精品解析：辽宁省大连市滨城高中联盟2025-2026学年高二上学期期中数学试卷

滨城高中联盟2025-2026学年度上学期高二期中考试 数学试卷 命题、审题人：大连市第十二中学 翟世臣 一、单选题（40分） 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率（直线的倾斜角）求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是，所以， 又因为，所以，即直线的倾斜角为． 故选：C 2. 已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，结合空间向量基本定理可求，从而得相应的坐标. 【详解】依题意可知， 设向量在基底下的坐标为， 即， 则， 由空间向量基本定理得，，解得. 故选：C. 3. 两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 4. 如图，已知在长方体中，，，点，分别在棱和上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建系，求得直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 已知得，， 因为点在棱上，且，， 所以，，则. ，，， 所以， 则. 直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A 5. 已知圆和圆，则（ ） A. 圆与圆相切 B. 两圆公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公切线段长为3 D. 有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【解析】 【分析】首先将圆方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，两圆方程作差即可判断B，求出即可判断C，根据公切线的性质判断D. 【详解】由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径. 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误； 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点， 即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确； 故选：D 6. 如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间坐标系，设棱柱高，求出平面的法向量，令，求出的值. 【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示， 设，则，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 故， 又直线与平面所成角的正弦值为， ，解得. 故选：D 7. 已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线的法向量得到直线的方向向量，进而求得直线的斜率，利用斜率与 倾斜角的关系求范围. 【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率，， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 综上可得：的取值范围是. 故选：A. 8. 在平面直角坐标系中，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题通过折叠性质确定圆心，结合圆的方程与两圆位置关系求解参数最小值. 【详解】由折痕的性质，折痕为对应点连线的垂直平分线， 故圆心是折痕方程与的交点. 解方程组，得，，即圆心. 点在圆上，故圆的半径， 圆的方程为. 因为，、，所以点在以为直径的圆上， 该圆方程为，圆心为，半径为. 两圆的圆心距，由两圆有公共点，得. 解得，即，故的最小值为. 故选：D 二、多选题（18分） 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点与焦点不重合，若关于，对称的点分别为，，线段的中点在椭圆上，则（ ） A. 若形成，则周长是定值为 B. C. 的最小值为 D. 当点与原点重合时，点的轨迹方程是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，由椭圆定义可求周长；B选项，由中位线结合椭圆定义可判断；C选项，由椭圆定义，结合基本不等式“1”的巧用可求最值；D选项，由相关点法可求点的轨迹方程. 【详解】对于A，椭圆，，，，所以周长是定值为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以 ， 当且仅当时，取等号，检验符合题意，所以最小值为，故C正确； 对于D，当点与原点重合时，设，，则， 由于点在椭圆上，则， 所以，即，故D不正确； 故选：ABC. 10. 在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（ ） A. 曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 曲线围成图形的面积为 C. 曲线的周长为 D. 曲线上任意两点间距离的最大值8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定方程的特征，结合曲线对称性的探讨方法、计算判断ABC；画出图形并结合图形求出最大值. 【详解】当时方程为；当时方程为； 当时方程为；当时方程为， 对于A，在方程中，用换或用换该方程均不变， 因此曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称，A正确； 对于B，曲线交轴正半轴于，曲线在第一象限部分图形是以为圆心， 为半径，所对的圆心角为的，圆心到轴的距离， 因此曲线在第一象限围成图形面积， 由对称性得总面积，B错误； 对于C，由选项B得，的长度为，由对称性得曲线的周长为，C正确； 对于D，曲线交轴负半轴于，曲线上任意两点间距离的最大值为，D正确. 故选：ACD 11. 历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点的长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ） A. 点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为 B. 该曲线上任意两点之间的最大距离为 C. 该截口曲线的焦距是 D. 点为该曲线的一个焦点 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，最大距离为到截面椭圆位于截面下端的顶点的距离；对B，最大距离为椭圆截面的长轴长；对C、D，截面上取中点为坐标原点，方向为轴正向，建立平面直角坐标系，则可得椭圆方程，进而求得焦点和焦距. 【详解】对于A：根据圆锥曲线的概念可知截口曲线为椭圆，设与截面垂直的母线垂足为. 平面交椭圆的另一交点为，由对称性知为该椭圆的长轴端点. 在直角三角形中，由，，， 则有，，， ，， 所以点到该曲线上的任意一点的距离最大值就是，故A正确； 对于B：该曲线上任意两点之间的最大距离是，故B正确； 对于C：再过作平面垂直于旋转轴，则可得该截面圆的半径， 在这个圆面内作垂直于平面，交椭圆于点，则， 如图2，在截面上取中点为坐标原点，方向为轴正向，建立平面直角坐标系， 则，，，过作垂直于轴，交椭圆于点，则， 设椭圆方程为，将代入得：， 最后可得， 由于，即椭圆焦距，故C正确； 对于D：由C可知不是椭圆的焦点，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题（15分） 12. 直线与直线平行，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分别讨论两直线斜率是否存在，存在时两斜率相等解方程即可解得. 【详解】当时，即时，不满足题意； 当时，即时，不满足题意； 当且时，两直线斜率均存在，需满足， 解得或. 又当时，与重合，不合题意； 当时，与平行，满足题意； 故答案为： 13. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知有，应用空间向量共线的坐标表示列方程求参数，即可得. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因，可得，所以， 即，解得，所以. 故答案为： 14. 已知直线关于对称的直线与圆相离，则的范围为是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据对称求出直线的方程，利用直线与圆相离求范围. 【详解】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ，，且， ，即， 直线， 圆，即， 圆心，半径，， 圆心到直线的距离， 直线与圆相离， ，即，又，解得. 故答案为：. 四、解答题（77分） 15. 设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 （1）求点，的坐标； （2）求斜边中线所在的直线方程； （3）设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）方程转化成，由且，得到，再由，得到； （2）由中点坐标公式得到的中点坐标即可求解； （3）法一：由动点在上运动和动点在上运动，由斜率的几何意义即可求解；法二：确定线段的方程为且，设，联立得到，即可求解. 【小问1详解】 由可得， 令且，解得，， 故直线恒过定点 设，则， 故则， 解得，故 【小问2详解】 由于，， 故的中点坐标，则， 故直线方程为，即 【小问3详解】 法一：设与轴的交点为， ①当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当与重合时，， 当在轴上时，，所以. ②当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当在轴上时，， 当与重合时，，所以， 综上可得. 法二：由于，， 得，所以，即 则线段的方程为且③③ 设，其中不为0， 得代入③化简整理得， 即，且， 令，且， 解得 ，则， 即. 16. 已知在正方形中，，点在边上，且，把沿折起，使得点到达点处，.设，， （1）用，，表示； （2）求. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算的运算法则计算； （2）由计算求解. 【小问1详解】 因为，且，，所以， ， . 【小问2详解】 由题意得， 所以，，， ， ， 所以 即 计算得 所以. 17. 已知点及圆 （1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）设过直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程； （3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）或 （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）设直线的斜率为，用点到直线的距离公式得，即求； （2）设MN的中点为，由题可得，即得； （3）假设存在，则圆心必在上，由得，再由直线与圆的位置关系可得，即可得出结果. 【小问1详解】 由得 设直线的斜率为，则方程为. 又圆的圆心为，半径， 由，解得或. 所以直线方程为或， 即直线的方程为或. 【小问2详解】 设的中点为，则， 又，所以， , 化简得 （2）（1）得代入（2）得 或 或， 以为直径的圆的方程为或. 【小问3详解】 存在实数满足题意 由直线与圆交于，两点， 则圆心到直线的距离，解得. 设符合条件的实数存在， 由于垂直平分弦，故圆心必在上. 所以的斜率，而，所以 由于 故存在实数，使得过点的直线垂直平分弦. 18. 如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）求证：直线平面； （2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明平面，结合可证； （2）设，由向量法表示直线与直线所成的角求出，再利用向量法求解所求角的余弦值. 【小问1详解】 ，是.的中点，， 又平面，平面 平面， 平面，平面面，， ，平面面，平面平面， 平面， 平面； 【小问2详解】 ，平面平面 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则点在平面内，，，，，， 则，，， 设， 则点坐标为，，， ，解得， 则点坐标为，知，， 设平面的法向量， 即，即，取，可得； 设平面法向量为， 则，即，取，可得； ， 即平面与平面所成角的余弦值为. 19. 已知平面内的动点的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点与两定点，的距离之比，（且的常数），其方程为，定点分别为椭圆的上焦点与上顶点，且椭圆与轴的两个交点之间的距离为，过点作斜率为的直线交圆于点， （1）求椭圆的标准方程； （2）若为锐角（其中是原点），求斜率取值范围； （3）设椭圆的下焦点为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据阿波罗尼斯圆定义结合椭圆方程可得，，进而可得，即可得椭圆方程； （2）可知斜率存在且不为零，，与圆的方程联立可得韦达定理，根据和运算求解； （3）解法一：利用垂径定理求，进而可得，换元令，结合基本不等式求最值；解法二：利用割补法求得，换元令，结合基本不等式求最值. 【小问1详解】 取，由阿波罗尼斯圆定义可得， 由题可知，代入上式可解得， 则，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题设可知：斜率存在且不为零，设， 联立方程，消去y得， 则，解得， 设两交点，，可得，， 若使为锐角，则满足， 因为 ， 可得，解得，可得或， 所以斜率的取值范围为. 【小问3详解】 解法一：因为斜率存在且不为零，设， 圆的圆心为，半径， 则点到直线的距离为， 且原点到直线的距离，则， 可得， 令，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以面积的最大值为3； 解法二：由题意可知：，，同号， 且， ， 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以面积的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨城高中联盟2025-2026学年度上学期高二期中考试 数学试卷 命题、审题人：大连市第十二中学 翟世臣 一、单选题（40分） 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知在长方体中，，，点，分别在棱和上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆和圆，则（ ） A. 圆与圆相切 B. 两圆公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公切线段长为3 D. 有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 6. 如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，则的最小值为（ ） A 4 B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点与焦点不重合，若关于，对称的点分别为，，线段的中点在椭圆上，则（ ） A. 若形成，则周长是定值为 B. C. 的最小值为 D. 当点与原点重合时，点的轨迹方程是 10. 在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（ ） A. 曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 曲线围成图形的面积为 C. 曲线周长为 D. 曲线上任意两点间距离最大值8 11. 历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点的长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ） A. 点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为 B. 该曲线上任意两点之间的最大距离为 C. 该截口曲线的焦距是 D. 点为该曲线的一个焦点 三、填空题（15分） 12. 直线与直线平行，则______． 13. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为__________. 14. 已知直线关于对称直线与圆相离，则的范围为是__________ 四、解答题（77分） 15. 设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 （1）求点，的坐标； （2）求斜边中线所在的直线方程； （3）设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 16. 已知在正方形中，，点在边上，且，把沿折起，使得点到达点处，.设，， （1）用，，表示； （2）求 17. 已知点及圆 （1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）设过直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程； （3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 18. 如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）求证：直线平面； （2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值. 19. 已知平面内的动点的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点与两定点，的距离之比，（且的常数），其方程为，定点分别为椭圆的上焦点与上顶点，且椭圆与轴的两个交点之间的距离为，过点作斜率为的直线交圆于点， （1）求椭圆的标准方程； （2）若为锐角（其中是原点），求斜率的取值范围； （3）设椭圆的下焦点为，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $