专题17.2用公式法分解因式（知识点总结+13大题型+同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年八年级上册（新教材人教版）

17.2用公式法分解因式 【题型1】判断能否用公式法分解因式 1.核心知识点总结 平方差公式适用条件：多项式为二项式，两项均能写成平方形式（即），且两项符号相反。 完全平方公式适用条件：多项式为三项式，首尾两项是两个数（或整式）的平方（符号相同），中间项是这两个数（或整式）积的倍（符号可正可负）。 公式法本质：将乘法公式逆用，转化为整式乘积形式。 2.高频考点梳理 直接判断单个多项式能否用平方差/完全平方公式分解。 多选题形式考查多个多项式的适用情况（如福建泉州期中题）。 结合提公因式法，判断先提公因式后能否用公式法分解。 3.易错点警示 易错类型 示例 错误原因 混淆符号要求 认为能用平方差公式 两项符号相同，不符合“符号相反”条件 忽略中间项倍数 认为是完全平方式 中间项应为，不是 未先提公因式判断 认为不能用平方差公式 先提公因式得，可继续用公式 4.解题技巧拆解 第一步：先看多项式项数，二项式优先考虑平方差公式，三项式优先考虑完全平方公式。 第二步：对各项变形，验证是否符合公式结构(如提取负号、系数化为平方形式)。 第三步：若有公因式，先提公因式后再判断后续能否用公式。 【例题1】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式题1-2】．（24-25七年级下·广西百色·期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2】用平方差公式直接分解因式 1.核心知识点总结 公式：。 关键：将多项式转化为“平方减平方”形式，、可表示单项式(如)、多项式(如)或常数。 2.高频考点梳理 直接分解单项式平方差(如)。 分解含多项式的平方差(如)。 连续分解(如，分解后需检查是否彻底)。 3.易错点警示 符号错误：分解时，漏提负号导致结果错误，正确为。 分解不彻底：只分解为，未继续分解。 系数未化为平方：未先提公因式，直接尝试公式。 4.解题技巧拆解 步骤1：提取各项公因式(若有)，化为最简形式。 步骤2：将两项分别写成，确定、。 步骤3：代入公式计算，最后验证因式是否能继续分解。 【例题2】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【变式题2-1】．（2025七年级上·全国·专题练习）因式分解： 【变式题2-2】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）分解因式：． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·山东淄博·月考）下列多项式因式分解后的结果为的是（　　） A． B． C． D． 【题型3】用完全平方公式直接分解因式 1.核心知识点总结 公式：；。 特征：首尾项为“平方项”(符号正)，中间项为“2倍积项”(符号可正可负)。 2.高频考点梳理 直接分解标准完全平方式(如)。 分解含整体的完全平方式(如)。 含分数/小数系数的完全平方式分解(如2025甘肃中考题)。 3.易错点警示 漏提负号：分解时，未先提，无法转化为完全平方式。 中间项倍数错误：将误写为，正确应为。 混淆和/差平方：中间项为负时，结果应为差的平方，而非和的平方。 4.解题技巧拆解 步骤1：若首项为负，先提取负号，转化为“平方和+2倍积”形式。 步骤2：确定首尾项的平方根，即和。 步骤3：验证中间项是否等于(或)，匹配公式写出结果。 【例题3】．（2017·江苏无锡·二模）因式分解： ． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： 【变式题3-2】．（25-26八年级上·湖南常德·期中）因式分解： (1) (2) 12．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）因式分解： (1) (2) 【题型4】求完全平方式中的参数 1.核心知识点总结 完全平方式的核心关系：中间项。 参数常见位置：中间项系数(如中的)、尾项(如中的)。 2.高频考点梳理 已知完全平方式，求中间项的参数(如2023常州期末题)。 求尾项的参数值，使多项式为完全平方式。 含多项式整体的参数问题(如中的)。 3.易错点警示 漏考虑正负值：求中时，只算，忽略。 系数未开方：求中时，误将当作，未考虑。 忽略公因式影响：先提公因式后再求参数，如需先提再计算。 4.解题技巧拆解 方法1：若多项式为(为完全平方数)，则，解出参数。 方法2：设完全平方式为，展开后与原式对比系数，列方程求解。 关键：参数通常有两个解(除特殊情况外)，需完整呈现。 【例题4】．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为 ． 【变式题4-1】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于的整式是一个完全平方式，则 ． 【变式题4-2】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于x的整式是一个完全平方式，则 ． 【变式题4-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则a的值为 ． 【题型5】十字相乘法分解二次三项式 1.核心知识点总结 公式：，其中，，。 关键：分解二次项系数和常数项，找到满足十字交叉和为的因数对。 2.高频考点梳理 二次项系数为质数的分解(如)。 二次项系数为合数的分解(如)。 含负系数的分解(如)。 3.易错点警示 因数对选择错误：分解时，误选与、与，交叉和为才正确。 漏提负号：分解时，未先提，导致符号混乱。 分解后未验证：未展开结果检查是否与原式一致，导致错误。 4.解题技巧拆解 步骤1：若二次项系数为负，先提取负号，转化为正系数二次三项式。 步骤2：列出二次项系数的因数对()和常数项的因数对()。 步骤3：十字交叉验证，找到正确因数对后写出因式分解结果。 【例题5】．（20-21八年级上·江西赣州·阶段练习）十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．如：将式子和分解因式，如图，；． (1)分解因式： ； (2)分解因式：． 【变式题5-1】．（23-24九年级上·青海西宁·期中）探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 【变式题5-2】．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）阅读理解：用十字相乘法”分解因式：． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如图，画“”号，将1、2写在“”号左边，将、3或1、写在“”号的右边，共有如图的四种情形： 第三步：验算交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数； ①系数为； ②的系数为； ③的系数为； ④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式： ． 【变式题5-3】．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 【题型6】综合提公因式与公式法分解因式(提升) 1.核心知识点总结 分解原则：“先提公因式，再用公式”，分解必须彻底。 常见形式：公因式为单项式(如)、多项式(如)。 2.高频考点梳理 先提单项式公因式，再用平方差/完全平方公式(如2024北京中考题)。 先提多项式公因式(含符号变形，如)，再用公式。 多次提公因式+多次用公式(如)。 3.易错点警示 提公因式后漏项：分解时，提后漏写，结果应为。 符号变形错误：处理时，未变号直接提公因式，导致后续公式无法应用。 