精品解析：四川省广安中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题

高2023级高三上学期第二次月考 数学学科 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数，其中i为虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数模的计算公式求解即得. 【详解】因为，则 故选：C 2. 已知集合，则中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求解计划是先求解集合中不等式，确定集合的元素，再根据交集的定义求出，最后得出中元素的个数. 【详解】集合由满足的自然数组成， 又， 所以满足的自然数的，故集合， 集合， 所以，包含个元素. 故选：B. 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件，“出现的点数大于4”为事件，则下述正确的是（ ） A. 与对立 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：；事件A包含的结果是：；事件B包含的结果是：，由对立互斥独立的概念逐一判断各个选项即可求解. 【详解】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：； 事件A包含的结果是：； 事件B包含的结果是：. 因为未包含所有可能结果（如1，3没包含在内），A与B不对立，故A错误； 因为，A与B不互斥，故B错误； 因为，， 因此A与B相互独立，故C正确； ，，， 而，故D错误. 故选：C. 4. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知函数的一个周期为2，根据周期性以及奇函数分析求解即可. 【详解】因为，则， 可知函数的一个周期为2， 又因为为奇函数，且当时，， 所以. 故选：A. 5. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由重心以、表示，根据题目条件转化为、，最后由三点共线求得. 【详解】由于为的重心，所以， 由于、、三点共线，所以，， 故选：B. 6. 已知数列中，且，则（    ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，推得，得到数列是周期为的数列，结合，即可求解. 【详解】由题意知，数列满足且， 则， 所以数列是周期为的数列，则. 故选：A. 7. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点．若关于函数在区间上的“中值点”个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用拉格朗日中值定理应用导函数得出方程解的个数即可判断求解． 【详解】设函数在区间上的“中值点”为，由，得， 则由拉格朗日中值定理得，，即， 而，则，即函数在区间上的“中值点”的个数为1，因此， 设函数在区间上的“中值点”为，由，求导得， 由拉格朗日中值定理得，，即， 令函数，，在上单调递增， ，， 则在上有唯一零点，即方程在区间上有1个解， 因此函数在区间上的“中值点”的个数为1，即，所以． 故选:B． 8. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】命题等价于在上单调递增，再利用单调性求出参数范围. 【详解】当时，不等式恒成立，令函数， 则函数在上单调递增， 因此，恒成立， 令函数，求导得 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知a，b≠0，且a>b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断AC；利用幂函数、指数函数单调性推理判断BD. 【详解】对于AC，取 ，，AC错误； 对于B，函数在R上单调递增，，B正确； 对于D，函数在R上单调递增，，D正确. 故选：BD 10. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法计算可判断A错误，BC正确，对二项展开式两边同时求导并令计算可判断D错误. 【详解】对于A：令，则，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则，故C正确； 对于D，由， 两边同时求导得， 令，则，故D错误. 故选：BC. 11. 若的图象在，处的切线分别为，，且，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 直线，在轴上的截距之差的绝对值为2 D. 直线，在轴上的截距之积可能为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据及导数的几何意义得，再借助于基本不等式即可判断A、B，写出、的方程，得到、在轴上的截距，由此判断C，D. 【详解】对于A、B：由题意可得，当时，， 当时，，所以的斜率分别为， 因为，所以，得， 故A正确. 因为，所以， 因为，所以取不到最小值，故B错误． 对于C、D：的方程为，即， 令，得，所以在轴上的截距为， 的方程为，可得在轴上的截距为， 所以在轴上的截距之差为，故C正确. 在轴上的截距之积为，故D错误． 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题关键是找到，各选项均是建立在此结论的基础上，由可求的最小值；转化为的问题都可以利用计算. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式，即可求得答案. 【详解】由题意知，故. 故答案为： 13. 记等差数列的前项和为，若，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式，和等差数列各项之间的关系，求出前7项和. 【详解】已知，∴， 则， 由公式得， 故答案为：14. 14. 已知函数在上恰好有7个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简为，令，即在上恰有7个不相等的实根，由的性质可得解 【详解】，令， ， ， 由题意在上恰有7个零点，即在上恰有7个不相等的实根， 即，或，， 当时，， … 当，. 由的性质可得， 解得． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 函数的最小正周期为，且. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据周期公式得，进而由得，再根据即可求得答案； （2）根据函数图象平移得，再根据三角函数的性质求值域即可. 【小问1详解】 解：因为函数的最小正周期为， 所以，解得， 因为， 所以，即， 因为，所以， 所以， 【小问2详解】 解：因为函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象 所以， 因为，所以， 所以，当，即时，有最大值； 当，即时，有最小值； 所以，函数在区间上的值域为 16. 如图，直三棱柱中，分别为和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接， 因为，，故， 由直三棱柱的性质可得，故， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证，再利用线面平行的判定定理可证平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，根据可求的长，再求出平面的法向量后可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故，设. 由直三棱柱可得平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 故，且. 因为，故即，故（舍去）， 故，，又. 设平面的法向量为，则, 所以，取， 故与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 17. 在中，角，，所对的边分别是，，，且. （1）求； （2）若是边的中点，，，求的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得； （2）借助向量模长与数量积的关系计算可得，再利用面积公式计算即可得. 【小问1详解】 由，则， 又， 则有， 即，又，故， 则，即，又，则； 【小问2详解】 由是的中点，则， 则 即，则， 解得或（负值，舍去）， 则. 18. 甲同学参加一项抽奖活动，在一个盒子中，有大小形状完全相同的5个球，其中3个白球，2个红球. （1）若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率； （2）一次随机抽取两个球，若取到的两个球颜色相同则中奖，颜色不同则不中奖，抽完奖之后把球再放回盒子里以便于再次抽奖. （i）求甲抽取一次，中奖的概率； （ii）甲一共抽取了三次，中奖次数为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）分布列： 【解析】 【分析】（1）借助条件概率公式计算即可得； （2）（i）借助组合数计算即可得；（ii）计算出的所有可能取值及其对应概率即可得分布列，利用分布列计算即可得其数学期望. 【小问1详解】 设事件表示“第次取球时，取到红球”， 则，， 则， 即在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为； 【小问2详解】 （i）； （ii）的可能取值为， 则，， ，， 则的分布列为： 则其数学期望. 19. 已知函数，． （1）当时，求图象在处的切线方程； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）先求导数，求出和的值，利用导数的几何意义和点斜式可得出所求切线的方程； （2）由题意，通过参变分离得到对恒成立，令再利用导数求即得答案； （3），令，，，因是单调函数，故有两个零点，等价于在上有两个零点.进而通过利用导数求得函数的单调性、极值，即可得的取值范围；或通过参变量分离，利用导数求得函数的单调性，由与图象有两个公共点可得的取值范围. 【小问1详解】 时，，∴， ，则，即切线的斜率为. ∴图象在处的切线方程为. 【小问2详解】 ，即， ∴ 由题意，得对恒成立. 令，则. . 由，得，∴在上单调递增； 由，得，∴在上单调递减. 所以， 故. 【小问3详解】 ，令，，， 因是单调函数，故有两个零点，等价于在上有两个零点. 方法1： ①当时，，则在上递减，最多有一个零点，故不满足题意； ②当时， 令可得，即在上单调递增； 令可得，即在上单调递减. 且当时，，则 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故 要使在上有两个零点，则，解得 方法2：在上有两个零点，等价于方程有两个实根，即有两个根 也等价于与图象有两个公共点 ，则可得在递增，递减 且，当时，，则 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故 则的大致图象为 故当时，与图象有两个公共点，即有两个零点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级高三上学期第二次月考 数学学科 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数，其中i为虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 2. 已知集合，则中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件，“出现的点数大于4”为事件，则下述正确的是（ ） A. 与对立 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 4. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知数列中，且，则（    ） A. B. 2 C. D. 7. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点．若关于函数在区间上的“中值点”个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 8. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知a，b≠0，且a>b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若的图象在，处的切线分别为，，且，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 直线，在轴上的截距之差的绝对值为2 D. 直线，在轴上的截距之积可能为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知 ，则 _____. 13. 记等差数列的前项和为，若，，则________ 14. 已知函数在上恰好有7个零点，则的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 函数的最小正周期为，且. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 16. 如图，直三棱柱中，分别为和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 17. 在中，角，，所对的边分别是，，，且. （1）求； （2）若是边的中点，，，求的面积； 18. 甲同学参加一项抽奖活动，在一个盒子中，有大小形状完全相同的5个球，其中3个白球，2个红球. （1）若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率； （2）一次随机抽取两个球，若取到的两个球颜色相同则中奖，颜色不同则不中奖，抽完奖之后把球再放回盒子里以便于再次抽奖. （i）求甲抽取一次，中奖的概率； （ii）甲一共抽取了三次，中奖次数为，求的分布列及数学期望. 19. 已知函数，． （1）当时，求图象在处的切线方程； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $