精品解析：广东省上进联考2025-2026学年高二上学期期中调研测试数学试卷

广东省2025—2026学年上学期高二年级期中调研测试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的直线方程，化为直线的斜截式方程，得出直线的斜率. 【详解】由直线方程，可得 所以直线的斜率. 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，点的中点到坐标原点的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用中点坐标公式求出点，再根据两点间距离公式求解即可. 【详解】由中点坐标公式可知：点，故. 故选：C. 3. 若直线与直线之间的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式求解. 【详解】由题意知， 又， 解得， 故选：B. 4. 过点的圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何法求出圆心，进而可求圆的半径. 【详解】易知以为端点构成的线段的中垂线方程为， 以为端点构成的线段的中垂线方程为，如图： 设圆心坐标为，显然点为直线与直线的交点，即. 所以圆心坐标为，故圆的半径. 故选：B. 5. 已知空间向量，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据空间向量的模的坐标公式求出即可得解. 【详解】由已知得，则， 即，可得，因此. 故选：C. 6. 在正三棱柱中，为的中点，则（ ） A. -1 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】用空间向量将表示出来，然后结合正三棱柱的垂直关系和向量的数量积定义求出结果即可. 【详解】因为为的中点，故， 因为正三棱柱，所以，故， 于是.. 故选：D. 7. 已知圆与圆交于两点，且直线经过线段上靠近的三等分点，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】通过两圆公共弦方程与线段三等分点的结合，求解参数的值. 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径. 圆心距为，由于两圆相交，所以， 将两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简为，即. 线段的长度为，靠近的三等分点的坐标为. 因为直线经过，将其代入公共弦方程得，解得. 故选：C. 8. 已知半径为2的球与平面相切，球面上两点满足，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，可得球的方程为，设的坐标为，的坐标为，结合向量的运算求得，可求结论. 【详解】过点得平面的垂线为，在平面内作两条互相垂直的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则球的方程为， 因为点到的距离为3，所以设的坐标为，所以， 设的坐标为，则，， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又由平面向量知识可得， 所以， 又因为，所以， 所以，两边平方得， 所以，所以， 解得，所以， 所以点到平面距离的最大值为. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是空间向量的一个基底，，则下列选项中不能作为空间向量的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的基底概念，结合共面向量基本定理逐一判断即可. 【详解】对于A，假设，则， 因不共面。故，该方程无解，故不共面，可作为空间向量的一个基底，故A不符合题意； 对于B，因，故不能作为空间向量的一个基底，故B符合题意； 对于C，因，故不能作为空间向量的一个基底，故C符合题意； 对于D，因，故不能作为空间向量的一个基底，故D符合题意. 故选：BCD. 10. 记，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点到的距离为 B. 当在上时，的截距式方程为 C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】利根据点到直线的距离公式可判断A；根据直线截距式方程的含义判断B；根据直线垂直和平行的条件求参数，可判断CD. 【详解】对于A，当时，，点到的距离，故A正确； 对于B，当在上时，，此时，与x轴无交点，故无截距式方程，故B错误； 对于C，由可得，解得，故C正确； 对于D，由可得，可得，故D错误. 故选：AC. 11. 已知高为2的斜三棱柱中，在底面上的射影为点，且四边形是边长为2的正方形．设分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量法，结合坐标运算，向量共线的坐标运算和向量垂直的坐标运算来确定各选项. 【详解】正方形的边长为2，则是以为直角顶点的等腰直角三角形. 以点为原点，以的方向分别为轴，轴正方向， 过点且垂直于底面的直线为轴，向上为轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 则，由四边形是正方形，得， 因为顶点在底面上的射影是点，且棱柱的高为2，所以. 故，则，则， 则，， 故直线与不垂直，A错误. 由.设平面的法向量为. 由，得， 由，得，取，得. 由于，因此向量与共线，也即直线垂直于平面，B正确. 三棱锥的体积等价于三棱锥的体积，， 三棱锥的高即到平面的距离，等于1. 故，C正确. ，设直线与的夹角为， 则，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记点，点在圆上，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆外一点到圆上一点的距离，即可解出答案. 【详解】因为，故点在圆外， 因为圆的半径，设圆心， 圆心与点的连线长， 故， 即， 故答案为：. 13. 已知曲线，过直线上一点作的两条切线，若两切点之间的距离为，则的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，与交于点，通过，得到，进而可求解. 【详解】设切点为，易知曲线为圆在轴上方的部分，且， 记坐标原点为与交于点，则， 则,且Q为的中点，，， 故，故， 所以， 易知直线上到原点距离为4的点有两个， 且与y轴的交点到原点距离为4， 由于曲线为圆在轴上方的部分，故符合题意的只有一个， 易知其坐标即为. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，直线过定点，点在直线上，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】因为，所以，根据两角差的正切公式，结合各点坐标，可得的表达式，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】直线可表示为，可知其过定点. 设，设，注意到， 则， 而， 故， 于是，当且仅当时，等号成立， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求的平分线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知点的坐标特征，判断，推得的平分线所在直线的倾斜角为，即可写出直线的斜截式方程； （2）先求出直线的斜率，利用垂直关系求出边上的高的斜率，由点斜式求得其方程，整理得直线的一般式方程. 小问1详解】 由，易得直线的斜率为0，故其方程为， 直线的斜率不存在，故其方程为，可得， 易知的平分线所在直线的倾斜角为，又经过点，则其方程为， 故的平分线所在直线的斜截式方程为. 【小问2详解】 由可得直线的斜率， 故边上的高所在直线的斜率， 又所求直线经过点，故其方程为， 故边上的高所在直线的一般式方程为. 16. 已知为直线的方向向量，为平面的法向量，为平面的法向量，且不在内. （1）证明：； （2）求与所成角的正弦值； （3）求与的夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的向量表示证明； （2）由线面角的向量法计算； （3）由二面角的向量法计算． 【小问1详解】 由，可知l∥β或l⊂β， 又l⊄β，所以l∥β. 【小问2详解】 记l与α所成的角为θ1，则sinθ1===. 【小问3详解】 记α与β的夹角为θ2，则cosθ2===， 由θ2∈知sinθ2==. 17. 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，． （1）若，求的斜率； （2）若的斜率为，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设的方程为，利用圆的弦长公式得到方程，解出即可； （2）写出直线方程，利用点到直线的距离公式得到方程，解出，再求出三角形的高，最后利用三角形面积公式即可. 【小问1详解】 若的斜率为0，则，不合题意． 故设的方程为，点到直线的距离， 又，即，解得， 故的斜率． 【小问2详解】 由题知． 此时点到直线的距离，解得． 而点到的距离， 又，故的面积． 18. 已知圆过点，且与圆内切，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）圆与交于两点.过点作圆的两条切线，切点分别为. （i）求的取值范围； （ii）若，求点到直线的距离. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，利用两圆的位置关系和点在圆上建立方程求解参数，最后得到圆的方程即可. （2）（i）利用两圆相交建立不等式，求解参数范围即可，（ii）作出符合题意的图形，分别求出P到的距离和到的距离，结合题意得到，进而求解即可. 小问1详解】 设，则设圆， 因为两圆内切，所以， 而圆过点，可得， 两边同时平方可得，解得， 故，于是T的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意得圆与交于两点，则其圆心之间的距离为， 则，解得， 故的取值范围是. （ii）如图，作出符合题意图形，设，连接，与交于， 由公共弦性质得，由切点弦性质得， 而，可得三点共线， 由两点间距离公式得， 因为，所以，解得， 联立方程组，可得， 即直线的方程为， 由点到直线的距离公式得G到AB的距离， 则P到的距离， 设点P到的距离为s，即， 由题意得，， 则，则，即， 由勾股定理得， 得到，由题意得， 故点到的距离即与间的距离，该距离为. 19. 如图，四边形是边长为2、中心为的正方形，为平面外一动点，满足平面平面，且四棱锥的体积为.设线段的中点为为线段上一动点（不包含端点）. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的最大值； （3）求点到平面与平面的距离的平方之和的最大值，并指出此时点与点的位置. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）最大值为4，P点位于A点正上方高为2的位置，Q点与B点重合. 