14.3角的平分线（基础篇）2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.3角的平分线 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 性质定理 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 性质定理的逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. （三角形三条角平分线的交点到三边距离相等） 证明的基本方法 ⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 型 习 练 题 作角平分线 1．按要求作图，尺规作图，保留痕迹，不写作法． (1)如图1，作的角平分线； (2)如图2，过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线和尺规作平行线，熟练掌握角平分线的尺规作图方法和平行线的尺规作图方法是解题的关键． （1）利用尺规作角平分线的基本方法，通过构造全等三角形的原理来作出的平分线． （2）利用尺规作平行线的方法，通过构造相等的同位角来作出过点且平行于的直线． 【详解】（1）解：如图即为所求作的角平分线． （2）解：如图即为的平行线． 2．如图，四边形，E为边上一点．求作：四边形内一点P，使，且点P到，的距离相等．（简要描述思路，用直尺、圆规作图，保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法． 作的平分线，以为顶点，为一边作，交于，点即为所求． 【详解】解：作的平分线，以为顶点，为一边作，交于，如图： 点即为所求． 3．如图，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点E； (2)在（1）的前提下，连接，若E是的中点，求证：是的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的判定和性质． （1）直接根据角平分线的作法画图即可； （2）作交于F，根据角平分线的判定定理得到，进而得到，即可证明是的平分线． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求； （2）解：如图，作交于F， ∵是的角平分线， ∴， ∵若E是的中点， ∴， ∴， ∴是的平分线． 4．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，点在的边上．在角的内部过点作射线的平行于边； (2)如图2，在Rt中，，在边上求作一点，使点到边和边的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，作角平分线(尺规作图)，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，在点C处作，则，即可作答． （2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，且结合点到边和边的距离相等，则作的平分线，交边于点，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 5．如图，直线与交于点，． (1)作的平分线（保留作图痕迹）． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了角平分线的作图、角平分线的相关计算． （1）根据角平分线的作图步骤进行作图即可； （2）根据平角的定义得到，再根据角平分线的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求． （2）， ． 平分， ． 角平分线的性质定理 6．如图中，，、为、上的点，，垂足为E，且，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，线段的和差，掌握知识点是解题的关键． （1）利用证明，得到，即可得到平分． （2）先证明，得到，得到，即，则，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 和是直角三角形， 在和 中， ， ， ， ，， ， 平分； （2）∵， ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 7．如图，有一块三角形空地，，，，以的平分线为界，将该空地分成两块，其中空地用于种植辣椒，空地用于种植茄子（地边界和空隙面积忽略不计），分别求辣椒和茄子的种植面积． 【答案】辣椒的种植面积为，茄子的种植面积为． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理． 过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质定理得到，设，根据等面积法求出，进而根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点分别作于点，于点． 平分， ． 设，则，解得． ，． 辣椒的种植面积为，茄子的种植面积为． 8．如图，是的角平分线，，垂足为，若的面积为，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟悉掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作，于点，利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式运算求解即可． 【详解】解：过点作，于点，如图所示： ∵平分，且，， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 9．如图，在中，，，平分，交于点D，平分，交于点E．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义及三角形外角的定义．先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形外角的定义求出的度数，紧接着再根据角平分线的性质求出的度数，最后即可求得的度数． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 10．如图，在中，，D为边上一点，平分，且，若，，求的长． - 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，过点A作于H，利用“”可证明，得到，再利用“”可证明，得到，利用线段的和差关系即可求出的长，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于H， ， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 角平分线的判定定理 11．如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了角平分线定理的逆定理，直角三角形全等的判定，掌握相关知识是解决本题的关键．首先可证明，可得，又因为，根据角平分线定理的逆定理即可证明是角平分线． 【详解】证明：，， 在和中 ， ∴， ， ，， ， 是的角平分线． 12．如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． (1)求证：CE是的平分线： (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可； （2）证明出，得到，同理可得，进而可得出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：过点E作于点H 点E在的平分线上， ， ， ． 又 是的平分线． （2）证明：， 在和中 ， 同理可得， ． ∵，， ∴． 13．已知：如图，于点，于点，和交于点，．求证：点在的平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定，掌握证明的方法是关键； 先证明，得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵于点，于点， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又于点，于点， ∴点在的平分线上． 14．已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4cm 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定证明，所以，再根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论； （2）根据直角三角形全等的判定证明，可得，进一步即可求得答案． 【详解】（1）证明：，， ，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）解：，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 15．如图，在四边形中，，为的中点，且平分．求证： (1)平分． (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中点定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作于，根据角平分线性质得；根据中点得进而得，再根据角平分线的判定得 平分； （）根据“”证明和得和， 即为所求． 【详解】（1）证明：过点作于， ∵，平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； （2）证明：由（）得， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴． 角平分线的实际应用 16．如图，某市区南北走向的解放路，龙潭路与东西走向的人民路交汇于B，C两点，现想建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等．请你用所学的知识确定P点的位置（用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见详解 【分析】本题考查了角平分线的判定，角平分线的尺规作图，理解题意：加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等，且结合到角两边距离相等的点在角的平分线上，即作出的角平分线，它们交于一点，即为点P，进行作答． 【详解】解：P点的位置如图所示： 17．如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】4处，作图见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理的应用，尺规作角平分线， 作三角形内角的平分线，两条平分线交于点，点到这个三角形三边的距离相等；再作两个外角的平分线，交于点，点到这三条公路的距离相等；同理还有点，，则此题可解. 【详解】解：如图所示，一共有4处，即点，，，. 18．如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积． 【详解】如图，过点O分别作于点E，于点F， 分别平分，， ， 同理， 的周长是21， ， ． 19．如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了成比例线段的性质，作角平分线；作角平分线，在射线上截取，使得，点即为所求． 【详解】解：依题意， 在射线上截取，使得，如图点为所求， 20．已知：如图公路AE、AF、BC两两相交． 求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】根据角平分线的性质及作法，即可作得． 【详解】解：作法如下： 1．尺规作出∠A、∠EBC、∠BCF中任意两个角的角平分线，交点即为点； 2．尺规作出∠A、∠ABC、∠ACB中任意两个角的角平分线，交点即为点． 证明：点是∠A与∠BCF平分线的交点， 点到公路AE、AF、BC的距离相等； 点是∠A与∠ABC平分线的交点， 点到公路AE、AF、BC的距离相等； 点、点即为所求作的点 【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握和运用角平分线的作法及性质是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $14.3角的平分线 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 性质定理 性质定理的逆定理 新课探索 证明的基本方法 讲义内容 作角平分线 角平分线的性质定理 题型练习 角平分线的判定定理 角平分线的实际应用 新 课 探 索 性质定理 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 性质定理的逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上， (三角形三条角平分线的交点到三边距离相等) 证明的基本方法 ()明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系) (2)根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. (③)经过分析，找出由己知推出求证的途径，写出证明过程 题 型 练 作角平分线 1.按要求作图，尺规作图，保留痕迹，不写作法 图1 图2 (I)如图1，作△ABC的角平分线AD; (2)如图2，过点A作BC的平行线AE 2.如图，四边形ABCD,E为DC边上一点，求作：四边形内一点P,使EP∥BC,且点P 到AB,AD的距离相等，（简要描述思路，用直尺、圆规作图，保留作图痕迹.） D 3.如图，∠B=∠C=90°. A B (I)尺规作图：作∠DAB的平分线，交BC于点E; (2)在(1)的前提下，连接DE,若E是BC的中点，求证：DE是∠ADC的平分线。 4.尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） B 图1 图2 (1)如图1，点C在∠AOB的边OB上.在角的内部过点C作射线CD的平行于边OA; (②)如图2，在Rt ABC中，∠C=90°，在边AC上求作一点P,使点P到边BC和边AB的 距离相等. 5.如图，直线AB与CD交于点0，∠A0C=50°. D (1)作∠A0D的平分线OE(保留作图痕迹). (2)求∠D0E的度数. 角平分线的性质定理 6.如图ABC中，∠ABC=90°，D、F为BC、AB上的点，DE1AC,垂足为E,且 FD=CD,BF=EC. 分 4 (I)求证：AD平分∠BAC; (2)求证：AF+AC=2AB. 7.如图，有一块三角形空地ABC,AB⊥BC,AB=4m,BC=6m,以∠ABC的平分线 BD为界，将该空地分成两块，其中空地ABD用于种植辣椒，空地BCD用于种植茄子（地 边界和空隙面积忽略不计)，分别求辣椒和茄子的种植面积. A 辣椒 茄子 C 8.如图，BD是ABC的角平分线，DH⊥BC,垂足为H,若ABC的面积为15， BC=5,DH=2,求AB的长. B H 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=50°，AD平分∠CAB,交BC于点D, DE平分∠ADB,交AB于点E.求∠DEB的度数. D 10.如图，在ABC中，∠ACB=90°，D为BC边上一点，DA平分LCDE,且AB=AE, 若CD=1,BD=2,求DE的长 B 角平分线的判定定理 I1.如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F, BE=CF,求证：AD是ABC的角平分线. E B 12.如图，点E在∠BAC的平分线上，过点E作EF⊥AB于点F,EG⊥CD于点G,且 EF=EG. B D G (I)求证：CE是LACD的平分线： (2)求证：S△4Ec=S△AEr+S△cEG· I3.已知：如图，BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,BE和CD交于点F,BF=CF.求 证：点F在∠A的平分线上. B 14.已知：如图，在四边形ABCD中，BC=CD,过点C作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F 且DF=BE. E B (1)求证：AC平分∠DAB; (2)若AB=8cm,DF=2cm,求AD的长. 15.如图，在四边形ABDC中，∠D=∠B=90°，O为BD的中点，且A0平分∠BAC.求 证： (1)CO平分LACD. (2)AB+CD=AC. 角平分线的实际应用 16.如图，某市区南北走向的解放路AB,龙潭路CD与东西走向的人民路交汇于B,C两 点，现想建造一加油站P,使得加油站到三条公路的距离相等.请你用所学的知识确定P点 的位置（用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）. B人民路C 解放路 龙潭路 y D 17.如图，直线α、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条 公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹） 18.如图，己知ABC的周长是21，OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB,OD⊥BC于 点D,且OD=3,求ABC的面积. D 19,如图，要在S区建一个电子商品批发市场，使它到公路m、铁路的距离相等，并且离 公路与铁路的交叉处500m,这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置， 保留作图痕迹，比例尺为1：20000). m 20.已知：如图公路AE、AF、BC两两相交. E B 求作：加油站O,使得O到三条公路的距离相等.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）