分解不彻底：提公因式后未继续用公式，如未分解为。 4.解题技巧拆解 步骤1：观察各项是否有公因式(单项式、多项式或符号公因式)，优先提取。 步骤2：对提取公因式后的剩余部分，判断项数选择公式(二项式用平方差，三项式用完全平方)。 步骤3：重复检查每个因式，确保无公因式且无法再用公式。 【例题6】．（25-26八年级上·广东广州·期中）分解因式： (1)； (2)． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）分解因式： (1) (2) (3)； 【变式题6-2】．（25-26八年级上·山西临汾·期中）因式分解： (1) (2) 【变式题6-3】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）因式分解： (1)； (2)． 【题型7】因式分解在简便计算中的应用(提升) 1.核心知识点总结 核心思路：将复杂运算转化为“整式乘积”形式，利用乘法分配律或平方差/完全平方公式简化计算。 常见场景：平方差型计算(如)、完全平方型计算(如)、连乘约分(如)。 2.高频考点梳理 整数平方差计算(如)。 含小数/分数的简便计算(如)。 连乘式约分计算(如2025江苏淮安阶段练习)。 3.易错点警示 未提取公因式直接计算：如，未转化为完全平方直接硬算。 符号处理错误：计算时，漏写括号导致运算顺序错误。 约分不彻底：连乘式中未观察到因式抵消，导致计算繁琐。 4.解题技巧拆解 技巧1：观察式子结构，若有公因式先提取(如提取系数、相同因式)。 技巧2：平方差型：转化为，利用整十/整百数简化。 技巧3：完全平方型：转化为，快速计算平方数。 技巧4：连乘式：用平方差公式分解后，逐项约分(如)。 【例题7】．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）用乘法公式简便计算： (1) (2) 【变式题7-1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）利用因式分解简便计算． (1)； (2)． 【变式题7-2】．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·全国·单元测试）利用简便方法计算： (1)； (2)． 【题型8】利用因式分解求值(提升) 1.核心知识点总结 求值思路：将所求代数式因式分解，转化为含已知条件的整式乘积形式，整体代入计算。 常见已知条件：、、等代数式的值(如，)。 2.高频考点梳理 直接整体代入求值(如已知，求)。 先化简代数式再因式分解求值(如求值)。 结合非负性求参数后求值(如，求)。 3.易错点警示 代数式未分解彻底：所求式子因式分解不完整，无法匹配已知条件。 整体代入时符号错误：如已知，代入时误写为。 漏用公式化简：如将直接代入，未转化为。 4.解题技巧拆解 步骤1：对所求代数式进行因式分解(提公因式+公式法)，整理为含已知条件的形式。 步骤2：将已知条件整体代入分解后的式子(注意符号和倍数关系)。 步骤3：计算时优先简化整式乘积，再计算最终结果。 【例题8】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，求． 【变式题8-1】．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）已知a、b为整数，可以分解成三个一次因式的乘积，其中的两个因式为和，求的值．（待定系数法） 【变式题8-2】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）求证：不论x取何实数，多项式的值都不会是正数． 【变式题8-3】．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【题型9】用整体/换元法分解因式(提升) 1.核心知识点总结 整体法：将多项式中重复出现的整式（如、）看成一个“整体”，直接代入公式分解。 换元法：用新字母（如、）代替复杂整体，将多项式转化为简单整式（如二次三项式），分解后再还原原整体。 适用场景：含复杂整式平方、重复整式的多项式（如、）。 2.高频考点梳理 整体代入平方差公式（如，将、看成整体）。 换元法+完全平方公式（如2025广东惠州三模题，用分解）。 多次整体/换元（如先提公因式再整体用公式，或换元后再次用公式）。 3.易错点警示 易错类型 示例 错误原因 换元后忘记还原 用分解，结果写为未还原 未将换回原整式 整体识别不准确 分解，未发现、 未找到关联整式组成整体 符号处理失误 整体为时，未提负号直接代入，导致公式应用错误 整体含负号时未先整理符号 4.解题技巧拆解 技巧1：识别整体——寻找多项式中重复出现2次及以上的整式（如、），标记为整体。 技巧2：换元简化——若整体复杂，设，将原式转化为或，用公式分解。 技巧3：还原验证——分解后将换回原整体，检查是否能继续分解（如换元后分解结果为，还原后需看是否能再用公式）。 【例题9】．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）对于一些多项式，不能直接进行因式分解，我们可以进行变形后再分解． 例1：因式分解： 解： 例2：因式分解： 解：将看成一个整体，设，则原式， 再将代入，得原式 例3：求代数式的最值． 解：． ，， 当时，的值最小，的最小值是1， 根据以上解法，解答下列问题： (1)请你利用例1的方法，因式分解：； (2)请你利用例2的方法，因式分解：； (3)请你利用例3的方法，求代数式的最值． 【变式题9-1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为， 所以， 所以， 所以，得． 材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） (1)请根据材料A，解答问题：若，求的值； (2)请根据材料B，解答问题： 在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果； 因式分解：； (3)综合运用：若实数满足，求的值． 【变式题9-2】．（24-25八年级下·全国·假期作业）阅读材料： 将进行因式分解． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 将多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 根据以上材料，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【变式题9-3】．（24-25八年级下·广东深圳·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)下面是小明同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式=（_______）（_______） 将代入，得原式_____． (2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【题型10】分组分解法分解因式(提升) 1.核心知识点总结 分组原则：分组后能提取公因式或运用公式，常见分组方式：“二二分组”“一三分组”。 适用场景：四项及以上多项式(如、)。 2.高频考点梳理 二二分组(分组后提公因式，如)。 一三分组(分组后用完全平方+平方差，如)。 含符号变形的分组(如)。 3.易错点警示 分组无目标：盲目分组导致无法提取公因式或用公式，如未按“”分组。 分组后漏提公因式：如分解为，未继续提。 符号处理错误：分组时括号前是负号，括号内各项未变号。 4.解题技巧拆解 技巧1：观察多项式特征，四项式优先二二分组，含平方项优先一三分组(凑完全平方)。 技巧2：分组后若有相同因式，直接提取；若能转化为平方差，继续用公式分解。 示例：分解，分组为，再用平方差公式。 【例题10】．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 【变式题10-1】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： (1) (2) 【变式题10-2】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法：． 仔细阅读以上内容，解决下面问题： (1)因式分解：_____． (2)已知：、、为的三条边，，求的周长． 【变式题10-3】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）综合与实践 【阅读材料，掌握知识】 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式： 解法一： 解法二： 小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【理解知识，尝试应用】 （1）因式分解：； 【提炼思想，拓展应用】 （2）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【题型11】因式分解在几何问题中的应用(培优) 1.核心知识点总结 几何关联：面积计算(如矩形、正方形面积差)、边长关系推导(如三角形三边关系)、图形拼接问题。 常用公式：面积差转化为平方差(如)，周长与边长的整式关系。 2.高频考点梳理 利用面积差因式分解求边长(如两个正方形花坛面积差，周长和)。 结合图形拼接推导因式分解公式(如)。 用因式分解判断三角形形状(如已知)。 3.易错点警示 几何公式记忆错误：混淆正方形、矩形面积公式，导致整式表达错误。 未将几何量转化为代数式：直接计算边长，未通过因式分解简化运算。 忽略实际意义：边长为正数，因式分解后需舍去负根。 4.解题技巧拆解 步骤1：根据几何图形，列出面积、周长等关系式，转化为代数式。 步骤2：对代数式进行因式分解(平方差、完全平方公式为主)。 步骤3：结合几何量的非负性，求解边长、面积等未知量。 【例题11】．（25-26七年级上·上海·期中）若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为 ． 【变式题11-1】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，长、宽分别为的长方形，它的周长为12，面积为7．求下列整式的值： (1)； (2)． 【变式题11-2】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： (1)用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为 ． (2)如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 【变式题11-3】．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． 例如：，，都把一个多项式进行了因式分解． 现有图1中的A、B、C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例如：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，即多项式因式分解的结果为． 请回答下列问题： 【小试牛刀】 （1）根据图3拼图，多项式因式分解的结果是 ． 【自主探索】 （2）请利用图1中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式因式分解的结果； 【拓展应用】 （3）某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为b的均匀泥路（如图5），求剩余草皮面积． 【题型12】因式分解解决整除问题(培优) 1.核心知识点总结 整除原理：若多项式能分解为(为整数，为整式)，则能被整除。 常见场景：判断多项式能否被某数(如、)整除，或证明任意整数满足整除关系。 2.高频考点梳理 证明多项式能被特定数整除(如证明能被整除，为奇数)。 判断整除结果(如能被哪个数整除)。 含参数的整除问题(如能被整除，证明为整数)。 3.易错点警示 因式分解不彻底：未分解到含除数的因式，无法证明整除。 忽略参数奇偶性：如为奇数未设为，导致推导失败。 未验证特殊值：未用具体整数代入检验，导致逻辑漏洞。 4.解题技巧拆解 步骤1：对多项式进行因式分解(优先平方差、完全平方公式)。 步骤2：将除数分解为质数乘积(如)，分析因式分解结果是否含该因数。 步骤3：结合参数的整数性质(如连续整数必有偶数、3的倍数)，补充证明。 【例题12】．（25-26八年级上·山东东营·阶段练习）可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是 ． 【变式题12-1】．（25-26八年级上·山东淄博·月考）对于任意整数n，多项式都能被（    ）整除． A．9 B．2 C．11 D．n+9 【变式题12-2】．（24-25八年级下·河北保定·期末）观察： 观察下列各式：；；………… 发现： 比任意一个偶数大7的数与此偶数的平方差都能被7整除． 验证： （1）的结果是7的 倍； （2）设偶数为，试说明比大7的数与的平方差都能被7整除； 延伸： （3）请利用整数k说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3”． 【变式题12-3】．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法，并完成题（2）． (1)两个连续的奇数的平方差能被8整除吗？为什么？ (2)①若k为任意整数，则的值总能________． A．被2整除    B．被3整除    C．被5整除    D．被7整除 ②必能被10和20之间某两个整数整除，求这两个数． 【题型13】新定义型因式分解问题(培优) 1.核心知识点总结 新定义特征：围绕因式分解定义新概念(如“登高数”“风月同天数”“摆动数”)，需先理解定义再应用公式。 解题关键：将新定义转化为因式分解的常规形式(平方差、完全平方等)。 2.高频考点梳理 新定义判断：如判断某数是否为“登高数”(两个连续正奇数的平方差)。 新定义性质推导：如证明“登高数”能被整除(福建泉州期末题)。 新定义应用：如求不超过的所有“登高数”的和。 3.易错点警示 未理解新定义本质：如“风月同天数”是，误理解为。 忽略定义限制条件：如“连续正奇数”“正整数”等，导致取值范围错误。 推导过程未用因式分解：未将新定义表达式因式分解，无法推导性质。 4.解题技巧拆解 步骤1：精读新定义，提取核心条件(如“两个连续正奇数”设为和)。 步骤2：将新定义表达式转化为因式分解形式(如平方差公式)。 步骤3：结合定义限制条件，分析因式分解结果的性质(整除、取值范围等)。 【例题13】．（25-26八年级上·全国·阶段练习）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式题13-1】．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）阅读运用： 对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，如：， (1)若，． ①求； ②若关于的不等式组恰有3个整数解，求实数的取值范围． (2)若对任意实数都成立，试说明是否为定值，并求出该定值． 【变式题13-2】．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【变式题13-3】．（25-26八年级上·全国·单元测试）我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数)的形式，则称这个整数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成(a，b是整数)的形式：___________； （2）若可配方成(m，n为常数)，则___________； 【探究问题】 （3）已知，则___________； （4）已知(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值． 