精品解析：广东省广州市第二中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

广州市第二中学2025学年第一学期期中考试 高一数学 命题：张和发 审校：吴文森，黄晓英 2025年11月12日 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2.答选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只需将答题卡交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确选项.） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集和并集运算即可求解. 【详解】因为集合，，所以. 又因为， 所以， 故选：B. 2. 已知，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为或，所以由不能推出且，即充分性不满足； 但由且可得，即由且可推出，所以必要性满足； 所以是且的必要不充分条件. 故选：B. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除B，C，利用函数的单调性排除A即可. 【详解】对于函数，定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故B，C错误， 当时，， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，故A错误，D正确． 故选：D． 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，直接求解即可. 【详解】由题意，可得，，， 即，，，所以，故选C. 【点睛】本题主要考查了指数幂与对数式的比较大小问题，其中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，分离出内层函数和外层函数，并分析内层函数和外层函数的单调性，利用同增异减法得出函数的单调减区间. 【详解】由，即，解得， 内层函数为，外层函数为， 内层函数的增区间为，减区间为，外层函数为增函数， 由复合函数同增异减法可知，函数的单调减区间是，故选A. 【点睛】本题考查函数单调区间的求解，考查复合函数法求解函数的单调区间，在求解函数的单调区间时，要注意求出函数的定义域，要在函数定义域内得出单调区间，否则得到的单调区间无意义，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6. 已知函数，则下列判断中正确的是（ ） A. 是奇函数且为增函数 B. 是奇函数且为减函数 C. 是偶函数且为增函数 D. 是偶函数且为减函数 【答案】A 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再结合函数奇偶性的定义判断其奇偶性，最后结合复合函数的单调性，即可判断其单调性. 【详解】根据题意，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称， 则，所以为奇函数； 由， 因为在上单调递增，为增函数， 所以为增函数. 故选：A 7. 若函数且在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使函数在上为减函数，须满足分段函数在各段上单调递减，结合端点处需要满足的条件，列出不等式组，求解即可. 【详解】当时，单调递减须满足，解得， 当时，单调递减须满足， 且； 所以要使函数在上为减函数，须满足 ，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 8. 已知是偶函数，且在上递减，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用偶函数性质，再根据单调性得到， 根据绝对值性质，取掉绝对值，分离参数转化为函数恒成立问题，求最值即可. 【详解】因为是偶函数，所以， 所以在恒成立 等价于在恒成立， 又因为在上递减，根据偶函数性质，在上递增， 所以在恒成立， 因为，所以恒成立，即， 所以，即，设，， 易知函数在单调递减，所以，即； 设，，易知函数在单调递增， 所以，即， 综上所述：实数的取值范围是：. 故选：A. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性， 再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题， 若为偶函数，则． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个正确选项，只答对部分选项得相应部分分，作答中含错误选项的该小题得0分.） 9. 下列运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数的运算依次判断选项即可. 【详解】A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，，故C正确； D选项，，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知实数a，b满足等式，则下列可能成立的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由等式，得出；对于选项A和B，分析的情形即可；对于选项C，分析的情形即可；对于选项D，分析的情形即可. 【详解】因为，所以． 对于选项A和B，当时，，只能，选项A不成立，选项B正确； 对于选项C，当时，，只能，选项C正确； 对于选项D，当时，且，只能，等式成立，选项D正确； 故选：BCD． 11. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知条件结合基本不等式及“1”的妙用求解判断ACD，举出反例说明判断B. 【详解】对于A选项，因为正数，满足，且，当且仅当即，时，等号成立，所以，故选项A正确； 对于B选项，当，时，，故选项B错误； 对于C选项，因为，所以，故选项C正确； 对于D选项，因为，所以，即， 所以， 因为，当且仅当，即，即，时，等号成立. 所以，所以选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分，把正确答案填写在答卷相应位置上.） 12. 设，若函数在上的最大值是，则在上的最小值是______. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】令，利用二次函数性质先求b，然后可解. 【详解】 令，则 因为，所以， 所以当时函数有最大值，故，解得， 当时，函数有最小值. 故答案为： 13. 是定义在上的奇函数，且当时，．若在上有最大值，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的性质求出的解析式，作出函数的图象，数形结合可得结果. 【详解】∵是定义在上的奇函数，∴， ∴，得， 若，则，则， 所以 作出函数的图象，如图所示． 当时，， 由图知在区间上有最大值，满足题意； 当时，，由图知在区间上无最大值，不满足题意； 当时，由图知在区间上有最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围为． 14. 记函数，已知，，且，有解，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到当时，， 所以需，使得，需，，利用二次函数的性质研究的最小值，得到取值范围. 【详解】解：， ，，则需且只需， 因为，，所以需且只需， 需且只需，， 是开口向下的二次函数，对称轴为 法一：所以 或 即或 解得或 所以 法二：，， 所以或解得， 则的取值范围是. 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的出入口，已知旧墙的维修费用为56 元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求总费用； （3）试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 【答案】（1） （2） （3），最小总费用是12200元 【解析】 【分析】（1）总费用包括维修费用和新墙费用，旧墙长度为，新墙长度为，乘单价后相加得到总费用； （2）将代入，得到的值； （3）由基本不等式求得最值. 【小问1详解】 设利用旧墙的长度为，则另一边长为， 所以新墙总长度为， 则 ， 故. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以当时，. 【小问3详解】 因为，所以，由基本不等式有， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元. 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）当时，先求出集合的范围，再结合集合的交集和补集运算，即可求解； （2）由得，通过对的取值进行讨论，求得集合，再结合集合的关系列出相应的不等式，求解即可. 【小问1详解】 由已知，集合，所以，即， 解得，故， 因为，所以，所以， 解得，故，所有， ； 【小问2详解】 因为，所以， 由（1）知， 又集合，即， 可得， ①当时，不等式的解集为空集，即，符合条件； ②当时，有， 所以不等式的解为，即， 又，所以，解得， 又因为，所以， ③当时，有， 所以不等式的解为，即， 又，所以，解得， 又因为，所以， 综上所述，实数的取值范围为. 17. 设函数，其中． （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若函数在区间的最大值为M，最小值为N，有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的区间单调性可求函数在区间上的最值，进而确定值域； （2）由已知，其开口向上且对称轴为，讨论对称轴与区间的位置关系确定最值，结合不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题设， 则在上单调递减，在上单调递增，由， 故上函数在区间上的值域为； 【小问2详解】 由，其开口向上且对称轴为， 当时，在上单调递增，可得， ，由，所以，解得，不符合前提； 当时，，， 由，可得，所以， 解得，此时； 当时，，，由， 可得，解得，此时； 当时，，， 由，可得，解得，不符合前提； 综上，. 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值，并用定义证明的单调性： （2）若时，不等式有解，求实数的取值范围． （3）若对任意的时，不等式恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1），证明如下： 因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 即，解得，所以， 即，则，符合题意， 令，则=， 因为所以，则，因为，所以， 所以在R上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质求得解析式，然后根据单调性的定义证明单调性； （2）利用奇偶性与单调性转化问题为在上有解，分离参数为，有解，再转化为求，的最大值； （3）问题转化为，再解一元二次不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在定义域上单调递增，又是定义在R上的奇函数， 所以在有解， 等价于在上有解， 即在上有解，即，有解， 令，，因为在[2，3]上单调递减， 所以，所以. 【小问3详解】 若对任意的时，不等式恒成立， 则有恒成立， 因为在R上单调递增， 当时，，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 综上得的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用单调性与奇偶性解不等式，如是奇函数且是增函数，不等式，先化为，由奇函数性质得，再由增函数性质化为，然后再求解．如果是偶函数，则不等式化为，然后由函数在上单调性变形可得，其它形式不等式类似变形． 19. 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； （2）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.求证：是偶函数； （3）已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围. 【答案】（1）具有性质，不具有性质，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案. （2）性质的定义列不等式，求得，进而判断出是偶函数. （3）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得的取值范围. 【小问1详解】 对任意，得， 所以具有性质； 对任意，得. 易得只需取，则， 所以不具有性质 【小问2详解】 设二次函数满足性质. 则对任意， 满足. 若，取，，矛盾. 所以，此时， 满足，即为偶函数 【小问3详解】 由于，函数的定义域为R. 易得. 若函数具有性质，则对于任意实数， 有 ，即. 即. 由于函数在上严格递增，得. 即. 当时，得，对任意实数恒成立. 当时，易得，由，得， 得，得. 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即 当时，易得，由，得， 得，得. 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即 综上所述，的取值范围为. 【点睛】求解新定义函数类型的题目，关键点是理解和运用新定义，将新定义的知识，转化为学过的知识来进行求解.求解含参数的不等式问题，需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第二中学2025学年第一学期期中考试 高一数学 命题：张和发 审校：吴文森，黄晓英 2025年11月12日 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2.答选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只需将答题卡交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确选项.） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列判断中正确的是（ ） A. 是奇函数且为增函数 B. 是奇函数且为减函数 C. 是偶函数且为增函数 D. 是偶函数且为减函数 7. 若函数且在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是偶函数，且在上递减，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个正确选项，只答对部分选项得相应部分分，作答中含错误选项的该小题得0分.） 9. 下列运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数a，b满足等式，则下列可能成立的关系式为（ ） A. B. C. D. 11. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分，把正确答案填写在答卷相应位置上.） 12. 设，若函数在上的最大值是，则在上的最小值是______. 13. 是定义在上的奇函数，且当时，．若在上有最大值，则实数的取值范围为________. 14. 记函数，已知，，且，有解，则的取值范围是_____. 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的出入口，已知旧墙的维修费用为56 元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求总费用； （3）试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 设函数，其中． （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若函数在区间的最大值为M，最小值为N，有恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值，并用定义证明的单调性： （2）若时，不等式有解，求实数的取值范围． （3）若对任意的时，不等式恒成立，求正实数的取值范围． 19. 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； （2）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.求证：是偶函数； （3）已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $