17.2 用公式法分解因式 讲义 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“用公式法分解因式”核心知识点，以前一节提取公因式为基础，逐步过渡到平方差公式、完全平方公式的应用，构建“提公因式—公式法—检验”的程序化分解步骤，形成循序渐进的学习支架。 资料突出变式教学特色，通过首项为负、先提公因式、整体思想等多维度变式题，培养学生抽象能力与运算能力。设置知识点分类练习与实际应用题型，结合程序化分解步骤，助力教师系统授课，同时方便学生课后查漏补缺，提升应用意识。

17.2 用公式法分解因式 1. 注重认知的循序渐进，发展学生的运算能力 本节在介绍因式分解的方法时，从前一节提取最简单的公因式开始，逐步过渡到利用平方差公式、完全平方公式等较复杂的因式分解方法，确保学生在掌握基础知识和方法的同时，逐步培养学生的运算能力．通过引导学生观察、分析、归纳和总结，帮助学生掌握因式分解的一般规律和方法，注重培养学生观察式子结构的能力． 2. 用公式法分解因式的教学要点与实施策略 平方差公式：完全平方公式： 对于公式法，要求学生理解每个公式的意义，掌握每个公式的特点，并能熟练运用公式将多项式进行因式分解，但是直接用公式不要求超过两次． 运用公式法分解因式的关键是要明确各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式．为此，在得出用式子表述的公式后，再分别给出对公式的语言表述和名称，这样便于理解公式的意义．教学时要求学生通过充分地练习基本类型的题来记忆和运用公式． 3. 因式分解基本运算技能的程序化步骤 （1）先看是否可以用提取公因式法分解因式； （2）观察多项式的结构特征是否可以使用公式法； *（3）尝试十字相乘法、分组分解法或配方法； 配方法对多项式变形，如： （4）观察是否可以继续分解； （5）分解因式是恒等变形，分解因式后可利用整式的乘法进行检验． 4．注重变式教学 例分解因式： 变式1：分析：让学生进一步掌握公式的特征； 变式2：分析：先进行乘法运算，再用公式法分解因式； 变式3：分析：首项为“-”，先提出负号； 变式4：分析：先提取公因式，再用公式法； 变式5：分析：渗透整体思想； 变式6：分析：连续用两次公式； *变式7：分析：拆项+分组分解法；配方+公式法；十字相乘法． *5. 公式扩展 立方和： 立方差： 完全立方公式： 三项完全平方： 欧拉公式： 【练习2——用公式法分解因式】 知识点一：公式法分解因式的判断 例1：如果多项式可以运用平方差公式分解因式，那么可以是（    ） A． B． C． D． 练习： 1．下列各式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点二：用平方差公式分解因式 例2：（1）；（2）； （3）；（4）． 练习： 1．下列各式中能用平方差公式因式分解的是（） A．B．C．D． 2．因式分解的结果是（） A．B． C．D． 3．若多项式，则的值分别为（） A． B． C． D． 知识点三：用完全平方公式分解因式 例3：（1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）； （7）已知是完全平方式，则； （8）若，则． 练习： 1．下列各式由左到右变形正确的是（） A．B． C．D． 2．下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（） A．　B．C．D． 3．已知，求的值． 4．已知△ABC的三边满足，判断并说明△ABC的形状． 知识点四：综合提取公因式和公式法分解因式 例4：因式分解：（   ） A．B．C． D． 练习： 1．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 2．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A．8 B．16 C．50 D．32 4．下列因式分解最后结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．利用因式分解计算： （1）；（2）． 6．因式分解： （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）； （8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）． *知识点五：十字相乘法分解因式 例5：下列算式中，计算结果为的是（    ） A．B．C． D． 练习： 1．因式分解：＝． 2．因式分解，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 3．因式分解：（1）．（2）． 4．因式分解： （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）； （13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）． 知识点六：因式分解的应用 例6：若代数式，，则P和Q的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 练习： 1．若为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 2．已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 3．计算下列各式的值，其中， (1)(2) 4．两个边长分别为和的正方形按如图1所示放置，再在大正方形内部的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图2）．设图2中未重叠部分（空白）的面积为，两个小正方形未重叠的上半部分的面积为． (1)用含，的代数式分别表示，； (2)若，求的值． 补充练习： 一、选择题 1．下列各式能用公式法因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 2．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A．B．C． D． 5．若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 6．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 7．小明把多项式分解因式，有一个因式是，则的值为（　　） A． B．40 C． D．15 8．若多项式可因式分解为，则b的值为（    ） A． B．3 C． D．54 9．把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．分解因式： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）． 三、解答题 11．将下列多项式分解因式 (1)(2)(3)(4) 12．分解因式： (1)；(2)；(3)； (4)；(5)；(6)； (7)；(8)；(9)． 13．（1）利用因式分解计算：1－22＋32－42＋52－62＋．．．．．＋992－1002＋1012； （2）＋＋＋＋＝． 14．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于____________对称； （2）若关于的多项式关于对称，求的值； （3）整式关于____________对称． 学科网（北京）股份有限公司 $