同步练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·四川成都·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北唐山·期末）下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海·期中）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 4．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 二、填空题 5．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知，则 ． 6．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： （1） ， （2） ． 7．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）一个正方形面积为平方厘米，它的边长是 厘米． 8．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）已知，则 ． 9．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知，则 ． 10．（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·海南海口·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)（十字相乘法）． 12．（25-26八年级上·山东烟台·期中）分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： (1) (2) 13．（25-26八年级上·吉林长春·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 14．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 15．（25-26八年级上·四川内江·期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如： ③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项；2．分解常数项；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．得出原二次三项式的两个因式． 例如： 分析： 解：原式 (1)仿照以上方法，按照要求分解因式：（写出过程） ①（分组分解法） ②（拆项法） ③= ． (2)已知：、、为的三条边，，求的周长． 16．（25-26八年级上·四川眉山·期中）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)解决问题：因式分解：； (2)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 17．（25-26七年级上·全国·期中）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； 18．（25-26八年级上·北京·期中）小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为）更大； ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为）更大． 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 【数据应用】 (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由． 19．（23-24八年级下·四川巴中·期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法． (1)探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______． (2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体、、，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______． (3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.2用公式法分解因式 【题型1】判断能否用公式法分解因式 1.核心知识点总结 平方差公式适用条件：多项式为二项式，两项均能写成平方形式（即），且两项符号相反。 完全平方公式适用条件：多项式为三项式，首尾两项是两个数（或整式）的平方（符号相同），中间项是这两个数（或整式）积的倍（符号可正可负）。 公式法本质：将乘法公式逆用，转化为整式乘积形式。 2.高频考点梳理 直接判断单个多项式能否用平方差/完全平方公式分解。 多选题形式考查多个多项式的适用情况（如福建泉州期中题）。 结合提公因式法，判断先提公因式后能否用公式法分解。 3.易错点警示 易错类型 示例 错误原因 混淆符号要求 认为能用平方差公式 两项符号相同，不符合“符号相反”条件 忽略中间项倍数 认为是完全平方式 中间项应为，不是 未先提公因式判断 认为不能用平方差公式 先提公因式得，可继续用公式 4.解题技巧拆解 第一步：先看多项式项数，二项式优先考虑平方差公式，三项式优先考虑完全平方公式。 第二步：对各项变形，验证是否符合公式结构(如提取负号、系数化为平方形式)。 第三步：若有公因式，先提公因式后再判断后续能否用公式。 【例题1】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解中的公式法，具体包括平方差公式和完全平方公式．依次对每个多项式进行判断是否符合公式特征，从而确定能分解的个数． 【详解】解：（1），符合题意； （2）不能运用公式法分解因式，不符合题意； （3），符合题意； （4）不能运用公式法分解因式，不符合题意． ∴能运用公式法分解因式的有2个． 故选：B． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式分解因式的式子的特点是：有三项；平方项的符号必须相同；有两底数积的2倍．据此逐个判断即可． 【详解】解：①，符合用完全平方公式分解因式； ②不符合用完全平方公式分解因式； ③符合用完全平方公式分解因式； ④不符合用完全平方公式分解因式； ⑤不符合用完全平方公式分解因式； ⑥符合用完全平方公式分解因式． 综上，能用完全平方公式分解因式有①③⑥，一共有3个． 故选：B． 【变式题1-2】．（24-25七年级下·广西百色·期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接利用平方差公式、完全平方公式分别分解因式进而判断即可． 【详解】 ①不能用公式法分解因式； ②不能用公式法分解因式； ③可以用公式法分解因式； ④可以用公式法分解因式； ⑤可以用公式法分解因式； 综上，③、④、⑤能用公式法分解因式，共3个， 故选C． 【变式题1-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式. 逐一整理后根据完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②，能用完全平方公式分解因式； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④，能用完全平方公式分解因式； ⑤，能用完全平方公式分解因式； 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C． 【题型2】用平方差公式直接分解因式 1.核心知识点总结 公式：。 关键：将多项式转化为“平方减平方”形式，、可表示单项式(如)、多项式(如)或常数。 2.高频考点梳理 直接分解单项式平方差(如)。 分解含多项式的平方差(如)。 连续分解(如，分解后需检查是否彻底)。 3.易错点警示 符号错误：分解时，漏提负号导致结果错误，正确为。 分解不彻底：只分解为，未继续分解。 系数未化为平方：未先提公因式，直接尝试公式。 4.解题技巧拆解 步骤1：提取各项公因式(若有)，化为最简形式。 步骤2：将两项分别写成，确定、。 步骤3：代入公式计算，最后验证因式是否能继续分解。 【例题2】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解决问题的关键． 先由平方差公式因式分解，再由完全平方和与完全平方公式因式分解即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式题2-1】．（2025七年级上·全国·专题练习）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 【变式题2-2】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法，能利用平方差公式，完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行二次因式分解即可． 【详解】解：原式 . 【变式题2-3】．（25-26八年级上·山东淄博·月考）下列多项式因式分解后的结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解．根据因式分解判断各项即可． 【详解】解：A、，符合题意， B、不能分解，不符合题意； C、不能分解，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 【题型3】用完全平方公式直接分解因式 1.核心知识点总结 公式：；。 特征：首尾项为“平方项”(符号正)，中间项为“2倍积项”(符号可正可负)。 2.高频考点梳理 直接分解标准完全平方式(如)。 分解含整体的完全平方式(如)。 含分数/小数系数的完全平方式分解(如2025甘肃中考题)。 3.易错点警示 漏提负号：分解时，未先提，无法转化为完全平方式。 中间项倍数错误：将误写为，正确应为。 混淆和/差平方：中间项为负时，结果应为差的平方，而非和的平方。 4.解题技巧拆解 步骤1：若首项为负，先提取负号，转化为“平方和+2倍积”形式。 步骤2：确定首尾项的平方根，即和。 步骤3：验证中间项是否等于(或)，匹配公式写出结果。 【例题3】．（2017·江苏无锡·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．该多项式为完全平方式，可直接应用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键，先提取负号，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·湖南常德·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式题3-3】．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）因式分解： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了因式分解的两种方法，即平方差公式和完全平方公式以及提取公因式法．熟练掌握平方差公式、完全平方公式和提取公因式法是解题的关键． （1）利用平方差公式因式分解即可． （2）对于，先提取公因式，再看剩余部分是否还能继续分解，剩余部分符合完全平方公式的形式，这里，，从而即可因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4】求完全平方式中的参数 1.核心知识点总结 完全平方式的核心关系：中间项。 参数常见位置：中间项系数(如中的)、尾项(如中的)。 2.高频考点梳理 已知完全平方式，求中间项的参数(如2023常州期末题)。 求尾项的参数值，使多项式为完全平方式。 含多项式整体的参数问题(如中的)。 3.易错点警示 漏考虑正负值：求中时，只算，忽略。 系数未开方：求中时，误将当作，未考虑。 忽略公因式影响：先提公因式后再求参数，如需先提再计算。 4.解题技巧拆解 方法1：若多项式为(为完全平方数)，则，解出参数。 方法2：设完全平方式为，展开后与原式对比系数，列方程求解。 关键：参数通常有两个解(除特殊情况外)，需完整呈现。 【例题4】．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的多项式能用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题4-1】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于的整式是一个完全平方式，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 根据完全平方式，该二次三项式应可写为的形式，通过比较系数即可确定的值． 【详解】解：关于的整式是一个完全平方式， ， 则， ， 故答案为：或． 【变式题4-2】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于x的整式是一个完全平方式，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的二倍乘积项即可确定的值． 【详解】解：∵整式是一个完全平方式， ∴， ∴ 解得． 故答案为：或． 【变式题4-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则a的值为 ． 【答案】4或 【分析】此题考查了完全平方式， 根据完全平方式的定义得到，进而求解即可． 【详解】解：∵关于x的二次三项式是一个完全平方式， ∴ ∴或 故答案为：4或． 【题型5】十字相乘法分解二次三项式 1.核心知识点总结 公式：，其中，，。 关键：分解二次项系数和常数项，找到满足十字交叉和为的因数对。 2.高频考点梳理 二次项系数为质数的分解(如)。 二次项系数为合数的分解(如)。 含负系数的分解(如)。 3.易错点警示 因数对选择错误：分解时，误选与、与，交叉和为才正确。 漏提负号：分解时，未先提，导致符号混乱。 分解后未验证：未展开结果检查是否与原式一致，导致错误。 4.解题技巧拆解 步骤1：若二次项系数为负，先提取负号，转化为正系数二次三项式。 步骤2：列出二次项系数的因数对()和常数项的因数对()。 步骤3：十字交叉验证，找到正确因数对后写出因式分解结果。 【例题5】．（20-21八年级上·江西赣州·阶段练习）十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．如：将式子和分解因式，如图，；． (1)分解因式： ； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图， ∴； （2）解：如图， ∴． 【变式题5-1】．（23-24九年级上·青海西宁·期中）探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，进而根据乘法原理解答即可； （）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，进而根据乘法原理解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，； （2）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，． 【变式题5-2】．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）阅读理解：用十字相乘法”分解因式：． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如图，画“”号，将1、2写在“”号左边，将、3或1、写在“”号的右边，共有如图的四种情形： 第三步：验算交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数； ①系数为； ②的系数为； ③的系数为； ④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式： ． 【答案】 【分析】根据提供的方法解答即可． 本题考查了十字相乘法分解因式，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 系数为， 故， 故答案为：． 【变式题5-3】．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，因式分解． （1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可； （2）画出图形，根据面积的不同求法证明即可； （3）仿照题中给出的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：根据多项式的乘法：； （2）解：如图所示为所画的图形， 大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长宽， 另一种是四块小长方形面积之和：， 即； （3）解：如图， ∴． 【题型6】综合提公因式与公式法分解因式(提升) 1.核心知识点总结 分解原则：“先提公因式，再用公式”，分解必须彻底。 常见形式：公因式为单项式(如)、多项式(如)。 2.高频考点梳理 先提单项式公因式，再用平方差/完全平方公式(如2024北京中考题)。 先提多项式公因式(含符号变形，如)，再用公式。 多次提公因式+多次用公式(如)。 3.易错点警示 提公因式后漏项：分解时，提后漏写，结果应为。 符号变形错误：处理时，未变号直接提公因式，导致后续公式无法应用。 分解不彻底：提公因式后未继续用公式，如未分解为。 4.解题技巧拆解 步骤1：观察各项是否有公因式(单项式、多项式或符号公因式)，优先提取。 步骤2：对提取公因式后的剩余部分，判断项数选择公式(二项式用平方差，三项式用完全平方)。 步骤3：重复检查每个因式，确保无公因式且无法再用公式。 【例题6】．（25-26八年级上·广东广州·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）分解因式： (1) (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·山西临汾·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解相关知识点．熟练使用提取公因式法、以及熟练运用公式法来因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式，然后运用完全平方公式即可求解； （2）运用平方差公式计算，再合并同类项，然后利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7】因式分解在简便计算中的应用(提升) 1.核心知识点总结 核心思路：将复杂运算转化为“整式乘积”形式，利用乘法分配律或平方差/完全平方公式简化计算。 常见场景：平方差型计算(如)、完全平方型计算(如)、连乘约分(如)。 2.高频考点梳理 整数平方差计算(如)。 含小数/分数的简便计算(如)。 连乘式约分计算(如2025江苏淮安阶段练习)。 3.易错点警示 未提取公因式直接计算：如，未转化为完全平方直接硬算。 符号处理错误：计算时，漏写括号导致运算顺序错误。 约分不彻底：连乘式中未观察到因式抵消，导致计算繁琐。 4.解题技巧拆解 技巧1：观察式子结构，若有公因式先提取(如提取系数、相同因式)。 技巧2：平方差型：转化为，利用整十/整百数简化。 技巧3：完全平方型：转化为，快速计算平方数。 技巧4：连乘式：用平方差公式分解后，逐项约分(如)。 【例题7】．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）用乘法公式简便计算： (1) (2) 【答案】(1)1600 (2)9 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）利用因式分解简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)4047 (2)2025 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）根据平方差公式分解因式，进行简便计算即可； （2）提公因式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题7-2】．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式计算，利用提取公因式法简化运算，逆用积的乘方，解题关键是掌握上述运算技巧进行计算． （1）利用平方差公式分解因式计算； （2）利用多次提取公因式法简化运算； （3）逆用积的乘方计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） 【变式题7-3】．（25-26八年级上·全国·单元测试）利用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，熟练掌握提公因式法与公式法是解题的关键． （1）通过将转化为，再利用提公因式法计算； （2）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型8】利用因式分解求值(提升) 1.核心知识点总结 求值思路：将所求代数式因式分解，转化为含已知条件的整式乘积形式，整体代入计算。 常见已知条件：、、等代数式的值(如，)。 2.高频考点梳理 直接整体代入求值(如已知，求)。 先化简代数式再因式分解求值(如求值)。 结合非负性求参数后求值(如，求)。 3.易错点警示 代数式未分解彻底：所求式子因式分解不完整，无法匹配已知条件。 整体代入时符号错误：如已知，代入时误写为。 漏用公式化简：如将直接代入，未转化为。 4.解题技巧拆解 步骤1：对所求代数式进行因式分解(提公因式+公式法)，整理为含已知条件的形式。 步骤2：将已知条件整体代入分解后的式子(注意符号和倍数关系)。 步骤3：计算时优先简化整式乘积，再计算最终结果。 【例题8】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，求． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键． 将所求的代数式利用提公因式法和公式法进行因式分解，然后代入求值即可． 【详解】解： ． 【变式题8-1】．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）已知a、b为整数，可以分解成三个一次因式的乘积，其中的两个因式为和，求的值．（待定系数法） 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，设，得出，代入后求值即可求出结论． 【详解】解：设， 则， ， 解得， ． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）求证：不论x取何实数，多项式的值都不会是正数． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用以及平方数的非负性，熟练掌握因式分解的方法和平方数的非负性是解题的关键． （1）先对所求式子进行变形，利用已知条件将高次幂转化为低次幂，再通过平方差公式求出的值，进而得出结果． （2）对多项式进行因式分解，然后根据平方数的非负性以及系数的正负来判断多项式的值的范围． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：， ，， ． ∴不论x取何实数，多项式的值都不会是正数． 【变式题8-3】．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． （1）将式子分成两组，提出公因式后，先运用完全平方公式，再运用平方差公式计算即可； （2）将式子进行分组，运用提公因式法、平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为，， 所以原式． 【题型9】用整体/换元法分解因式(提升) 1.核心知识点总结 整体法：将多项式中重复出现的整式（如、）看成一个“整体”，直接代入公式分解。 换元法：用新字母（如、）代替复杂整体，将多项式转化为简单整式（如二次三项式），分解后再还原原整体。 适用场景：含复杂整式平方、重复整式的多项式（如、）。 2.高频考点梳理 整体代入平方差公式（如，将、看成整体）。 换元法+完全平方公式（如2025广东惠州三模题，用分解）。 多次整体/换元（如先提公因式再整体用公式，或换元后再次用公式）。 3.易错点警示 易错类型 示例 错误原因 换元后忘记还原 用分解，结果写为未还原 未将换回原整式 整体识别不准确 分解，未发现、 未找到关联整式组成整体 符号处理失误 整体为时，未提负号直接代入，导致公式应用错误 整体含负号时未先整理符号 4.解题技巧拆解 技巧1：识别整体——寻找多项式中重复出现2次及以上的整式（如、），标记为整体。 技巧2：换元简化——若整体复杂，设，将原式转化为或，用公式分解。 技巧3：还原验证——分解后将换回原整体，检查是否能继续分解（如换元后分解结果为，还原后需看是否能再用公式）。 【例题9】．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）对于一些多项式，不能直接进行因式分解，我们可以进行变形后再分解． 例1：因式分解： 解： 例2：因式分解： 解：将看成一个整体，设，则原式， 再将代入，得原式 例3：求代数式的最值． 解：． ，， 当时，的值最小，的最小值是1， 根据以上解法，解答下列问题： (1)请你利用例1的方法，因式分解：； (2)请你利用例2的方法，因式分解：； (3)请你利用例3的方法，求代数式的最值． 【答案】(1) (2) (3)最大值是19 【分析】本题考查因式分解，理解题中例题方法是解答的关键． （1）仿照例题1，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可； （2）仿照例题2，设，利用完全平方公式分解因式即可； （3）仿照例题3，利用平方式的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 则原式， 将代入，得原式； （3）解：， ， ∴， ， 当时，的值最大， 故的最大值是19， 【变式题9-1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为， 所以， 所以， 所以，得． 材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） (1)请根据材料A，解答问题：若，求的值； (2)请根据材料B，解答问题： 在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果； 因式分解：； (3)综合运用：若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2) ； (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）①根据完全平方公式继续进行因式分解即可； ②根据材料B提供的方法，进行因式分解即可； （3）设，得出，根据完全平方公式变形求值，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：． （2）解：①设， 原式 ． 设， 原式 ． （3）解：设， ， 实数满足， ， ， ， 即， ， ． 【变式题9-2】．（24-25八年级下·全国·假期作业）阅读材料： 将进行因式分解． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 将多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 根据以上材料，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查运用换元法进行因式分解，读懂题意，理解换元法是解题的关键． （1）令，根据材料的方法进行求解即可； （2），根据材料的方法进行求解即可； （3）将式子化为，令，则式子可化为，即可证明． 【详解】（1）解：令，则 原式． （2）解：令，则原式． （3）解：原式． 令， 则原式． 为正整数， 为正整数． 代数式的值一定是某个整数的平方． 【变式题9-3】．（24-25八年级下·广东深圳·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)下面是小明同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式=（_______）（_______） 将代入，得原式_____． (2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【答案】(1)，；；； (2)． 【分析】本题考查了换元法因式分解，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟练掌握换元思想是解题的关键． （）设，然后代入通过因式分解即可求解； （）设，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：设， 原式 将代入， 得原式， 故答案为：，；；； （2）解：设， 原式 ， 将代入， 得原式 ． 【题型10】分组分解法分解因式(提升) 1.核心知识点总结 分组原则：分组后能提取公因式或运用公式，常见分组方式：“二二分组”“一三分组”。 适用场景：四项及以上多项式(如、)。 2.高频考点梳理 二二分组(分组后提公因式，如)。 一三分组(分组后用完全平方+平方差，如)。 含符号变形的分组(如)。 3.易错点警示 分组无目标：盲目分组导致无法提取公因式或用公式，如未按“”分组。 分组后漏提公因式：如分解为，未继续提。 符号处理错误：分组时括号前是负号，括号内各项未变号。 4.解题技巧拆解 技巧1：观察多项式特征，四项式优先二二分组，含平方项优先一三分组(凑完全平方)。 技巧2：分组后若有相同因式，直接提取；若能转化为平方差，继续用公式分解。 示例：分解，分组为，再用平方差公式。 【例题10】．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查分组分解法分解因式，正确分组是解题关键． 直接将原式分组，再利用提取公因式法分解因式得出答案． 【详解】解：原式 ． 【变式题10-1】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法，公式法进行分解因式，十字相乘法分解因式．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原式整理得，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先把原式整理得，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题10-2】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法：． 