，满足， 所以在上单调递减， 因为，所以， 因为，所以， 由，得， 所以． 因为在上单调递减， 所以，得， 故选：A． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. C. 在区间上单调递减 D. 的值域为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数解析式求出定义域可判断A，根据解析式计算可判断B，化简解析式，由反比例型函数单调性可判断C，根据函数特征可判断D. 【详解】对于A，由函数，可知，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为， 所以当时，单调递增，故C错误； 对于D，由可知，，故函数值域不为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二次函数图象可得，、，代入即可得A、B、C；D选项中可转化为，解出即可得. 【详解】由图象可知，该二次函数开口向上，故， 与轴的交点为、， 故， 即、， 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：可化为，即， 即，其解集为，故D正确. 故选：BCD. 11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义，结合指数函数的性质，以及函数的奇偶性的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数，其定义域为， 则，即， 所以函数为定义域上的奇函数，所以A正确； 对于B中，由， 可得，，所以不是偶函数， 所以B错误； 对于C中，由函数， 因为，可得为单调递增函数，则为增函数， 所以函数为单调递增函数，所以C正确； 对于D中，因为，可得，所以，则， 可得，即，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为，偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为： 13. 化简：______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数幂的运算性质化简求解即可. 【详解】. 故答案为： 14. 已知函数，存在直线与的图象有4个交点，则_____，若存在实数，满足，则的取值范围是_______________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】作出分段函数的图象，结合图象进行分析,第一个填空：当时，直线与的图象有4个交点；第二个填空：当时，存在实数，满足，进而可得取值范围，再结合函数对称性从而可得结论. 【详解】当时，令，解得或； 令，解得； 故可作出图象，如图： 由图可知，当时，，当时，， 所以若存在直线与的图象有4个交点时，如图： 当时，直线与的图象有4个交点； 若存在实数，满足， 如图： 可知当时，存在实数，满足， 令，解得， 则可得； 因为 关于对称，；同理关于对称，； 所以， 又因为， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：1；. 【点睛】关键点睛：作出分段函数的图象是关键，本题考查数形结合思想，以及空间想象能力，属于较难题. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）当时，求出； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出,再求出得解； （2）对集合分两种情况讨论，解不等式即得解. 【小问1详解】 （1）当时， ,所以=或， 所以= 或. 【小问2详解】 （2）由. ①当为空集时，成立. ②当不是空集时，，， 综上①②，. 16. 已知指数函数（且）的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的值域 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入即可求解， （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，． 【小问2详解】 ，令，因为，则， 令， 当时，函数单调递减，此时，， 当时，函数单调递增，此时，， 故当时，， 又因为，故， 所以，函数在上的值域为． 17. 给定函数，，且，用表示，的较大者，记为． （1）作出函数的图象，并写出函数的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）作图见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义，结合，图象写出解析式，进而画出的图象. （2）由（1）所得图象列不等式组，求解集即可. 【小问1详解】 -1 0 1 2 3 3 0 -1 0 3 -1 0 1 2 3 ∴函数，的大致图象如下图示： 根据的定义，结合图像可知：，其图象如下图示： 【小问2详解】 由（1）图知：或，解得或， ∴的解集为. 18. 某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完． （1）求x关于t的函数； （2）将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数； （3）该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？ （注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 【答案】（1） （2） （3）当促销费投入7万元时，企业年利润最大 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可. （2）利用销售收入减去成本即得利润. （3）利用基本不等式处理该最值问题. 【小问1详解】 由题意：与成反比例， 所以设， 将t＝0，x＝1代入，得k＝2， 所以. 【小问2详解】 当年生产x(万件)时，年生产成本为：， 当销售x(万件)时，年销售收入为：， 由题意，生产x万件产品正好销完，且年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费， 所以 即：. 【小问3详解】 由（2）有： 因为，所以，当且仅当， 即时，等号成立.所以，，即. 所以当促销费投入7万元时，企业年利润最大． 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且， （1）求a，b的值 （2）判断在上单调性，并证明． （3）设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）； （2）在上单调递增，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由定义在上的奇函数满足，结合列方程即，可求出实数的值； （2）用定义法证明即可； （3）将问题转化为，再转化为二次函数能成立问题，然后进行分类讨论即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， ，即，又，即， 经检验，该函数为奇函数， 故. 【小问2详解】 在上单调递增， 证明如下： 任取， 其中，所以， 故在上单调递增. 【小问3详解】 由（1）知在上单调递增，则， 任意的，总存在， 使得成立等价于，即， 即存在使得成立， 令， ①当，即时，的根为符合题意； ②当且时，即时，恒成立，不符合题意； ③当且时，； ④当且时，即时， 的对称轴为，且存在使得成立， 即，解得， ⑤当且时，即时，因为的对称轴为，所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $