14.3 角的平分线 （基础巩固） 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

2 1 角的平分线 【题型一、角平分线的作图】 1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，证明的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 3．如图，在中，，，是的边上的高． (1)利用尺规作图作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求的度数． 4．如图，中，． (1)在内求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且点到、的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连结、，若，求的度数． 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为 ． 6．如图，中，，，． (1)尺规作图：作的平分线，与交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求点到线段的距离． 7．如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC≌OEC的理由是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 8．如图，在中，，，D为上一点，交于E． (1)尺规作图：作的角平分线交于F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【题型二、角平分线的性质】 9．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 10．如图，是的平分线，P是上一点，于点D，，则点P到边的距离为 ． 11．如图，在四边形中，，与的平分线交于点，点刚好落在上，若，则点到边的距离为 ． 12．如图，的周长为的平分线交于于，且，则的面积为 ．    13．如图，在中，平分．若，，，则 14．如图在中，AD是它的角平分线，，，则 ． 15．如图，在中，，平分，cm，cm，那么的面积是 ． 16．已知的三边，，长分别是，其三条角平分线交于点O，则 ． 17．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F． (1)若的面积是，求的长； (2)求证：． 18．如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长是 ． 19．如图，在中，，平分，若，，则的面积为 ． 20．如图，已知中，平分，且，则点D到边的距离为 ． 21．如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB，已知AB＝4，AC＝2，△ABD的面积是2，则△ADC的面积为 ． 22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是 ． 【题型三、角平分线的判定】 23．如图，于点B，于点D，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D．1 24．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． 25．如图，在四边形中，，为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 26．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且． (1)求∠ACE的度数； (2)求证：AE平分∠CAF； (3)若AC+CD＝14，AB＝8.5，且，求△ABE的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $2 1 角的平分线 【题型一、角平分线的作图】 1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，证明的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 3．如图，在中，，，是的边上的高． (1)利用尺规作图作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求的度数． 4．如图，中，． (1)在内求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且点到、的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连结、，若，求的度数． 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为 ． 6．如图，中，，，． (1)尺规作图：作的平分线，与交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求点到线段的距离． 7．如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC≌OEC的理由是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 8．如图，在中，，，D为上一点，交于E． (1)尺规作图：作的角平分线交于F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【题型二、角平分线的性质】 9．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 10．如图，是的平分线，P是上一点，于点D，，则点P到边的距离为 ． 11．如图，在四边形中，，与的平分线交于点，点刚好落在上，若，则点到边的距离为 ． 12．如图，的周长为的平分线交于于，且，则的面积为 ．    13．如图，在中，平分．若，，，则 14．如图在中，AD是它的角平分线，，，则 ． 15．如图，在中，，平分，cm，cm，那么的面积是 ． 16．已知的三边，，长分别是，其三条角平分线交于点O，则 ． 17．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F． (1)若的面积是，求的长； (2)求证：． 18．如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长是 ． 19．如图，在中，，平分，若，，则的面积为 ． 20．如图，已知中，平分，且，则点D到边的距离为 ． 21．如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB，已知AB＝4，AC＝2，△ABD的面积是2，则△ADC的面积为 ． 22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是 ． 【题型三、角平分线的判定】 23．如图，于点B，于点D，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D．1 24．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． 25．如图，在四边形中，，为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 26．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且． (1)求∠ACE的度数； (2)求证：AE平分∠CAF； (3)若AC+CD＝14，AB＝8.5，且，求△ABE的面积． 2 七年级1 参考答案 1．D 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL，选择正确的全等判定方法是解题的关键． 连接根据SSS证，即可推出答案． 【详解】连接 ∵在和中， ， 故选：D． 2．(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）作于．只要证明，根据三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：即为的平分线，如图所示． （2）解：如图，作于点H． 因为平分， 所以， 所以 ． 3．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图—基本作图，以及三角形内角和定理的应用． （1）（1）利用尺规根据要求作出图形即可； （2）利用三角形内角和定理可得，，再结合角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：是的边上的高， ， ， ，， ，， 平分， ， ． 4．(1)图见详解 (2) 【分析】（1）作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点，点即为所求． （2）证明，根据三角形内角和定理，构建关系式可得结论． 本题考查作图复杂作图，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：由作图可知垂直平分线段， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 5．2 【分析】先根据题意得到BE为∠ABC的平分线，再根据平行四边形的定义和性质得到AD∥BC，AD=BC=6，进而得到AB=AE=4，即可求出DE=2． 【详解】解：由尺规作图得，BE为∠ABC的平分线， ∴∠ABE=∠CBE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=6， ∴∠AEB=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE=4， ∴DE=AD-AE=2． 故答案为：2 【点睛】本题考查了尺规作图-作已知角的角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟知作已知角的角平分线做法和平行四边形、等腰三角形性质并灵活应用是解题关键． 6．(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理，熟练掌握尺规作图是解题关键． （1）先以点为圆心、适当长为半径画弧，分别交于点；再分别以点为圆心、大于长为半径画弧，在内，两弧交于点；然后作射线，与交于点，由此即可得； （2）先利用勾股定理可得，再根据角平分线的性质定理可得，然后根据求解即可得． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： ． （2）解：如图，过点作于点， ∵在中，，，， ∴， ∵是的平分线，，， ∴， 设， ∵， ∴，即， 解得， ∴， 即点到线段的距离为． 7．A 【分析】连接EC，CD．根据全等三角形的判定方法解决问题即可． 【详解】解：连接EC，CD． 在△ODC和△OEC中， ， ∴△ODC≌△OEC（SSS）． 故选：A． 【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图—作角平分线、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据作角平分线的作法作图即可； （2）先证明，再证明，最后利用证明即可． 【详解】（1）解：如图：即为所作， ； （2）证明：∵在中，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 9．C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点． 故选：C． 10．6 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于E，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：作于E，如图， ∵是的平分线，，， ∴， 即点P到边的距离为6． 故答案为：6． 11．3 【分析】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 过点E作交于点F，根据角平分线的性质得到，，得到，然后由求解即可． 【详解】如图所示，过点E作交于点F ∵与的平分线交于点，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． ∴点到边的距离为3． 故答案为：3． 12．36 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，熟记角平分线的性质是解题的关键． 过点作于，于，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得，再根据三角形面积计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，于，连接，   、的平分线交于O，，，， ，， ， 的面积； 故答案为：36． 13．12 【分析】如图，过点作于，于，由角平分线的性质可知，由，，可得，根据，可求即可． 【详解】解：如图，过点作于，于， ∵平分，，， ∴， ∴，，则， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，构造垂线是解决问题的关键． 14． 【分析】如图，过作于 作于 再证明再利用面积公式直接进行计算即可． 【详解】解：如图，过作于 作于 ∵AD是它的角平分线， 而，， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积的计算，证明是解本题的关键． 15．18 【分析】过D点作于点E，根据角平分线的性质可得，问题随之得解． 【详解】过D点作于点E，如图， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵cm， ∴， ∵cm， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理，求得，是解答本题的关键． 16． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是，所以面积之比就是 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点， ，，是的三条角平分线， ， 的三边，，长分别是， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17．(1) (2)见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，根据三角形面积公式进行列式，代数计算，即可作答． （2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，根据三角形面积公式进行列式，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵为的平分线，于点E，于点F． ∴， 则， ∵的面积是， ∴， 解得； （2）解： ∵为的平分线，于点E，于点F． ∴， 则， ∴， 故． 18．7 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 由角平分线的性质可得，，由题意知，计算求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：7． 19．5 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵，平分， ， ∴的面积． 故答案为：5． 20．3 【分析】过点D作DE⊥AB，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB， ∵∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴DE=CD=3， 故点D到AB边的距离是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 21．1 【分析】先根据三角形面积公式计算出DE= 1，再根据角平分线的性质得到点D到AB和AC的距离相等，然后利用三角形的面积公式计算△ADC的面积． 【详解】DE⊥AB， S△ABD =× DE × AB = 2， DE==1， AD是△ABC的角平分线， 点D到AB和AC的距离相等， 点D到AC的距离为1， S△ADC =×2×1= 1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，属于基础题，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 22．4 【分析】作于，先利用角平分线的性质得到，再根据即可得． 【详解】解：如图，作于， 平分，， ， ， ， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 23．C 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，根据，，可得是的角平分线，从而求解． 【详解】∵，， ∴是的角平分线 ∵ ∴ 故选：C． 24．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是解题的关键． （1）过点P作于点F，于点N，于点M，根据角平分线的性质得出，，根据角平分线的判定得出平分； （2）设，根据角平分线定义得出，即可得出，求出，即可求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点P作于点F，于点N，于点M，如图所示： 又∵平分，平分， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分． （2）解：设，由（1）知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）作，垂足为，根据角平分线的性质定理以及判定定理即可证明． （2）证明得，同理可证，则题目可证． 【详解】（1）证明：作，垂足为， 平分，，， ， ， ， ，， 平分； （2）证明：由（1）可知：， 在和中， ， ， ，同理可证： ，即． 26．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点作于点，作于点， 平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． （3）解：如图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 学科网（北京）股份有限公司 $