精品解析：辽宁省沈阳市辽宁省实验中学2025-2026学年高一上学期期中测试数学试卷

辽宁省实验中学2025年秋季学期期中阶段测试高一年级数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再利用并集的运算求解. 【详解】，，. 故选：B 2. 已知，则的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 可得命题的否定为：. 故选：C. 3. 设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】化简和，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】化简可得或， 化简可得， 因为是或的真子集， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，令，求得的取值范围，即可得到的定义域. 【详解】由函数的定义域是，可得， 令，解得，所以的定义域是. 故选：A. 5. 已知，则的最小值是（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】已知，故，所以： ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：D. 6. 若函数，则下列区间中一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理，结合选项，即可求解. 【详解】由已知：当时，， 所以函数在上不存在零点， 当时，因为函数和函数在单调递减， 所以函数在上单调递减， 又，，， 根据零点存在定理可知，一定包含零点的区间为， 故选：C. 7. 已知在上为单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，根据二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得 因为函数在为单调递增函数，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， （1）当时，即时，可得， 可得的图象开口向上，且对称轴为，所以函数在上单调递增， 要使得，则，即，解得； （2）当时，即时，， ①当时，函数在上单调递减，在单调递增， ②当时，函数在上单调递增，在单调递减，在单调递增， 因为， 所以当时，不等式不能恒成立， 综上可得：实数的取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用作差法判断BCD三个选项，利用放缩，判断A选项. 【详解】A选项，因为，所以，A正确； B选项，当时，，B错误； C选项，， 因为，所以，因为，所以， 所以，即，C正确； D选项，， 因为，所以，又因为，所以， 因为，所以，所以， 即，D错误； 故选：AC. 10. 若函数有且只有两个正零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用判别式和韦达定理求解. 【详解】函数有且只有两个正零点，设这两个正零点为， ，， 故选：BCD. 11. 已知的定义域为，且，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 是奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的等式，利用赋值法，结合奇偶函数的定义逐项判断得解. 【详解】定义在上的函数，满足， 对于A，取，得，则，A正确； 对于B，取，得，因此，B正确； 对于C，取，得，则，取， 得，因此，不是偶函数，C错误； 对于D，令，则， 因此，是奇函数，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是___________ 【答案】 【解析】 【分析】讨论与2的大小，借助不等式性质求解即可. 详解】当时，，此时，此时无解； 当时，，此时，此时解集为：， 故答案为：. 13. 已知为奇函数，则实数___________ 【答案】 【解析】 【分析】化简函数，结合，列出等式，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数为奇函数，所以， 即，可得，解得 故答案为：. 14. 已知是实数，且，则的最小值是___________ 【答案】. 【解析】 【分析】设，得到，代入求得，化简得到，设，转化为方程有解，结合，即可得到答案. 【详解】设，则， 代入已知条件，可得，则， 所以， 设，可得， 因为存在实数，即方程有解， 则满足，即， 解得，即； 当时，由，可得，此时， 因为，所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集． （1）若，求； （2）确定实数的取值范围，使． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据交集和补集的意义，即可求解； （2）直接由，即可确定实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，或； 故， 或； 【小问2详解】 由题意得，易知， 由，得或， 即或 故的取值范围是. 16. 某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： （1）将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； （2）为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用销售收入减去投入成本再减去固定成本2万元即可求解. （2）根据条件列不等式，解不等式时要注意. 【小问1详解】 由题可知利润表示总收入减去固定成本和投入成本所得， 故. 所以利润表示为月产量的函数为. 【小问2详解】 当时，，令，解得； 当时，，令，解得，所以， 所以月产量的取值范围是． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求，的值； （2）证明：在上单调递减； （3）直接写出的值域（不要求证明）． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，求得，由，求得，进而检验即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）利用奇函数的性质与基本不等式可求值域. 【小问1详解】 由题意知，得， 由，得， 此时， 则， 即是奇函数，故． 【小问2详解】 由（1）知，． ，则， 由，得， 即，而， 故，即 则在上单调递减； 【小问3详解】 当时，， 当时，，当且仅当时取等号， 又，所以， 当时，由为奇函数，可得， 所以的值域是． 18. 记不等式为不等式（*）． （1）当时，解关于的不等式（*）； （2）当时，关于的不等式（*）的解集中整数恰好有3个，求实数的取值范围； （3）当时，关于的不等式（*）在上恒成立，求的最大值． 【答案】（1）时，解集为，时，解集为 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）分和两种情况解不等式即可； （2）以为主元进行因式分解得，结合可求解集，根据题意可得，求解即可； （3）令，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质可求解. 【小问1详解】 当时， 当时，易知的解集是； 当时，不等式（*）为， 于是， 由知，则（*）的解集是． 综上所述：当时，的解集是； 由，（*）的解集是． 【小问2详解】 当时，， 即． 当时，， 则不等式（*）的解集是 注意到， 故解集中三个整数为0，1，2，则，即 所以实数的取值范围是． 【小问3详解】 不等式（*）整理为 令，注意到为的零点． 当时，不恒成立； 当时，由及二次函数图像知， 是的不变号零点且二次函数图象开口向下 则且，则 则，当时，取最大值为1． 此时，，则满足题意． 所以的最大值为1． 19. 定义在上的函数满足：对任意非零实数． （1）证明：为偶函数； （2）若，且当时，． （i）证明：在上单调递增； （ii）若在上恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii）． 【解析】 【分析】（1）对题干等式进行赋值，证明即可证明； （2）（i）用定义法证明函数单调性； （ii）根据推出，再结合得到不等式，根据单调性可知，进行参数分离，得到，利用换元求出的最小值，即可解出答案. 【小问1详解】 （1）的定义域是 由知，， 故，于是为偶函数． 【小问2详解】 （i）， 由，知， 又当时，，故， 故，即 则在上单调递增． （ii）由题，， 由及，得 ， 由（i）知在上单调递增， 于是 则， 则 令， 当且仅当时等号成立， 则， 当时，即时， 则，即． 则正实数取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省实验中学2025年秋季学期期中阶段测试高一年级数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则是的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值是（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 2 6. 若函数，则下列区间中一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在上为单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 若函数有且只有两个正零点，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义域为，且，则（ ） A B. C. 偶函数 D. 是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是___________ 13. 已知为奇函数，则实数___________ 14. 已知是实数，且，则的最小值是___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集． （1）若，求； （2）确定实数的取值范围，使． 16. 某科技公司生产某种产品固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： （1）将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； （2）为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求，的值； （2）证明：在上单调递减； （3）直接写出的值域（不要求证明）． 18. 记不等式为不等式（*）． （1）当时，解关于的不等式（*）； （2）当时，关于的不等式（*）的解集中整数恰好有3个，求实数的取值范围； （3）当时，关于的不等式（*）在上恒成立，求的最大值． 19. 定义在上的函数满足：对任意非零实数． （1）证明：为偶函数； （2）若，且当时，． （i）证明：在上单调递增； （ii）若在上恒成立，求正实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $