精品解析：内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗东片联盟2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度上学期 九年级数学期中考试试卷 一、单选题（24分） 1. 下列几个标志中，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义进行作答即可 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，该选项符合题意； D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形以及中心对称图形的识别，正确掌握轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义是解题的关键． 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以逐一判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数， A、该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； B、对称轴是直线，故选项B错误，不符合题意； C、顶点坐标是，故选项C正确，符合题意； D、当时，方程无解，即该函数图象与轴无交点，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 3. 抛物线先向上平移4个单位，再向右平移3个单位，最终解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键． 按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：抛物线先向上平移4个单位得，再向右平移3个单位， 故选B． 4. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达40亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（　　） A. 40（1+x）2＝175 B. 40+40（1+x）2＝175 C. 40（1+x）2+40（1+x）2＝175 D. 40+40（1+x）+40（1+x）2＝175 【答案】D 【解析】 【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【详解】解：二月份的产值为：40（1+x）， 三月份的产值为：40（1+x）（1+x）＝40（1+x）2， 故第一季度总产值为：40+40（1+x）+40（1+x）2＝175． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图像的对称性． 6. 关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　） A. m≤3 B. m≤3且m≠2 C. m＜3 D. m＜3且m≠2 【答案】D 【解析】 【分析】函数与x轴的交点横坐标就是令y＝0时的一元二次方程的解，根据有两个不同的交点可知Δ＞0，列出不等式即可求解． 【详解】解：∵关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不同的解， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（m﹣2）×1＞0，且m﹣2≠0， 解得：m＜3且m≠2． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴交点个数问题，解题关键是明确当Δ＞0时，抛物线与与x轴有两个不同的交点． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用，先由二次函数图象得出字母系数的正负，再由一次函数的图象得出字母系数的正负，进行比较看是否一致即可判断求解，掌握一次函数与二次函数的图象及其性质是解题的关键． 【详解】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项正确，符合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 故选：． 8. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论：①；②；③；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，有，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解答的关键在于掌握并灵活应用二次函数的图象和性质，注重数形结合的思想．①根据对称轴，确定a，b的关系，然后判定即可；②根据图象确定a、b、c的符号，即可判定；③根据抛物线与x轴的另外一个点的坐标为，然后判定即可；④根据对称性判断即可；⑤由图象可得，当时，抛物线总在直线的上面，则． 【详解】解：①∵抛物线的顶点坐标，即对称轴为直线， ∴，则，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴是直线，， ∴抛物线与x轴的另一个交点是，故④错误； 把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 由图象得：当时，；故⑤正确． 综上分析可得，正确的有：①③⑤． 故选：C． 二、填空题（15分） 9. 若点与点关于原点对称，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点的纵坐标与纵坐标互为相反数，横坐标与横坐标互为相反数，即可作答． 【详解】解：因为点与点关于原点对称， 所以， 则 故答案为： 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，正确掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键，难度较小． 10. 如图，在中，点是的中点，，则等于________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据等腰三角形性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵点是的中点，即， ∴． 11. 已知方程（m﹣2）x|m|﹣bx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为_____． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到未知数x的最高次数为2，即，再结合绝对值的性质解得m的值，最后根据一元二次方程二次项系数不为0解题即可． 【详解】解：∵方程（m﹣2）x|m|﹣bx﹣1＝0是关于x的一元二次方程， ∴|m|＝2且m﹣2≠0， 解得：m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查一元二次方程的概念，涉及绝对值的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12. 若、是一元二次方程的两个根，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后代入所求表达式计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，根据根与系数的关系，可得： ， 则． 故答案为：． 13. 若函数，当时的最大值是，最小值是，则____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意画出函数图象，即可由此找到m和M的值，从而求出M-m的值． 【详解】解：原式可化为y=（x-3）2-4， 可知函数顶点坐标为（3，-4）， 当y=0时，x2-6x+5=0， 即（x-1）（x-5）=0， 解得x1=1，x2=5． 如图：m=-4， 当x=6时，y=36-36+5=5，即M=5． 则M-m=5-（-4）=9． 故答案为9． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，找到x的取值范围，画出函数图象，根据图象找到m的值和M的值． 三、解答题 14. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 ， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 ， ， ， 或， 解得，． 15. 如图三个顶点坐标分别是，，按要求完成以下各题： （1）画出关于原点成中心对称的，写出点的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，请在图中标出点并写出坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 如图，点P即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图-中心对称变换，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】连接CO，利用垂径定理求解再令⊙O的半径为rm，利用勾股定理建立方程求解半径即可得到答案. 【详解】解：连接CO．∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O， ∴EM⊥CD，且CM＝CD＝×4＝2． 在Rt△OCM中，令⊙O的半径为rm， ∵OC2＝OM2＋CM2， ∴， 解得：r＝． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握利用垂径定理构建直角三角形是解题的关键. 17. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 【答案】（1）平均一个人传染了7人 （2）经过三轮传染后，患流感人数不能突破600 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有64人患病，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，列出算式求出三轮传染后的总人数，进行判断即可． 【小问1详解】 解：设平均一个人传染了人， 则． 解得，（舍去）． 答：平均一个人传染了7人． 【小问2详解】 经过三轮传染后，患流感人数为， ． 答：经过三轮传染后，患流感人数不能突破600人． 18. 如图，有长为的篱笆，现利用一面墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．     （1）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ （2）可以围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）的长是米 （2） 解：不能围成一个面积为的矩形场地，理由如下： 由（1）可得：，整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， ∴不能围成一个面积为的矩形场地． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设的长是米，则有，由题意易得，且，然后问题可求解； （2）由（1）可得：，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【小问1详解】 解：设的长是米，则有，由题意得： ， 解得：， ∵墙的最大可用长度为， ∴，解得：， ∴； 答：的长是米． 【小问2详解】 略 19. 某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克．请回答： （1）若该专卖店单价降10元，此时每天的销售量为_____千克； （2）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应将售价定为多少元？ （3）该专卖店销售这种核桃每天能获得最大利润是多少？此时应降价多少元？ 【答案】（1）200 （2）该店应将售价定为54元 （3）该专卖店销售这种核桃每天能获得最大利润是2250元，此时应降价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程和函数关系式． （1）根据题意，由单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，即可得到答案； （2）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解，然后根据为尽可能让利于顾客取合适的解即可； （3）根据已知得出销量乘以每千克利润=总利润进而得出函数关系式，再利用配方法求出即可． 【小问1详解】 单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克， 当专卖店单价降10元时，则平均每天的销售可增加千克， 此时每天销售量为千克， 故答案为：200； 【小问2详解】 设每千克核桃应降价元， 根据题意，得：， 解得：，， 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元． 此时，售价为：（元） 答：该店应将售价定为54元； 【小问3详解】 设每天获得的利润为，每千克核桃应降价元，则 ． ，当时，有最大值，最大值为2250． 答：该专卖店销售这种核桃每天能获得最大利润是2250元，此时应降价5元． 20. 如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标． 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）；（3）（，4）或（，4）或（1，﹣4）． 【解析】 【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值． （2）根据S△PAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3， ∴﹣1+3=﹣b， ﹣1×3=c， ∴b=﹣2，c=﹣3， ∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3． （2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）． （3）设P的纵坐标为|yP|， ∵S△PAB=8， ∴AB•|yP|=8， ∵AB=3+1=4， ∴|yP|=4， ∴yP=±4， 把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3， 解得，x=1±2， 把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3， 解得，x=1， ∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8． 【点睛】1．待定系数法求二次函数解析式；2．二次函数的性质；3．二次函数图像上点的坐标特征． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期 九年级数学期中考试试卷 一、单选题（24分） 1. 下列几个标志中，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）. A. B. C. D. 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 3. 抛物线先向上平移4个单位，再向右平移3个单位，最终解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达40亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（　　） A. 40（1+x）2＝175 B. 40+40（1+x）2＝175 C. 40（1+x）2+40（1+x）2＝175 D. 40+40（1+x）+40（1+x）2＝175 5. 已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 6. 关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　） A. m≤3 B. m≤3且m≠2 C. m＜3 D. m＜3且m≠2 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论：①；②；③；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，有，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②④⑤ 二、填空题（15分） 9. 若点与点关于原点对称，则_______． 10. 如图，在中，点是的中点，，则等于________度． 11. 已知方程（m﹣2）x|m|﹣bx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为_____． 12. 若、是一元二次方程的两个根，则_____． 13. 若函数，当时的最大值是，最小值是，则____． 三、解答题 14. 解下列方程： （1）； （2） 15. 如图三个顶点坐标分别是，，按要求完成以下各题： （1）画出关于原点成中心对称的，写出点的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，请在图中标出点并写出坐标． 16. 如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径． 17. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 18. 如图，有长为的篱笆，现利用一面墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．     （1）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ （2）可以围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由． 19. 某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克．请回答： （1）若该专卖店单价降10元，此时每天的销售量为_____千克； （2）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应将售价定为多少元？ （3）该专卖店销售这种核桃每天能获得最大利润是多少？此时应降价多少元？ 20. 如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $