云南省玉溪第一中学2026-2027学年高三上学期8月摸底考数学试题

玉溪一中2026—2027学年上学期高三摸底考 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．复数（为虚数单位）的共轭复数等于（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，若，则（ ） A．1 B． C． D． 4．若的展开式中的系数为84，则（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知，若，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知，则（ ） A．5 B．3 C． D． 7．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，已知四面体中，平面，，点为线段中 点，则四面体外接球球心到平面距离为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A．当时， B． C．不等式的解集为 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 10．已知点，圆，则下列结论正确的有（ ） A．点与圆上的点之间距离的最大值为 B．点在圆内部 C．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D．以为中点的弦所在的直线方程为 11．在信道内发送5位二进制码数据流，前4位为信息码，最后一位为偶校验码，使得5位二进制码数据 流中1的个数为偶数．例如：若信息码为1100，则校验码为0，所发送数据流为11000；若信息码为1000， 则校验码为1，所发送数据流为10001．每位二进制码信号的传输相互独立，当发送时，收到 的概率为，收到的概率为．接收方收到数据后，若数据流中1的个数是奇数个，则 数据传输错误，要求重新发送该数据，则下列说法正确的是（ ） A．5位二进制码数据流传输全部正确的概率为 B．若发送的数据流为10010，则接收到的数据流为11101的概率为； C．接收方要求重新发送该数据的概率为 D．若所接收数据流中1的个数是偶数个，则信息码传输正确的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的递增区间是___________． 13．已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段恰为圆（）的一条直径，为椭圆上与，不重合的一点，且直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为___________． 14．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为___________；若，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在中，角所对的边分别是，已知． （1）求角的大小； （2）若，是上的点，平分，求的长． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分） 某网红奶茶店统计了2025年10月9日至13日这5天到店消费的人数（单位：人）与时间第天的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 50 65 80 95 100 （1）由表中给出的数据判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计10月 14日到该奶茶店消费的人数（人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回 归模型拟合）． （2）运用分层抽样的方法从第1天（50人）和第5天（100人）到该奶茶店消费的人中按比例随机抽取6 人，再从这6人中任取2人赠送礼品，求这2人恰好来自不同天的概率． （3）该奶茶店推出两种会员优惠方案：方案一，单次消费每满50元减5元；方案二，单次消费满200元 可抽奖两次，每次中奖概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，未中奖不 打折．某顾客计划消费200元，请从实际付款金额数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 附：相关系数 ． 18．（17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调递增区间； （3）当函数有两个极值点时，若恒成立，求的最大整数值．（参考数据：） 19．（17分） 已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线． （1）求双曲线的标准方程； （2）记双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线交于两点，直线交轴于点，直线交轴于点，记的面积为，的面积为，求证：为定值． 玉溪一中2026－2027学年上学期高三摸底考 数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B D B C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AC BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 题号 12 13 14 答案 ； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）已知，由余弦定理可得， 因为，代入得，所以， 所以，所以， 因为，所以． （2）因为，由余弦定理得， 即，又因为，所以， 由面积公式可得，， 所以，可得． 16．（15分） （1）因为四边形为菱形，所以． 又因为，为的中点，所以． 又因为平面平面， 平面平面，所以平面，因为平面，所以． （2）连结．因为，为的中点， 所以． 由（1）可知平面，所以． 设，则． 如图，建立空间直角坐标系． 所以． 所以． 因为平面，所以是平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，所以． 令，则．于是． 所以． 平面与平面夹角余弦值为． 17．（15分） （1）， ， 可用线性回归模型拟合． 令， 所以10月14日到该奶茶店消费的人数约为117人． （2）第1天50人，第5天100人，比例，共抽6人，第1天抽2人，第5天抽4人，从6人中任取2人，总方案数种，2人来自不同天的方案数： 故这2人恰好来自不同天的概率为． （3）方案一：满50减5，消费200元，共减元，实付180元 方案二：设实付金额为元， ， 元， 因为，方案一期望付款更少， 故选方案一更优惠． 18．（17分） （1）当时，，所以，故切点坐标为， 又，所以， 故切线的斜率为，由点斜式可得，即， 故曲线在点处的切线方程为； （2）的定义域为， 又， ①当，即时，在上恒成立，故在上单调递减； ②当，即， 令，解得， 若时，则当或时，， 当时，， 所以在上单调递减， 在上单调递增； （3）由（2）可知，当时，有两个极值点， 由韦达定理得，代入计算得， 即需满足，对于恒成立，令， 求导得， 令，求导得， 当时，，故在单调递增， ，，故存在，使得，即， 此时在单调递减，在单调递增， ，由，得， ， 故，故，故的最大整数值为4． 19．（17分） （1） （2）由题意可得， 设直线的方程为， 联立，整理可得， 则，即， 易知直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 又， 所以． 故为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $