18.5分式方程（基础篇）讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

18.5分式方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 分式方程的意义: 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 分式方程的解法: ①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程); ②按解整式方程的步骤求出未知数的值; ③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). 型 习 练 题 分式方程的定义 1．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D．关于的方程 3．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 5．下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 解分式方程 6．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 7．分式方程 的解为（   ） A．无解 B． C． D． 8．解分式方程：，去分母得（   ） A． B． C． D． 9．若分式和的值相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．将方程约去分母后的式子为（   ） A． B． C． D． 根据分式方程解得情况求值 11．若关于的方程有增根．则增根为（   ） A． B． C． D． 12．若分式方程无解，则整数m的值为（    ） A． B．1 C． D．或1 13．关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 14．关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 15．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 分式方程无解问题 16．若关于的分式方程无解，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 17．若关于的方程无解，则的取值为（   ） A． B． C． D．3 18．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．若关于的分式方程无解，则a的值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 20．关于x的方程 无解， 则m的值为（     ） A． B． C． D．5 列分式方程 21．某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 22．“五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 23．某车间加工个零件，采用了新工艺，工效提高了，这样加工同样多的零件就少用．求采用前每时加工多少个零件？设采用新工艺前每时加工个，则下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 24．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 25．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 行程问题 26．为方便城市交通顺畅，某条道路被规划拓宽．已知该道路拓宽后汽车平均提速，汽车行驶与拓宽前汽车行驶所用时间相同，求道路拓宽后汽车的平均速度． 27．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．求路线一的平均车速． 28．“湘超”足球联赛火爆三湘四水．在“湘超足球联赛”期间，小敏和小兰俩相约步行去郴州市体育中心（赛场）观看郴州队和娄底队的比赛，已知小敏家离这个赛场的距离是米，小兰家离这个赛场的距离是米，小兰的步行速度是小敏的倍，但小敏比小兰提前分钟出发，结果她俩同时到达此赛场，求小兰的步行速度是每分钟多少米？ 29．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？快马每天行进多少百里？ 30．某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动，现有两条线路可供选择：线路一全程，线路二全程．若走线路二的平均车速是走线路一的倍，所花时间比走线路一少用，则走线路一的平均车速为多少？ 工程问题 31．某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作，已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单独完成的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成的绿化面积所用天数少1天． (1)求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少？ (2)该小区需要绿化的面积为，建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？ 32．喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 33．某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？ 34．有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天． (注：工作天数取整数) (1)求甲、乙两工程队每天各完成多少米？ (2)如果甲工程队每天需工程费700元，乙工程队每天需工程费500元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用低于7900元，则两工程队最多可以合作施工多少天？ 35．某项工程需要在规定的时间内完成，若甲队单独做正好可以如期完成，若乙队单独做，将会延期三天完成．现由甲乙两队合作两天，余下的工程由乙队单独做，恰好也如期完成． (1)问规定的工期是多少天？ (2)若先由甲乙两队合作两天，余下的工程再由甲队单独做三天能如期完成吗？为什么？ 和差倍问题 36．某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 37．小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 38．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装．已知A款套装的单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装的数量比用7500元购买的B款套装的数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元． 39．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)，两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个，型充电桩，购买总费用不超过万元，且型充电桩购买数量不超过个，共有几种购买方案？ 40．为培养学生的动手能力，某校组织开展了手工制作比赛，甲、乙两名同学同时参加手工纸花制作比赛，已知甲每小时比乙每小时少制作20朵，甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同，求乙每小时制作多少朵纸花？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.5分式方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 分式方程的意义: 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 分式方程的解法: ①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程); ②按解整式方程的步骤求出未知数的值; ③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). 型 习 练 题 分式方程的定义 1．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D．关于的方程 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键； 根据分式方程的定义逐项判断即可． 【详解】A、是一元一次方程，不是分式方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，故本选项符合题意； C、的分母含未知数，但不是整式，不是分式方程，故本选项不符合题意； D、关于的方程分母不含未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意， B．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意， C．选项中的方程符合分式方程的定义，符合题意， D．选项是代数式，不是等式，不符合题意， 故选：C． 4．下列各式中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握分式方程的定义，根据分式方程的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、 B、 C三个方程中的分母均含有未知数，是分式方程，故A、 B、C均不符合题意； D中的式子是方程但分母中不含未知数，不是分式方程，故本选项符合题意． 故选：D． 5．下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程．熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 根据分式方程的定义逐一分析各方程是否符合条件． 【详解】方程①：，分母为a，但未知数是x，分母不含未知数，故不是分式方程． 方程②：，分母为和x，均含未知数x，是分式方程． 方程③：，分母为，是无理方程，不是分式方程． 方程④：，化简为，但原式分母为x，含未知数x，故属于分式方程． 综上，分式方程有②、④，共2个． 应选项B． 解分式方程 6．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程，通过观察方程，分母有 和 ，其中，则把方程两边乘以去分母即可得到答案． 【详解】解： 把方程两边同时乘以得， 故选：B． 7．分式方程 的解为（   ） A．无解 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，解完方程注意验根是关键．解分式方程需先找公分母，同时注意分母不为零的条件．方程化简后得到，并判断该值是否能使分母为0即可． 【详解】解：∵原方程：， 化简左边：， ∴方程化为：， 两边同乘，得，解得， 但时，分母，无意义， ∴原方程无解． 故选：A． 8．解分式方程：，去分母得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程． 首先观察分母和互为相反数，即，从而将方程简化后去分母． 【详解】解：∵， ∴原方程可化为：， 去分母得， 即． 故选：A． 9．若分式和的值相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，由分式和的值相等，得，然后解方程并检验即可，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：∵分式和的值相等， ∴， ， ， ， ， 经检验， 是原方程的解， 故选：． 10．将方程约去分母后的式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，通过观察分母关系，将方程变形后，两边同乘分母的最小公倍数去分母． 【详解】解：∵， ∴原方程可化为， 两边同乘，得， ∴去分母后的式子为， 故选：D． 根据分式方程解得情况求值 11．若关于的方程有增根．则增根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求分式方程的增根，分式方程的增根是使分式方程分母为零的未知数的值，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有增根， ∴， ∴， 故选：A． 12．若分式方程无解，则整数m的值为（    ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据方程无解求参数，解题的关键是掌握分式无解的情况． 对分式方程进行求解整理，然后根据分式无解的情况进行求参数即可． 【详解】解： 当时，方程无解，此时，； 当时，即时，方程无解，此时； 故选：D． 13．关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；分式方程产生增根时，增根为使分母为零的值，即或，代入去分母后的整式方程求解m即可． 【详解】解：方程两边同乘公分母，得： ， 化简得：， ∵增根为或， 当时，代入得：，解得； 当时，代入得：，解得； ∴m的值为6或； 故选B． 14．关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，将已知解代入分式方程求解即可． 【详解】∵关于的分式方程的解是， ∴代入得， ∴． 故选：D． 15．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：， 去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 分式方程无解问题 16．若关于的分式方程无解，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键．根据掌握分式方程无解的条件，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘，得：， 整理得：， 解得：， 原方程无解， ， ， 故选：C． 17．若关于的方程无解，则的取值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件是解题关键． 先解分式方程得，再由方程无解可得，然后把代入中，即可求出的取值． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 整理得，． 当，即时，该方程无解， 把代入中，解得． 故选：B． 18．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．先去分母得到整式方程，解整式方程得，利用分式方程无解得到，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】解：去分母得， 解得， 原分式方程无解， ， 即，解得， 当时，关于的分式方程无解． 故选：D ． 19．若关于的分式方程无解，则a的值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程化为整式方程，根据分式方程无解分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 整理，得， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得， ∴； 故选B． 20．关于x的方程 无解， 则m的值为（     ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：去分母得：， 由分式方程无解，得到，即， 代入整式方程①得：， 解得． 故选：C． 列分式方程 21．某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，结合时间等于路程除以速度，列出方程即可． 【详解】解：设自行车的速度为，则汽车的速度为，，由题意，得： ； 故选D． 22．“五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找到等量关系并正确列出方程是关键；由题意知原来有人，根据等量关系：每个同学比原来多摊了3元车费，列出分式方程即可． 【详解】解：设实际参加游览的同学共有x人， 根据题意得：． 故选：A． 23．某车间加工个零件，采用了新工艺，工效提高了，这样加工同样多的零件就少用．求采用前每时加工多少个零件？设采用新工艺前每时加工个，则下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理清题意、明确相关等量关系是解题的关键． 加工个零件，新工艺前加工时间为，新工艺加工时间为，然后根据少用即可列出方程． 【详解】解：由题意可知：加工个零件，新工艺前加工时间为，新工艺加工时间为， 根据题意得：． 故选：B． 24．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意，得：， 整理得． 故选：． 25．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，列出方程即可． 【详解】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做个零件，由题意，得； 故选C． 行程问题 26．为方便城市交通顺畅，某条道路被规划拓宽．已知该道路拓宽后汽车平均提速，汽车行驶与拓宽前汽车行驶所用时间相同，求道路拓宽后汽车的平均速度． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设道路拓宽后汽车的平均速度为，则拓宽前速度为．根据时间相等列出方程求解即可． 【详解】解：设道路拓宽后汽车的平均速度为，则拓宽前汽车的平均速度为， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴道路拓宽后汽车的平均速度为． 27．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．求路线一的平均车速． 【答案】千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，得路线二的平均车速为千米/小时，又因为路线二比走路线一少用10分钟到达，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设路线一的平均车速为千米/小时， 则路线二的平均车速为千米/小时， 依题意，， ∴， ∴， 解得， 经检验：当时，， 故是原分式方程的解． ∴路线一的平均车速是千米/小时 28．“湘超”足球联赛火爆三湘四水．在“湘超足球联赛”期间，小敏和小兰俩相约步行去郴州市体育中心（赛场）观看郴州队和娄底队的比赛，已知小敏家离这个赛场的距离是米，小兰家离这个赛场的距离是米，小兰的步行速度是小敏的倍，但小敏比小兰提前分钟出发，结果她俩同时到达此赛场，求小兰的步行速度是每分钟多少米？ 【答案】米 【分析】本题主要考查的知识点是分式方程的应用(行程问题)，通过设未知数，根据时间关系建立方程求解，涉及到路程、速度、时间的关系(时间路程速度)，属于行程问题中的同地不同时出发且同时到达的情况． 【详解】解：设小敏的步行速度是每分钟x米，则有：， 整理，得， 解得， 经检验：既是原方程的解，又符合题意． 所以：． 答：小兰的步行速度是每分钟米． 29．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？快马每天行进多少百里？ 【答案】规定时间是7天，快马每天行进百里 【分析】本题考查分式方程的应用，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可． 【详解】解：设规定的时间是x天， 根据题意可列方程为：， 解得， 经检验，是原方程的解， ； ， 答：规定时间是7天，快马每天行进百里． 30．某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动，现有两条线路可供选择：线路一全程，线路二全程．若走线路二的平均车速是走线路一的倍，所花时间比走线路一少用，则走线路一的平均车速为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设走线路一的平均车速为，则走线路二的平均车速为，根据走线路二比走线路一少用建立方程求解即可． 【详解】解：设走线路一的平均车速为，则走线路二的平均车速为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：走线路一的平均车速为． 工程问题 31．某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作，已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单独完成的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成的绿化面积所用天数少1天． (1)求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少？ (2)该小区需要绿化的面积为，建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成的绿化面积是，乙工程队每天能完成的绿化面积是 (2)至少应安排甲工程队工作10天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙工程队每天能完成的绿化面积是，则甲工程队每天能完成的绿化面积是，列分式方程求解即可，注意检验增根； （2）设应安排甲工程队工作天，则应安排乙工程队工作天，进而列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：（1）设乙工程队每天能完成的绿化面积是，则甲工程队每天能完成的绿化面积是． 根据题意得：． 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合实际． 答：甲工程队每天能完成的绿化面积是，乙工程队每天能完成的绿化面积是． （2）设应安排甲工程队工作天， 则应安排乙工程队工作天 根据题意得： 解得：． 的最小值是10． 答：至少应安排甲工程队工作10天． 32．喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； (2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【分析】（1）设甲车间增加工人前每天加工个，则增加工人后每天加工个，根据题意列出方程解得即可； （2）设乙车间改进技术前每天加工个，根据题意列出分式方程解得即可． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意，得， 解得， ， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； （2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程，弄清题意列出相应方程是解题的关键． 33．某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？ 【答案】甲车间每天生产个电子元件 【分析】本题考查了分式方程的应用． 设甲车间每天生产电子元件个，则乙车间每天生产的电子元件个，根据用33天完成任务，列方程求解． 【详解】解：设甲车间每天生产电子元件个，则乙车间每天生产的电子元件个， 由题意得，， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意． 答：甲车间每天生产电子元件100个． 34．有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天． (注：工作天数取整数) (1)求甲、乙两工程队每天各完成多少米？ (2)如果甲工程队每天需工程费700元，乙工程队每天需工程费500元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用低于7900元，则两工程队最多可以合作施工多少天？ 【答案】(1)甲、乙两工程队每天各完成600米和300米； (2)两工程队最多可以合作施工4天． 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用． （1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成米，根据甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天，列出方程，求出方程的解，再进行检验即可； （2）设两工程队合作施工a天，根据支付工程队总费用低于7900元，列出不等式，求出不等式的解集，根据工作天数取整数即可得出答案． 【详解】（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成米，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是方程的解，则（米）， 答：甲、乙两工程队每天各完成600米和300米； （2）设两工程队最多可以合作施工a天，根据题意得： ， 解得：， ∵，且工作天数取整数， ∴为偶数， ∴两工程队最多可以合作施工4天． 35．某项工程需要在规定的时间内完成，若甲队单独做正好可以如期完成，若乙队单独做，将会延期三天完成．现由甲乙两队合作两天，余下的工程由乙队单独做，恰好也如期完成． (1)问规定的工期是多少天？ (2)若先由甲乙两队合作两天，余下的工程再由甲队单独做三天能如期完成吗？为什么？ 【答案】(1)规定的工期为天 (2)能完成，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）设规定的工期为天，则乙完成需要天，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解； （2）由（1）可得，甲完成需要天，乙完成需要天，再根据题意列式计算即可得解． 【详解】（1）解：设规定的工期为天，则乙完成需要天， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴规定的工期为天； （2）解：能完成，理由如下： 由（1）可得，甲完成需要天，乙完成需要天， ， 故先由甲乙两队合作两天，余下的工程再由甲队单独做三天能如期完成． 和差倍问题 36．某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 【答案】(1)种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元 (2)共有6种方案；87500元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，求出不等式的解集，用代数式表示出总费用，并分析费用何时最少． 【详解】（1）解：设种防疫用品成本元，种防疫用品成本元， 依题意，得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， （元）； 答：种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元； （2）解：设种防疫用品生产箱，种防疫用品生产箱， 则有：， 解得：， ∵种防疫用品不超过25箱， ∴， ∵为正整数， ∴，，，，，，共6种方案； 设生产和两种防疫用品费用为元， 则有：，其中， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时元； 答：共有6种方案，最省钱方案的费用为87500元． 37．小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 【答案】小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意可以列出相应的分式方程，然后根据解分式方程的方法即可解答本题． 【详解】解：设小芳家选择住在乐园内，预计在迪士尼乐园游玩x天，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天． 38．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装．已知A款套装的单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装的数量比用7500元购买的B款套装的数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元． 【答案】A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设B款套装的单价是元，根据“用9900元购买的A款套装的数量比用7500元购买的B款套装的数量多5套”，即可列分式方程求解． 【详解】解：设B款套装的单价是元，则A款套装的单价是元． 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元． 39．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)，两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个，型充电桩，购买总费用不超过万元，且型充电桩购买数量不超过个，共有几种购买方案？ 【答案】(1)型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元 (2)共有种购买方案： 方案一：购买个型充电桩、个型充电桩 方案二：购买个型充电桩、个型充电桩 方案三：购买个型充电桩、个型充电桩 方案四：购买个型充电桩、个型充电桩 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价少万元，根据“用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据购买总费用不超过万元，列出一元一次不等式，解不等式，结合为整数，且型充电桩购买数量不超过个，得出购买方案，即可解决问题． 【详解】（1）解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元； （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 根据题意得：， 解得：， ，且为整数， ，11，12，13， 该停车场共有种购买方案： 方案一：购买个型充电桩、个型充电桩； 方案二：购买个型充电桩、个型充电桩； 方案三：购买个型充电桩、个型充电桩； 方案四：购买个型充电桩、个型充电桩． 40．为培养学生的动手能力，某校组织开展了手工制作比赛，甲、乙两名同学同时参加手工纸花制作比赛，已知甲每小时比乙每小时少制作20朵，甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同，求乙每小时制作多少朵纸花？ 【答案】乙每小时制作80朵纸花 【分析】本题主要考查了，列分式方程解应用题，解题关键点：找出相等关系，列方程．设乙每小时制作x朵纸花，则甲每小时制作朵纸花，根据“甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同”得：，解分式方程可得. 【详解】解：设乙每小时制作x朵纸花，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙每小时制作80朵纸花． 学科网（北京）股份有限公司 $