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，由体积公式求得棱锥的高，设点，由空间向量法求线面角，再结合函数性质得最大值． （3）设=+λ，其中，由空间向量法求得点面距，求得点面距的平方和后，先让固定，式子为关于的二次函数，得最大值，再让变化得最大值，然后可得位置． 【小问1详解】 由题意，得O为的中点，且点M是线段的中点， 故是的中位线，故. 又平面，而平面， 故平面； 【小问2详解】 如图，以点A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴正方向，垂直于平面ABCD向上的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意可知，. 设四棱锥的高为h，由体积公式易有,解得h=2. 又平面⊥平面，且平面⋂平面， 故点P在平面内的投影落在直线上. 设点，则M，=. 由题，Q为线段上一点，因此点P，Q，B三点共线， 即等价于求直线与平面所成角的最大值， 设平面的法向量为.又，. 则即 令a=2，可得平面的一个法向量=（2，2，2-t）. 设直线BM与平面所成角为θ. 则sinθ====. 故当t=2时，取得最小值8，此时取得最大值， 又θ∈，由正弦函数单调性可知，此时θ取得最大值， 即直线与平面所成角的最大值为. 【小问3详解】 不妨设=+λ，其中，则. 设为Q到平面的距离，为Q到平面的距离， 设平面的法向量为，又，. 则即 令，可得平面的一个法向量为， 则，即. 设平面的法向量为，又， 则即 令，可得平面的一个法向量为， 又则，即=. 故所求距离的平方和. 对于固定t，S是关于λ的开口向上的二次函数，其在区间[0,1)上的最大值必在端点取得. 当λ=0时，S=，当λ=1时S=， 且由于，故>， 即对于固定的t，S的最大值为，在λ=0时取得， 又的最大值在t2=0，即t=0时取得，此时S的最大值为4， 当且仅当λ=0，t=0时取得. 此时，即点A的正上方；，Q点与B点重合. 综上所述，距离平方和的最大值为4.取得最大值时，P点位于A点正上方高为2的位置，Q点与B点重合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2025—2026学年上学期高二年级期中调研测试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点的中点到坐标原点的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 若直线与直线之间的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 过点的圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知空间向量，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 6. 在正三棱柱中，为的中点，则（ ） A. -1 B. C. D. 1 7. 已知圆与圆交于两点，且直线经过线段上靠近的三等分点，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知半径为2的球与平面相切，球面上两点满足，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是空间向量的一个基底，，则下列选项中不能作为空间向量的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 记，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点到的距离为 B. 当在上时，的截距式方程为 C. 当时， D. 当时， 11. 已知高为2的斜三棱柱中，在底面上的射影为点，且四边形是边长为2的正方形．设分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记点，点在圆上，则取值范围是__________. 13. 已知曲线，过直线上一点作的两条切线，若两切点之间的距离为，则的坐标为__________. 14. 在平面直角坐标系中，直线过定点，点在直线上，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求的平分线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的一般式方程. 16. 已知为直线的方向向量，为平面的法向量，为平面的法向量，且不在内. （1）证明：； （2）求与所成角的正弦值； （3）求与的夹角的正弦值. 17. 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，． （1）若，求的斜率； （2）若的斜率为，求的面积． 18. 已知圆过点，且与圆内切，记的轨迹为. （1）求方程； （2）圆与交于两点.过点作圆的两条切线，切点分别为. （i）求的取值范围； （ii）若，求点到直线的距离. 19. 如图，四边形是边长为2、中心为的正方形，为平面外一动点，满足平面平面，且四棱锥的体积为.设线段的中点为为线段上一动点（不包含端点）. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角最大值； （3）求点到平面与平面的距离的平方之和的最大值，并指出此时点与点的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $