精品解析：河南省新乡市2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､一元函数的导数及应用､三角函数与解三角形､平面向量与复数､数列. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的第6项为（ ） A. B. C. D. 19 2. 复数（ ） A. B. 0 C. D. 3. 已知集合，则中元素的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 曲线在点处切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据为，则“”是“这组数据的中位数为4”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，且的最小值为2，则曲线的对称中心的横坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 设定义在上的函数满足且，则下列结论不可能成立的是（ ） A. 的极大值为 B. 函数为奇函数 C. 的极小值为0 D. 在上单调递增 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，，、，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，过点作的垂线，垂足为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 已知函数，则（ ） A. 与的定义域相同 B. 与的值域不相同 C. D. 与在上均单调递增 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 14. 在数列中，，，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示，. （1）求的解析式； （2）若，求函数的取值范围. 16. （1）当时，求的最大值； （2）判断函数的奇偶性，并加以证明； （3）若关于的方程有实数解，求的取值范围. 17. 已知数列是公差为2的等差数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）设表示不大于x的最大整数，求数列的前100项和； （3）设，数列的前n项和为，证明：且. 18. 剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点.现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段上，均在线段上. （1）求圆心角的大小（用弧度表示）； （2）设，且，求的长； （3）求矩形面积的最大值. 19. 设函数. （1）求的单调区间； （2）比较与的大小； （3）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､一元函数的导数及应用､三角函数与解三角形､平面向量与复数､数列. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的第6项为（ ） A. B. C. D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】令项数，即可求解. 【详解】当时，， 所以数列的第6项为. 故选：B 2. 复数（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算公式，结合模的运算公式，即可求解. 【详解】. 故选：A 3. 已知集合，则中元素的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合，根据交集的定义求得，进而得到中元素的最小值. 【详解】因为集合， 所以，所以中元素的最小值为4. 故选：D. 4. 曲线在点处切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出导数并利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】函数，求导得， 则曲线在点处切线斜率， 所以所求倾斜角为. 故选：A 5. 已知一组数据为，则“”是“这组数据的中位数为4”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合中位数的意义判断即得. 【详解】数据组中，除外小于4的数有两个，大于4的数有两个，且有两个4， 因此取任意值，这组数据的中位数都是4，即这组数据的中位数为4不能推出， 若，则该数据组为，中位数为4； 若，则该数据组为，中位数为4， 因此当时，则该数据组的中位数为4， 所以“”是“这组数据的中位数为4”的充分不必要条件. 故选：A 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数与对数函数单调性及三角函数二倍角公式计算比较即可得. 【详解】由函数在上单调递减，则， 由函数在上单调递增，则， 又，则， 即有. 故选：. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，且的最小值为2，则曲线的对称中心的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正弦函数的图象性质求出，进而求得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原图象重合， 则是函数周期的正整数倍， 而的最小值为2，因此，解得， 函数，由，解得， 所以曲线的对称中心的横坐标为. 故选：C 8. 设定义在上的函数满足且，则下列结论不可能成立的是（ ） A. 的极大值为 B. 函数为奇函数 C. 的极小值为0 D. 在上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】取，根据极值的定义可判断AC，证明当时，可判断D，根据可判断B. 【详解】取，符合题目条件， ， 令，解得或， 当或时，，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以的极小值为，的极大值为， 故ACD都是可能的； 对于B，令，则，因为，所以. ，，，所以不可能是奇函数. 故B是不可能的； 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，，、，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】令可得出的值，令结合可得出的值. 【详解】已知函数的定义域为，， 、，， 令可得，解得， 令可得，又因为，故. 故选：BD. 10. 在中，，过点作的垂线，垂足为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式计算判断AB；利用垂直关系的向量表示及向量的线性运算求解判断CD. 【详解】对于AB，当时，由余弦定理得， ，A和B正确； 对于CD，由，得，，， 因此，C错误，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则（ ） A. 与的定义域相同 B. 与的值域不相同 C. D. 与在上均单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】借助导数求出定义域判断A；求出值域判断B；构造函数利用零点存在性定理推理判断C；确定单调递增区间判断D. 【详解】对于A，令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此函数的定义域为，而函数的定义域为，A错误； 对于B，由选项A，知函数的值域为， 而， 当且仅当时取等号，值域为，B正确； 对于C，当时，令函数， ，， 而函数在的图象连接不断，则存在，使得，即，C错误； 对于D，，当，即时，单调递增， 由选项A知，函数在上单调递增，因此与在上均单调递增，D正确. 故选：BD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数运算法则求解. 【详解】. 故答案为： 13. 小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先由长方体的体积公式求得底面面积，再用底面的长和宽表示纸的面积，最后用基本不等式，即可求最小值. 【详解】设底面长方形的长和宽分别为和，则， 纸的面积， 当时等号成立， 所以小李所用纸的面积的最小值为. 故答案为： 14. 在数列中，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知的递推公式构造等比数列，求得该等比数列的通项公式，从而得到数列的通项公式. 【详解】由，得. 由，得，则， 所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示，. （1）求的解析式； （2）若，求函数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的图象，结合五点法作图求出解析式. （2）由（1）的结论，利用差角的余弦公式化简，再求出指定区间上的值域. 【小问1详解】 观察图象得，，函数的最小正周期，解得， 由，得，而，则， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，因此当时，，当时，， 所以所求值域为. 16. （1）当时，求的最大值； （2）判断函数的奇偶性，并加以证明； （3）若关于的方程有实数解，求的取值范围. 【答案】（1） （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域为. 所以，都有. 由，得， 所以函数为奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式，求得当时，取得最小值2.，进而求得的最大值为； （2）由奇函数的定义可判断，并证明函数为奇函数； （3）分离参数，构造新函数，通过求新函数的值域，求得的取值范围. 【详解】（1）当时，. 因为，当且仅当时，取得最小值2. 所以当且仅当时，取得最大值，最大值为； 所以当时，的最大值为. （2）略 （3）由（1）知，当时，； 当时，，所以， 当且仅当，即时，取得最小值2. ，所以. 令，，则， 因为关于的方程有实数解， 所以有实数解，即有实数解. 令， 因为与在和上均单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递增. 或由，得在上单调递增，在上单调递增. 所以. 则. 所以的取值范围是. 17. 已知数列是公差为2的等差数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）设表示不大于x的最大整数，求数列的前100项和； （3）设，数列的前n项和为，证明：且. 【答案】（1） （2） （3） ， ， ， ，即证. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，即可求解； （2）根据数列的通项公式，确定，再根据等差数列求和公式，即可求解； （3）首先求数列的通项公式，写出和，利用相邻项正负相消法求和. 【小问1详解】 由条件可知，， 所以数列是公差为2，首项为3的等差数列， 则， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以数列的前100项和为； 【小问3详解】 略 18. 剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点.现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段上，均在线段上. （1）求圆心角的大小（用弧度表示）； （2）设，且，求的长； （3）求矩形面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由扇形的面积公式建立方程，即可求出圆心角的大小； （2）由（1）知，代入条件得到的值，由平方和关系求得，然后由和差角公式求得，从而求得的长； （3）设，由直角三角形边角的关系分别表示出边长，然后表示出矩形的面积，利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求出最大值. 【小问1详解】 设扇形的圆心角，由扇形的面积，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 由，得， 因此， 所以. 【小问3详解】 设，在中，，， 在中，， 则， 因此矩形的面积 ，由，得， 则当，即时，矩形的面积取得最大值. 19. 设函数. （1）求的单调区间； （2）比较与的大小； （3）当时，证明：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） （3） 令. 则. 令，则. 因为在上单调递减，且，所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为 当时，，所以在上存在一个零点，记为. 又，所以当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 当时，，且.所以恒成立. 所以恒成立，即. 由（2）知，所以. 所以. 因为当时，， 所以当时，得证. 【解析】 【分析】（1）直接利用导数研究函数的单调性，可求得的单调区间； （2）构造函数，利用导数分析函数的单调性和最值，求得的最大值为，从而得. （3）利用（2）的结论，将"证明："转化为"证明：，构造函数，利用导数分析的单调性和最值，可证明恒成立，进而证得当时，. 【小问1详解】 ，易知其定义域为. . 因为与在上均单调递增，所以在上单调递增. 又，所以当时，；当时，. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 令， 则. 令 令. 令. 因为单调递减，且， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在是单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值，最大值为. 所以在上恒成立，所以在上单调递减. 又因为，所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在是单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值，最大值为. 所以恒成立，即恒成立，即. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $