17.2用公式法分解因式（基础篇）讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

17.2用公式法分解因式 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 平方差公式 完全平方公式 ③立方和： ④立方差： 十字相乘法 型 习 练 题 判断能否用公式法分解因式 1．下列多项式能用公式法进行因式分解的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用乘法公式分解因式，平方差公式分解因式的形式为，完全平方公式分解因式的形式为和，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式可以用平方差公式分解因式，符合题意； B、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； C、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； D、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； 故选：A． 2．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解中的公式法，具体包括平方差公式和完全平方公式．依次对每个多项式进行判断是否符合公式特征，从而确定能分解的个数． 【详解】解：（1），符合题意； （2）不能运用公式法分解因式，不符合题意； （3），符合题意； （4）不能运用公式法分解因式，不符合题意． ∴能运用公式法分解因式的有2个． 故选：B． 3．给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式. 逐一整理后根据完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②，能用完全平方公式分解因式； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④，能用完全平方公式分解因式； ⑤，能用完全平方公式分解因式； 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C． 4．下列各多项式中，能因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，能熟记因式分解的方法是解此题的关键，①把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，②因式分解的方法有提取公因式法，公式法等． 根据因式分解的方法逐个判断即可． 【详解】解：A、不能因式分解，故本选项不符合题意； B、不能因式分解，故本选项不符合题意； C、，不符合平方差公式，不能因式分解，故本选项不符合题意； D、能用完全公式分解因式，故本选项符合题意； 故选：D． 5．下面的多项式中，能因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法和提取公因式法进行因式分解成为解题的关键． 运用公式法和提取公因式法逐项判断即可． 【详解】解：A． ，能分解因式，符合题意； B． ，既不含公因式，也不符合公式特征，不能因式分解，不符合题意；     C． ，既不含公因式，也不符合公式特征，不能因式分解，不符合题意；         D． ，既不含公因式，也不符合公式特征，不能因式分解，不符合题意． 故选A． 平方差公式分解因式 6．下列式子能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用公式法进行因式分解，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式进行判断即可，平方差公式适用于形如的表达式，可分解为 ． 【详解】解：A.该选项不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B. 该选项为完全平方形式，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C. 该选项不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D.∵ ，符合平方差公式， ∴ 可分解为 ； 故选：D． 7．若，则的值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．﹣3 【答案】A 【分析】本题主要考查因式分解及代数式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键；利用平方差公式将分解为，再结合已知条件进行化简求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴原式； 故选A． 8．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．平方差公式适用于形如的多项式，检查各选项是否可化为该形式即可． 【详解】解：选项A：，符合平方差公式，能用平方差公式分解因式，故符合题意； 选项B：，不是平方差形式，故不符合题意； 选项C：，不是平方差形式，故不符合题意； 选项D：，是提公因式，不是平方差形式，故不符合题意； 故选：A． 9．已知，，则的值是（） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是因式分解的应用．利用平方差公式将分解为，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵， 又∵且， ∴， ∴． 故选：A． 10．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用．根据平方差公式，解答即可． 【详解】解：A、，为两平方项相加，无法用平方差公式分解，故本选项不符合题意； B、，不符合平方差公式条件，故本选项不符合题意； C、，符合平方差公式，可分解为，故本选项符合题意； D、，不符合平方差公式条件，故本选项不符合题意； 故选：C． 完全平方公式分解因式 11．下列各式中不能进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 通过检查每个选项是否能进行因式分解，使用提公因式法或公式法（如平方差、完全平方公式），判断出选项C不能因式分解． 【详解】A．，能因式分解； B．，能因式分解； C． 没有公因式，且不符合平方差或完全平方公式，不能因式分解； D．，能因式分解． 故选：C． 12．下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，完全平方公式的形式为，通过检查各选项是否符合此形式即可判断． 【详解】解：选项A：∵，∴符合完全平方公式，可分解为； 选项B：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项C：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项D：∵在多项式中，首项为，末项为，而其两倍积为，不等于中间项，∴不符合完全平方公式，不可用完全平方公式分解． 故选：D． 13．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 根据完全平方公式 ，逐项检查各选项是否符合公式结构． 【详解】解：A：，常数项不是平方数，且无法配成完全平方，故不符合题意； B：，若，则，但，故不符合题意； C：，∵ ，且，∴ 符合完全平方公式，即； D：，若 ，则，但，故不符合题意． ∴ 能用完全平方公式因式分解的是C， 故选：C． 14．下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了运用完全平方公式分解因式，熟知完全平方式的特点是解题关键，根据完全平方式的特点“两个数的平方和，加（减）它们积的2倍”逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 不是完全平方式，不能用完全平方公式分解，不合题意； B. 不是完全平方式，不能用完全平方公式分解，不合题意； C. 是完全平方式，能用完全平方公式分解，分解为，符合题意； D. 不是完全平方式，不能用完全平方公式分解，不合题意﹒ 故选：C 15．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的因式分解，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 根据完全平方公式的形式，逐一分析每个选项是否符合该形式． 【详解】解： 完全平方公式为 选项A，，是平方差公式，不符合完全平方公式； 选项B，，中间项与完全平方公式中形式不匹配（若，，则），不符合完全平方公式；； 选项C，，常数项为，不是非负数，不符合的形式即不符合完全平方公式； 选项D，，其中，，，且， ∴ ，符合完全平方公式因式分解． 故选：D． 十字相乘法 16．下列因式分解正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，关键是熟练应用因式分解的方法． A：用平方差公式进行因式分解； B：用公式法进行因式分解； C：用公式法进行因式分解； D：用十字相乘法进行因式分解． 【详解】选项A：∵ ， ∴ A错误． 选项B：∵ ， ∴ B正确． 选项C：∵ ， ∴ C错误． 选项D：∵ ， ∴ D错误． 故选：B． 17．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；根据因式分解的定义以及因式分解的方法逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，不属于因式分解；故不符合题意； B、，等式的右边不是整式的乘积形式，不属于因式分解，故不符合题意； C、，正确，故符合题意； D、，原选项分解不彻底，故不合题意； 故选：C． 18．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解，据此逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A：，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B：，等式右边是乘积形式，且展开后和左边相等，故是因式分解，符合题意； C：，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D：，等式右边是乘积形式，但展开后和左边不相等，故不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 19．下列各式从左到右因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义，把一个多项式整理成几个整式乘积的形式的过程为因式分解．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、属于整式的乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； B、右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； C、符合题意因式分解的定义，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 20．下列因式分解正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解．对各选项逐一进行因式分解判断即可． 【详解】解：A．，原因式分解正确； B．，原因式分解错误； C．，原因式分解错误； D．，原因式分解错误． 故选：A． 综合提公因式和公式法分解因式 21．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解方法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． （1）直接运用平方差公式即可解答； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是运用换元法和完全平方公式进行因式分解． 把看成一个整体，利用完全平方公式进行第一次因式分解，然后对分解后得到的式子继续用继续用十字相乘法分解． 【详解】解：令，则原式变为， 根据完全平方公式，这里， 则．， 把代后，得到， ， 因此． 23．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了综合运用提取公因式法和公式法因式分解，熟练掌握综合运用提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式，再运用完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再运用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 25．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键； （1）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $17.2用公式法分解因式 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 平方差公式 完全平方公式 新课探索 十字相乘法 讲义内容 判断能否用公式法分解因式 平方差公式分解因式 完全平方公式分解因式 题型练习 十字相乘法 综合提公因式和公式法分解因式 新 课 探 索 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 ③立方和：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ④立方差：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 十字相乘法 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+g) 题 型 练 习 判断能否用公式法分解因式 1.下列多项式能用公式法进行因式分解的是(). A.-x2+1 B.x2+y2 C.x2+2x-1 D.x2+4x+2 2,下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有() (1)42-1(2)9a62-3ab+1(3)2-x+}(4)-2-y2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.给出下列式子：①-x2-xy-y2；②，a2-ab+b2;③-4ab2-a2+4b;④ 2 4x2+9y2-12xy;⑤3x2+6xy+3y2.其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下列各多项式中，能因式分解的是() A.a2+b2 B.a2-ab+b2 C.-a2-4 D.a2-a+l 5.下面的多项式中，能因式分解的是() A.a2-4a+4B.a2-a+1 C.a2-b D.a2+b2 平方差公式分解因式 6.下列式子能用平方差公式分解因式的是() A.x2+2x+4B.x2-8xy+16y2C.9x2+y2 D.9x2-y2 7.若3x-2y=3,则9x2-4y2-12y的值为() A.9 B.6 C.3 D.-3 8.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是() A.-a2+16 B.-a2-b2 C.a2+(-b)2 D.5m2-20m 9.已知a+2b=4,a2-4b2=8,则a-2b的值是() A.2 B.-2 C.4 D.-4 10.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是() A.a2+(-b2B.-x2-y2 C.m2-1 D.x2-2x+1 完全平方公式分解因式 11.下列各式中不能进行因式分解的是() A.x2-4y2 B.m2-2mn+n2 C.x2+y2+2x D.10y+5x 12.下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是() A.4a2+9b2-12ab B.a2-2ab+b2 C. D x2+2x+4 13.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是() A.x2-2r-1B.x2+2x+4 C.x2-6x+9 D.++ 4 14.下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是() A.a2+a+1B.4a2-a+1 c.d2-a+4 1 D.a2-2a+4 15.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(). A.x2-4 B.x2-4y+y2C.x2-2x-1 D.x2-4x+4 十字相乘法 16.下列因式分解正确的是() A.x2-4=(x-22 B.x2+4x+4=(x+22 C.x2-2x+1=(x+12 D.x2-x-6=(x-2)(x+3 17.下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是() A.a(a+b)=a2+ab C.a2-2a-8=(a+2)(a-4) D.2ab2-8a=2ab2-4 18.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是() A.x+3)(x-3)=x2-9 B.x2-x-6=（x+2)(x-3 C.x2-x-2=xx-1-2 D.x2+2x-1=(x-12 19.下列各式从左到右因式分解正确的是() A.a+2=a2+4a+4 B.a2-4a+4=aa-4+4 C.5ax2-5ay2=5a(x+y(x-y) D.a2-a-6=(a-2)(a+3】 20.下列因式分解正确的是() A.a2-9=(a+3)(a-3) B.x2-4x-5=(x-2)2-9 C.m2-4m=(m+2)(m-2) D.a2-4ab+4b2=(a+2b)2 综合提公因式和公式法分解因式 21.因式分解： (1)4x2-25; (2)3ab2-6ab+3a. 22.分解因式：(x2-5x)2-12(x2-5x)+36. 23.因式分解： (1)2x2y-8xy+8y; (2)x2(m-2+y2(2-m. 24.分解因式： (1)2a2-4ab+2b (2)a2(x-y月+25(y-x 25.分解因式： (1)4x3y-4x2y2+xy3 (2)16mn4-m