北京市顺义区仁和中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

仁和中学2025—2026学年度第一学期期中考试 初三年级数学试卷 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 抛物线的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列判断正确的是（ ） A. 任意两个平行四边形一定相似 B. 任意两个矩形一定相似 C. 任意两个菱形一定相似 D. 任意两个正方形一定相似 4. 如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 5. 如图，下列条件不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△中，,两点分别在边,上，∥.若，则为（ ） A B. C. D. 7. 将二次函数用配方法化为的形式，结果为（ ） A. B. C. D. 8. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，下列四个说法中： ①；②；③的两个解是，；④当时，随的增大而减小；正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 四位同学在研究二次函数时，甲同学发现函数的最小值为；乙同学发现当时，；丙同学发现是一元二次方程的一个根；丁同学发现函数图象的对称轴是直线；已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题（每题2分，共20分） 11. 写出一个二次函数，使其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点(0，−2)，这个二次函数的解析式可以是________． 12. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线的解析式是______________． 13. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为______． 14. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为______． 15. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度________． 16. 如下图：点A在双曲线y＝上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB＝3，则k＝_____． 17. 已知点，都在函数的图象上，则与大小关系为______（填“>”，“=”或“<”）． 18. 反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是_______． 19. 给出定义：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接、，若满足，则称这样的抛物线称为“相似抛物线”，如图，二次函数的图象是“相似抛物线”，且，则此抛物线的对称轴为 ___________． 20. 一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元）． （1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了_______间一人间； （2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为______元． 三、解答题（21题5分，22—26题每题5分，27—31题每题6分） 21. 如图，在中，，点D在上，于点E． （1）求证：； （2）且，求长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的部分图象经过点，． （1）求该抛物线的表达式； （2）结合函数图像： ①直接写出时，的取值范围； ②直接写出时，的取值范围． 23. 如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且. （1）求证：； （2）如果，，求的值. 24. 下表是二次函数图象上部分点的自变量x和函数值y． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 3 0 0 m 8 … （1）观察表格，______________； （2）求此二次函数的表达式，并画出该函数的图象； （3）该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，若，直接写出n的取值范围． 25. 如图，一次函数图像与轴，轴分别相交于、两点，与反比例函数的图像相交于点、，已知点，点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）结合该图像直接写出满足不等式的解集． 26. 晓宁同学在学习中遇到了以下一个几何问题： 已知：如图，中，是角平分线． 求证：． 喜欢钻研的他想到了两种解决问题的思路，作出了辅助线，请你选择其中一种，在此基础上完成证明（若自己有其它证法，可利用备用图完成证明）． 方法一 证明：如图，过点D作于M，过点D作于N． 方法二 证明：如图，过点D作交于点E． 27. 已知二次函数的解析式为． （1）求该二次函数顶点坐标（用含k的式子表示）； （2）若已知，，该二次函数的图象和线段有两个交点，结合函数图象，求k的取值范围． 28. 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系． （1）求抛物线表示的二次函数解析式； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方处． 29. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）当时，比较m与n的大小，并说明理由； （2）若对于，都有，求b取值范围． 30. 如图，在等边中，点，分别在，延长线上，且，的延长线交于点． （1）求的度数； （2）延长至点，使，连接交于点，依题意补全图形，猜想线段与的数量关系，并证明． 31. 定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，． （1）点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______； （2）设点 在直线上运动： ①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式． ②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围． 仁和中学2025—2026学年度第一学期期中考试 初三年级数学试卷 一、选择题（每题2分，共20分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（每题2分，共20分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】4 【16题答案】 【答案】-6 【17题答案】 【答案】> 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】直线 【20题答案】 【答案】 ①. 1 ②. 1600 三、解答题（21题5分，22—26题每题5分，27—31题每题6分） 【21题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【22题答案】 【答案】（1）； （2）①；②． 【23题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【24题答案】 【答案】（1）3 （2），图象见解析 （3） 【25题答案】 【答案】（1）， （2）或 【26题答案】 【答案】见解析 【27题答案】 【答案】（1） （2） 【28题答案】 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 （3）1 【29题答案】 【答案】（1） （2） 【30题答案】 【答案】（1） （2），证明见解析 【31题答案】 【答案】（1），；（2）①抛物线的解析式为：；② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $