18.5分式方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版八年级上学期数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 18.5分式方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 分式方程的概念 分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可． 题型1识别是否分式方程 例1．有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【变式1-1】．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D．关于的方程 【变式1-2】．下列各式中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】．已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有 ． 知识点2 分式方程的解法 分式方程的解法 解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根． 基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根． 注意问题归纳： 解完方程后一定要注意验根． 题型2 分式方程的一般解法 例2．解分式方程： (1)； (2)． 【变式2-1】．解分式方程：． 【变式2-2】．解方程： (1)； (2)． 【变式2-3】．解方程． (1)． (2)． 题型3分式方程的特殊解法—换元法 例3．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为 ． 【变式3-1】．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可以化成关y的整式方程，这个整式方程是 ． 【变式3-2】．阅读材料，解答问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 (1)若方程，设，则原方程可化为　　　． (2)模仿上述换元法解方程：． 【变式3-3】．换元法解方程：． 题型4 分式方程的特殊解法—裂项法 例4. 解方程： ++= 【变式4-1】．类比推理是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论.在异分母分数的加减法中，往往先化作同分母分数，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫作裂项.类似地，对于可以用裂项的方法变形为，类比上述方法解决以下问题. （1）计算：__________； （2）解关于x的方程：. 【变式4-3】．阅读下面计算的过程，然后填空 解： ，，…， ∴ 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： （1） ； （2）当时，最后一项 ． 【变式4-3】．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律________； ②请你利用拆项法进行因式分解： _______； (2)若a，b满足，求的值； (3)受此启发，解方程． 知识点3 增根 分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根． 注意：增根一定是是方程最简公分母为0，但使最简公分母为0的数不一定是增根。 题型5 已知方程有增根，求参数值 例5．若关于x的方程产生增根，则 【变式5-1】．若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ． 【变式5-2】．如果方程有增根，则增根是 ． 【变式5-3】．若关于x的分式方程有增根，则 ． 题型6分式方程错解复原问题 例6．下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，第一步， 去括号得，，第二步， 解得，．第三步， 检验：当时，，第四步， ∴是原方程的根，第五步． 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是 ． 【变式6-1】．下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，………………第一步 去括号得，，………………第二步 解得，，………………第三步 检验：当时，，………………第四步 是原方程的根．………………第五步 任务： (1)小亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是______． 【变式6-2】．下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：．．．．．．第一步， ．．．．．．第二步， ．．．．．．第三步， ．．．．．．第四步， ．．．．．．第五步， 经检验：是原方程的解． 任务一：以上解方程步骤中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：直接写出该分式方程的正确结果为_______． 【变式6-3】．下面是小华解分式方程的过程，请你认真阅读并完成相应的任务． 解：方程两边同时乘，得，…第1步 解这个方程，得，…第2步 检验：时，分母，…第3步 ∴原分式方程的解为，…第4步 任务： (1)上述解答过程中，从第 步开始出错；错误的原因为： ． (2)请写出正确的解答过程． 题型7 分式方程无解、有解求参数 例7．若分式方程无解，则整数m的值为（    ） A． B．1 C． D．或1 【变式7-1】．若关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 【变式7-2】．关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是 ． 【变式7-3】．若关于x的分式方程无解，求m的值． 题型8 分式方程解的情况求值 例8．若关于x的分式方程的解为正数，求m的取值范围． 【变式8-1】．已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 【变式8-2】．要使关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 【变式8-3】．若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围． 题型9分式方程中规律探究 例9．先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 【变式9-1】．观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 【变式9-2】．根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【变式9-3】．观察下列式子： ， ， ， ， ……． (1)根据上面的变形规律，若为正整数，则_________； (2)解分式方程：． 题型10分式方程中的新定义型问题 例10．定义关于☆的一种新运算：（x，y是实数，且），例如． (1)求的值． (2)是否存在x的值，使得成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【变式10-1】．对定义一种新运算，规定，这里等式右边是通常的四则运算，例如：，如果，求实数的值； 【变式10-2】．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【变式10-3】．定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定 ，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 例11．已知：、、，求的值． 【变式11-1】．解方程：． 【变式11-2】．若关于x的分式方程无解，求m的值． 【变式11-3】．若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围． 一、单选题(每小题3分，共24分) 1．若是分式方程的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．①和③ B．①和④ C．③和④ D．②和③ 3．若关于的方程有增根，则的值是（    ） A． B．5 C．和5 D．3 4．解分式方程时，去分母后变形为（    ） A． B． C． D． 5．以下解分式方程的过程中，求出的解不是原分式方程的解，其原因发生在（   ） ，① ，② ，③ ，④ ∴原方程的解是． ⑤ A．由①到②这一步 B．由②到③这一步 C．由③到④这一步 D．由④到⑤这一步 6．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 7．已知，其中为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．52 8．若分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或0 D．1或 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若与互为倒数，则x的值为 ． 10．按照如图所示的程序计算，若输出y的值是，则输入x的值是 ． 11．当时，分式（为常数）没有意义，那么当的值为3时的值是 ． 12．若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 13．关于x的方程的解是 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．解分式方程： (1)． (2)． 15．小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：方程两边乘，得，第一步 解得，第二步 是原分式方程的解．第三步 (1)小丽的解题过程从第一步开始出错，这一步应为方程两边乘，得________，这一步的依据是________． (2)小丽的解题过程中缺少的步骤是________． (3)请写出正确的解题过程． 16．解分式方程：． 17．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程，请你认真阅读并完成相应任务： 习题1：计算：． 解：原式        ……第一步 ……第二步                         ……第三步                            ……第四步 习题2：解方程： 解：方程两边同乘，得         ……第一步               ……第二步                          ……第三步 检验：当时，    ……第四步 ∴原方程得解是．         ……第五步 任务： (1)习题1中第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是______，习题2中第一步变形的依据是______； (2)习题1的解答过程是从第______步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第______步开始出现错误的； (3)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 18．阅读下列材料： ， ， ． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)在和式中，第6项为______，第n项为_______； (2)受此启发，请你解下面的分式方程： ． 19．已知关于x的方程=． (1)若方程无解，求m的值； (2)若方程的解是正数，求m的取值范围． 20．【阅读材料】在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程的解要满足的条件是使原方程分母不为零，若整式方程的解使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根．例如：，解得．∵当时，，是原方程的增根． 【知识应用】m为何值时，方程有增根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 18.5分式方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 分式方程的概念 分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可． 题型1识别是否分式方程 例1．有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可． 【详解】解：①是分式方程，符合题意；②是分式方程，符合题意；③是整式方程，不符合题意；④是整式方程，不符合题意． 其中是分式方程的是①②， 故选：B． 【变式1-1】．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D．关于的方程 【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键； 根据分式方程的定义逐项判断即可． 【详解】A、是一元一次方程，不是分式方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，故本选项符合题意； C、的分母含未知数，但不是整式，不是分式方程，故本选项不符合题意； D、关于的方程分母不含未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】．下列各式中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握分式方程的定义，根据分式方程的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、 B、 C三个方程中的分母均含有未知数，是分式方程，故A、 B、C均不符合题意； D中的式子是方程但分母中不含未知数，不是分式方程，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1-3】．已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有 ． 【答案】③④⑤ 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个判断即可，要注意分式方程中分母是关于未知数的整式． 【详解】解：①②分母中不含未知数，不是分式方程；③④⑤分母中含有未知数，是分式方程；⑥根号下含有未知数，是无理方程，不是分式方程， 故答案为：③④⑤． 知识点2 分式方程的解法 分式方程的解法 解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根． 基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根． 注意问题归纳： 解完方程后一定要注意验根． 题型2 分式方程的一般解法 例2．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)无解． 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，特别是注意验根是解题的关键． （1）两边同时乘以，去分母转化为整式方程，求解即可； （2）两边同时乘以，去分母转化为整式方程，求解即可． 【详解】（1） 解：去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 即， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，故分式方程无解． 【变式2-1】．解分式方程：． 【答案】原分式方程的解是； 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】去分母，化分式方程为整式方程即可求解； 【详解】． 去分母，; 移项并合并，， 系数化为1，； 检验：当时，最简公分母， 所以是原方程的解， 原分式方程的解是． 【点睛】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键． 【变式2-2】．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2)无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： ， 解得， 经检验：是增根， ∴原方程无解； （2）解：， 解得， 经检验：是增根， ∴原方程无解． 【变式2-3】．解方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2)方程无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键． （1）先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，并对结果进行检验即可； （2）先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，并对结果进行检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：把代入， 所以是原方程的解； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 检验：把代入， 所以此方程无解． 题型3分式方程的特殊解法—换元法 例3．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为 ． 【答案】y2+2y+1=0 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设，换元后整理即可求得． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：y2+2y+1=0． 故答案为：y2+2y+1=0． 【点睛】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化． 【变式3-1】．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可以化成关y的整式方程，这个整式方程是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】设，则，代入原方程再去分母即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∴变形为：， 两边乘以y并整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查用换元法解分式方程，解题的关键是换元． 【变式3-2】．阅读材料，解答问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 (1)若方程，设，则原方程可化为　　　． (2)模仿上述换元法解方程：． 【答案】(1) (2)或 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查换元法解分式方程； （1）根据换元法化简方程即可； （2）利用换元法解分式方程求出x的值，并检验解答即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 故答案为：； （2） 解：设m， 则原方程化为m0， 解得：，， 经检验，，都是方程m0的解， 当3时， 解得：， 经检验，是方程3的解； 当3时， 解得：， 经检验，是方程3的解； 故原方程的解为或． 【变式3-3】．换元法解方程：． 【答案】或 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了用换元法解分式方程： 设，先把方程变形为，解分式方程求出y的值，再代入所设式子中求出x即可． 【详解】解：设， 原方程可化为， 方程两边同时乘以得， 解得， 经检验都是的解， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 题型4 分式方程的特殊解法—裂项法 例4. 解方程： ++= 【答案】x=3 【详解】将方程拆分后的得： -+-+-= 化简方程得： =方程左边通分得： 即： = 解得： x=3 检验：把x=3代入最简公分母不为0，所以x=3是方程的解 【变式4-1】．类比推理是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论.在异分母分数的加减法中，往往先化作同分母分数，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫作裂项.类似地，对于可以用裂项的方法变形为，类比上述方法解决以下问题. （1）计算：__________； （2）解关于x的方程：. 答案：（1） （2） 解析：（1）原式.故答案为. （2）将已知等式整理，得. 整理得， 即，解得. 【变式4-3】．阅读下面计算的过程，然后填空 解： ，，…， ∴ 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： （1） ； （2）当时，最后一项 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查的是阅读材料和解分式方程，根据材料给出的方法解决类似计算和和根据求和规律列方程求解是解决此题的关键． （1）根据题中方法计算即可； （2）设，根据题中方法，解方程即可. 【详解】解：（1）由题可知：， ∴ （2）设 ∵ ∴ 解得：，经检验是原方程的解. ∴， 故答案为：，． 【变式4-3】．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律________； ②请你利用拆项法进行因式分解： _______； (2)若a，b满足，求的值； (3)受此启发，解方程． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、因式分解的应用、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． （1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得． ②． 故答案为：①；②； （2）解：∵，满足，即 ∴，， 解得：，． ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 知识点3 增根 分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根． 注意：增根一定是是方程最简公分母为0，但使最简公分母为0的数不一定是增根。 题型5 已知方程有增根，求参数值 例5．若关于x的方程产生增根，则 【答案】4 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握分式方程增根的概念． 化简分式方程得出，然后根据增根求出，代数求值即可． 【详解】解： 当原分式方程中产生增根，即，， ∴， 故答案为：4． 【变式5-1】．若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，进而求出x的值，代入整式方程求出m的值即可 【详解】解：原分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 解得：或， 当时，，即； 当时，，即， 综上，m的值是或． 故答案为：或． 【变式5-2】．如果方程有增根，则增根是 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据分式方程的增根是整式方程的解，并且使分式方程分母为即可求解，熟记增根特点是解题的关键． 【详解】解：∵方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式5-3】．若关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根是解题的关键．先将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程得，根据分式方程有增根可得，列出关于的方程，即可求解． 【详解】解： 去分母，得， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 题型6分式方程错解复原问题 例6．下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，第一步， 去括号得，，第二步， 解得，．第三步， 检验：当时，，第四步， ∴是原方程的根，第五步． 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是 ． 【答案】(1)一，去分母时3没有乘最简公分母； (2)正确过程见解析； (3)去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）观察小亮解分式方程的过程，找出出错的步骤，分析错误原因即可； （2）写出正确的解方程过程即可； （3）分析解分式方程产生增根的原因即可． 【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误，错误的原因是去分母时3没有乘最简公分母； 故答案为：一，去分母时3没有乘最简公分母； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是增根，分式方程无解； （3）解：解分式方程产生增根的原因是去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 故答案为：去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 【变式6-1】．下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，………………第一步 去括号得，，………………第二步 解得，，………………第三步 检验：当时，，………………第四步 是原方程的根．………………第五步 任务： (1)小亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是______． 【答案】(1)一；方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“” (2)见解析 (3)见解析 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，检验的方法是解题的关键． （）根据去分母的方法即可判定； （）运用解分式方程的方法即可求解； （）根据解分式方程的方法，增根的概念即可求解． 【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误， 错误的原因是：方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“”． （2）解：原方程可化为． 方程两边都乘以去分母，得． 整理，得． 解得． 检验：当时，，所以是原分式方程的增根， 所以原方程无解． （3）解：去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 【变式6-2】．下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：．．．．．．第一步， ．．．．．．第二步， ．．．．．．第三步， ．．．．．．第四步， ．．．．．．第五步， 经检验：是原方程的解． 任务一：以上解方程步骤中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：直接写出该分式方程的正确结果为_______． 【答案】任务一：二；忘乘；任务二： 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程．任务一：查找方程出错的步骤，分析其原因即可；任务二：按照正确的解法求出方程的解，写出正确的结果即可． 【详解】解：任务一：以上解方程步骤中，第二步开始出现错误，这一步错误的原因是忘乘， 任务二：， 两边都乘以，得 解得． 经检验：是原方程的解． 故答案为：任务一：二；忘乘；任务二：． 【变式6-3】．下面是小华解分式方程的过程，请你认真阅读并完成相应的任务． 解：方程两边同时乘，得，…第1步 解这个方程，得，…第2步 检验：时，分母，…第3步 ∴原分式方程的解为，…第4步 任务： (1)上述解答过程中，从第 步开始出错；错误的原因为： ． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)1，常数项漏乘最简公分母 (2)见解析 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）根据解分式方程的步骤即可得到答案，注意常数项是否乘最简公分母； （2）按照解分式方程的正确步骤进行解答即可． 【详解】（1）解：上面的解题过程从第1步开始出现错误，这一步错误的原因是常数项漏乘最简公分母； 故答案为：1，常数项漏乘最简公分母； （2）解：方程两边同时乘，得， 解这个方程，得， 检验：时，分母， ∴是增根， ∴原分式方程无解． 题型7 分式方程无解、有解求参数 例7．若分式方程无解，则整数m的值为（    ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据方程无解求参数，解题的关键是掌握分式无解的情况． 对分式方程进行求解整理，然后根据分式无解的情况进行求参数即可． 【详解】解： 当时，方程无解，此时，； 当时，即时，方程无解，此时； 故选：D． 【变式7-1】．若关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 【答案】0.5或 【分析】本题考查了分式方程无解．熟练掌握分式方程无解产生的原因和解法，是解题的关键． 直接解分式方程，再分类讨论当时，当时，分别得出答案． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得：． 当，即时， ． 该方程无解． 则原分式方程无解． 符合题意． 当，即时， 若原方程无解， 那么它有增根． 则． 解得：． 综上，a的值为0.5或． 故答案为：0.5或． 【变式7-2】．关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，能求出是解此题的关键． 先把分式方程转化成整式方程，根据分式方程有解得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：。 两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， ∵关于的分式方程有解， ∴，即， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式7-3】．若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，掌握解分式方程的步骤是关键． 先把分式方程化为整式方程得到，然后将增根代入求出即可． 【详解】解：方程两边同时乘，得． 整理得． 该分式方程无解， 该分式方程有增根，即， ， 解得． 题型8 分式方程解的情况求值 例8．若关于x的分式方程的解为正数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】先解关于的方程，得到用代数式表示方程的解，再利用的值为正数求出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边乘，得 ， 解得． 由分式方程的解为正数，得 ，解得． 要使原分式方程有意义， ， 即， 得， 的取值范围为且． 【点睛】本题考查了含参分式方程，解题的关键是含参的解要满足分式的分母不能为零． 【变式8-1】．已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 【答案】(1) (2)7 (3)当x取或2或0时，分式A的值为整数 【分析】本题考查分式的运算，根据分式方程的解求参数，分式的值为整数时字母的值，熟练掌握相关知识点，正确的计算是解题的关键： （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）将代入方程进行求解即可； （3）利用分离常数法，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴． 方程的两边同时乘以，得， 解得． ∵分式方程的解为， ∴，解得． ∴的值为7． （3）解：∵，且分式A的值为整数， ∴或． ∴． 由题意，得且， ∴且． ∴当x取或2或0时，分式A的值为整数． 【变式8-2】．要使关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，解一元一次不等式，解分式方程得出，结合原分式方程的解为负数即可得出，解不等式即可得出的取值范围，再根据分式方程的增根情况计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 解得：， ∵关于x的方程的解为负数， ∴， 解得：， ∵原分式方程的增根为或， 又∵方程的解为负数，故增根不符合题意， 为使原方程有解，还需满足， ∴， 解得：， 综上所述，且． 【变式8-3】．若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的运算法则，以及分式有意义的条件，把m当作已知数，根据解分式方程的运算法则求出x，再根据分式方程的解为非负数，即可得出m的取值范围，再根据分式方程有意义的条件即可求解． 【详解】解：去分母，得． 去括号、移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． ， ， 即． ， ∵解为非负数， ， ， 且． 题型9分式方程中规律探究 例9．先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 【答案】(1)，； (2)，， (3)，． 【分析】（1）仿照材料解方程，归纳总结得到结果； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想的解为：，． 故答案为：， （2）解：由， 得， ∴， ∴， 由（1）中法规律得方程的解为：， ； （3）解：由， 得， ∴， ∴， ∴， ∴，或， 解得，． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式9-1】．观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类． （1）根据已知条件中的等式，找出规律即可； （2）按照（1）中的规律进行计算即可； （3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 【变式9-2】．根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示的计算方法计算； （3）根据题意原式变形得，结合材料提示的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程 的解是， 故答案为：； （2）解：猜想关于的方程得到或， 故答案为：或； （3）解：， 变形得，，整理得，， ∴或， 解得，． 【变式9-3】．观察下列式子： ， ， ， ， ……． (1)根据上面的变形规律，若为正整数，则_________； (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，掌握题目中的拆项方法是解题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）根据题意拆解合并之后解分式方程即可； 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴.， 故答案为：； （2）解：分式方程可变形为. 去括号，得. 所以， 解得. 经检验，是分式方程的解. 所以分式方程的解为． 题型10分式方程中的新定义型问题 例10．定义关于☆的一种新运算：（x，y是实数，且），例如． (1)求的值． (2)是否存在x的值，使得成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3，见解析 【分析】本题考查了实数的新运算与分式方程的求解，根据新运算的定义正确列出式子是解决本题的关键． （1）根据☆的新运算定义计算即可； （2）根据☆的新运算先表示出与，再由分式方程的解法求解并检验即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∵， ∴，即， 即， 去分母，得， 解这个方程，得． 经检验是原方程的解． ∴原方程的解为． 【变式10-1】．对定义一种新运算，规定，这里等式右边是通常的四则运算，例如：，如果，求实数的值； 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，根据定义新运算的计算方法列出方程求得x的数值即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解． ∴实数的值为． 【变式10-2】．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 【变式10-3】．定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定 ，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题主要考查了实数的运用，先根据新定义运算列出算式计算即可；掌握新定义运算是解题的关键； （2）本题主要考查了解分式方程，先根据新定义运算将原方程化成分式方程，然后按分式方程的解答即可；掌握解分式方程的步骤和方法是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解： ， 经检验：是原方程的解， 故． 例11．已知：、、，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握分式的性质，将原方程进行变形． 通过取倒数将原方程变形为，，，解分式方程得出x，y，z的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：由可知，即， 同理可得出，， 解三元一次方程组 解得： ∴ 【变式11-1】．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．先将分式方程变形得，两边通分后再去分母转化为整式方程求解并检验即可． 【详解】解：整理，得， 即， 移项，得， ， 去分母，得， 整理，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 【变式11-2】．若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了分式方程的解，理解分式方程无解产生的原因是解题的关键． 先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据整式方程无解和产生增根的两种情况分别进行求解即可． 【详解】解： ∵原分式方程无解， ∴，即， 当时，， 解得； 当时，方程无解， 此时； 综上，m的值为1或． 【变式11-3】．若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解以及不等式的解法，正确解分式方程是解题关键． 直接解分式方程，再利用解为正数，分式方程有意义，列不等式，解不等式得出m的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：去分母，得． 整理，得， 解得． ∵关于x的方程的解为正数， ， 解得． 当时，， 解得， 的取值范围是且． 一、单选题(每小题3分，共24分) 1．若是分式方程的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入方程解答即可，掌握分式方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得，， 解得， 故选：． 2．有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．①和③ B．①和④ C．③和④ D．②和③ 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．掌握其定义是解题关键． 【详解】解：①；分母中不含有未知数，故①不是分式方程； ②；分母中含有未知数，故②是分式方程； ③；分母中含有未知数，故③是分式方程； ④．分母中不含有未知数，故④不是分式方程． 故选：． 3．若关于的方程有增根，则的值是（    ） A． B．5 C．和5 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义． 分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解：∵有增根， ∴的解为方程的增根， ∴为方程的增根， ∴ ， 将代入得， ， 故选D． 4．解分式方程时，去分母后变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的求解，找出最简公分母是解题的关键．根据方程的最简公分母为，分式方程两边同时乘以即可得到答案． 【详解】解：将方程变形为， 方程两边同时乘以，得， 故选：C． 5．以下解分式方程的过程中，求出的解不是原分式方程的解，其原因发生在（   ） ，① ，② ，③ ，④ ∴原方程的解是． ⑤ A．由①到②这一步 B．由②到③这一步 C．由③到④这一步 D．由④到⑤这一步 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照解分式方程的一般步骤解方程，求出方程的解即可． 【详解】解：，① 去分母得：，② ，③ 解得，④ 检验：当时，， ∴原分式方程无解， ∴由④到⑤这一步发生错误，分式方程需要检验， 故选：D； 6．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即, ∴，且 ∴且， 故选：C． 7．已知，其中为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．52 【答案】C 【分析】本题考查分式方程，解二元一次方程组，掌握掌握解分式方程的一般步骤是解决问题的关键．先将原方程通过去分母化为整式方程，整理可得，根据方程两边恒等可得，解得，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 则， 解得：， ∴． 故选：C． 8．若分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或0 D．1或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程，进而得到，当时，满足原方程无解，当时，，此时原方程有增根，即，则，解之即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得， 当，即时，此时方程的左边为0，右边不为0，即此时方程无解，符合题意； 当，即时，则， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， 解得（已检验）； 综上所述，a的值为0或1， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若与互为倒数，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，根据题意列出分式方程，并按分式方程解法求解即可得到答案． 【详解】若与互为倒数， 则， 去分母： 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 10．按照如图所示的程序计算，若输出y的值是，则输入x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次方程，理解题意是解题的关键．根据程序分析即可求解． 【详解】解：设输入的值为时， 由题意得，， 整理得，， 解得（舍去）； 当时，根据题意得，， 整理得， 解得， 故答案为：． 11．当时，分式（为常数）没有意义，那么当的值为3时的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式无意义的条件（分母为0）以及分式方程的求解；解题的关键是先根据分式无意义的条件求出常数的值，再代入建立分式方程求解 先由“当时分式无意义”，根据分式无意义的条件（分母为0）得,求出；再根据“分式的值为3”建立方程,两边同乘分母去分母转化为整式方程，求解后检验分母不为0，确定的值。 【详解】解：∵当时，分式没有意义， ∴分式分母为0，即, 解得,此时分式为. 当时，两边同乘（）得, 展开右边得, 移项得, 合并同类项得, 解得. 检验：当时，,符合题意， 故答案为：. 12．若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数，确定出k的范围即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵分式方程的解为负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 13．关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程．原方程裂项整理得，再解分式方程即可． 【详解】解：已知方程整理得：， 即， 移项，去分母得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．解分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，要注意检验. 【详解】（1）解：去分母，得． 移项、合并同类项，得2． 经检验，当时，． 故原分式方程无解． （2）解：去分母，得． 去括号，得，解得． 经检验，是原分式方程的解． 故原分式方程的解是. 15．小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：方程两边乘，得，第一步 解得，第二步 是原分式方程的解．第三步 (1)小丽的解题过程从第一步开始出错，这一步应为方程两边乘，得________，这一步的依据是________． (2)小丽的解题过程中缺少的步骤是________． (3)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)  等式的性质 (2)检验 (3)见解析 【分析】（1）去分母时，方程两边每一项都要 乘以最简公分母即可发现错误之处； （2）解分式方程的解必须进行检验，以排除增根，故缺少了检验的步骤； （3）按解分式方程的解题步骤即可求解． 【详解】（1）解：小丽的解题过程从第一步开始出错，这一步应为方程两边乘，得， 这一步的依据是等式的基本性质． （2）解：对于分式方程，一定要验根， 故小丽的解题过程中缺少的步骤是检验． （3）解：方程两边乘，得： ． 解得． 检验：当时，． 是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了解可化为一元一次方程的分式方程 ，解题的关键是需要检验． 16．解分式方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题考查了分式方程的求解． 先找到最简公分母，方程的左右两边同时乘以最简公分母，将其转化为整式方程，再解一元一次方程即可，最后检验． 【详解】解：， ∴， 解得：， 经检验，是增根，则原方程无解． 17．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程，请你认真阅读并完成相应任务： 习题1：计算：． 解：原式        ……第一步 ……第二步                         ……第三步                            ……第四步 习题2：解方程： 解：方程两边同乘，得         ……第一步               ……第二步                          ……第三步 检验：当时，    ……第四步 ∴原方程得解是．         ……第五步 任务： (1)习题1中第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是______，习题2中第一步变形的依据是______； (2)习题1的解答过程是从第______步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第______步开始出现错误的； (3)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)平方差公式；等式的基本性质2 (2)第二步；第二步 (3)见详解 【分析】（1）习题1中，第一步将分母分解因式为：，这是利用因式分解的平方差公式；习题2中，第一步去分母，方程两边各项都乘以，这是利用等式性质2； （2）习题1中，第二步通分结果为：，而题目第二步错误地给整个分式乘公分母化为整式；习题2中，​第二步错误：化简时未因式分解约分：错误写法：(实际应为正确步骤：； （3）习题1，利用平方差公式将分式的分母因式分解，根据分式的基本性质将分式通分，最后按同分母分式的加减法进行运算；习题2，根据等式的性质2，将方程两边乘去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解． 【详解】（1）解：习题1中，第一步进行因式分解变形时应用了乘法的平方差公式；习题2中第一步变形的依据是等式的基本性质2（等式两边同时乘以同一个不为零的整式，等式仍然成立） （2）解：习题1的解答过程是从第二步开始出现错误的；习题2的解答过程是从第二步开始出现错误的； （3）解：习题1正确过程如下： 原式 ， ​， ， ． 习题2正确过程如下： 去分母，得 ， 去括号，得， 移项合并同类项，得，                      检验：当时，    ∴原方程的解是． 【点睛】本题考查了分式运算和分式方程的解法，解题的关键是掌握分式通分的步骤、平方差公式、分式方程的检验方法，需要特别注意通分时的符号变化和分母不为零的条件． 18．阅读下列材料： ， ， ． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)在和式中，第6项为______，第n项为_______； (2)受此启发，请你解下面的分式方程： ． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题是规律探究题，解特殊分式方程． （1）以序号为前提，依次观察每个分数，可以发现，每个分母是两个连续奇数乘积，其中最小奇数为，据此求解即可； （2）参考（1）中规律得到，再解分式方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴在和式中，第6项为，第n项为； 故答案为：；； （2）解：原方程可变形为， 整理，得． 方程两边乘，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解． 19．已知关于x的方程=． (1)若方程无解，求m的值； (2)若方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】(1)或2或 (2)或且且 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时、当时和当时原分式方程无解，从而求解； （）由得，然后根据方程的解为正数得出且且，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母得， 整理得， 当时，整式方程无解，即时，原方程无解； 当时，，解得； 当时，，解得， 即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解， 综上所述，m的值为或2或； （2）解：解方程得， ∵且且， ∴且且， ∴或且且． 20．【阅读材料】在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程的解要满足的条件是使原方程分母不为零，若整式方程的解使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根．例如：，解得．∵当时，，是原方程的增根． 【知识应用】m为何值时，方程有增根． 【答案】 【分析】先对原分式方程进行整理，然后通过去分母化为整式方程求解，再根据分式方程增根的定义，即整式方程的解使原分式方程的分母为，求出对应的的值．本题主要考查了分式方程的增根问题，熟练掌握分式方程增根的定义（使分式方程分母为的根）以及分式方程化为整式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：原方程整理，得，即， 方程两边乘，得， 解得． ∵整式方程的解x是分式方程的增根， 或，即或， 或， 解得或（舍）， 时，方程有增根． 学科网（北京）股份有限公司 $