仔细阅读以上内容，解决下面问题： (1)因式分解：_____． (2)已知：、、为的三条边，，求的周长． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了因式分解的方法，本题主要包括分组分解法、运用平方差公式进行分解、运用完全平方公式进行分解． （1）将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，得到，再根据偶次方的非负性可得出、、的值，然后求和即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∴， ∴， ，，， ，，， ∴，，， ， 故的周长为：10． 【变式题10-3】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）综合与实践 【阅读材料，掌握知识】 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式： 解法一： 解法二： 小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【理解知识，尝试应用】 （1）因式分解：； 【提炼思想，拓展应用】 （2）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】 (1) (2) 等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分组分解因式的方法是解题的关键． (1) 对多项式进行分组，提取公因式后因式分解； (2) 将等式变形为因式乘积形式，利用三角形三边关系判断其形状. 【详解】（1）解： 原式 （2）∵ ∴ ∵三角形的三边长分别是，， ∴ ∴即 ∴这个三角形是等腰三角形. 【题型11】因式分解在几何问题中的应用(培优) 1.核心知识点总结 几何关联：面积计算(如矩形、正方形面积差)、边长关系推导(如三角形三边关系)、图形拼接问题。 常用公式：面积差转化为平方差(如)，周长与边长的整式关系。 2.高频考点梳理 利用面积差因式分解求边长(如两个正方形花坛面积差，周长和)。 结合图形拼接推导因式分解公式(如)。 用因式分解判断三角形形状(如已知)。 3.易错点警示 几何公式记忆错误：混淆正方形、矩形面积公式，导致整式表达错误。 未将几何量转化为代数式：直接计算边长，未通过因式分解简化运算。 忽略实际意义：边长为正数，因式分解后需舍去负根。 4.解题技巧拆解 步骤1：根据几何图形，列出面积、周长等关系式，转化为代数式。 步骤2：对代数式进行因式分解(平方差、完全平方公式为主)。 步骤3：结合几何量的非负性，求解边长、面积等未知量。 【例题11】．（25-26七年级上·上海·期中）若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为 ． 【答案】9或12或21 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得或或，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴或 或 ， ∴的值可以是9或12或21， 故答案为：9或12或21． 【变式题11-1】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，长、宽分别为的长方形，它的周长为12，面积为7．求下列整式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)22 (2)48 【分析】此题考查了完全平方公式和因式分解法的应用，正确将原式分解因式是解题的关键． （1）利用面积公式得到，由周长公式得到，所以将原式变形为，再代入求值即可． （2）将原式因式分解得出，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，． ． （2）解：． ． 【变式题11-2】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： (1)用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为 ． (2)如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 【答案】(1) (2)①；②图②中空白部分图形的面积为 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，解题的关键是求出的长． （1）观察图形将图①中的大正方形拆分成不同的小正方形和长方形，得出表示的面积式子，再通过图①中的大长方形的长与宽表示出面积的式子，此时两个式子相等； （2）①即为大长方形的面积，然后观察出大长方形的长和宽，根据面积相等得到因式分解的结果； ②根据题中条件得出，的值，通过完全平方公式变形求出最终面积． 【详解】（1）解：由题意知，将图①中的大长方形拆分成不同的小正方形和长方形，此时表示的面积为，已知图①大长方形的长为，宽为，则面积为， ∴， 故答案为：． （2）解：①由图②可知，， 故答案为：． ②由题意知，阴影面积表示为， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴图②中空白部分图形的面积为． 【变式题11-3】．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． 例如：，，都把一个多项式进行了因式分解． 现有图1中的A、B、C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例如：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，即多项式因式分解的结果为． 请回答下列问题： 【小试牛刀】 （1）根据图3拼图，多项式因式分解的结果是 ． 【自主探索】 （2）请利用图1中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式因式分解的结果； 【拓展应用】 （3）某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为b的均匀泥路（如图5），求剩余草皮面积． 【答案】（1）；（2）示意图见解析，；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，因式分解的应用，解题关键是灵活运用因式分解的方法解决问题． （1）根据图形可得计算即可； （2）由题意可得图，再根据图可分解因式； （3）计算出剩余草皮面积，根据题意分情况分析即可． 【详解】解：（1）由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， ∴图3的面积为， 又∵图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ， 故答案为：； （2）图形如下： ， （3）由图可知：剩余草皮面积为 ． 【题型12】因式分解解决整除问题(培优) 1.核心知识点总结 整除原理：若多项式能分解为(为整数，为整式)，则能被整除。 常见场景：判断多项式能否被某数(如、)整除，或证明任意整数满足整除关系。 2.高频考点梳理 证明多项式能被特定数整除(如证明能被整除，为奇数)。 判断整除结果(如能被哪个数整除)。 含参数的整除问题(如能被整除，证明为整数)。 3.易错点警示 因式分解不彻底：未分解到含除数的因式，无法证明整除。 忽略参数奇偶性：如为奇数未设为，导致推导失败。 未验证特殊值：未用具体整数代入检验，导致逻辑漏洞。 4.解题技巧拆解 步骤1：对多项式进行因式分解(优先平方差、完全平方公式)。 步骤2：将除数分解为质数乘积(如)，分析因式分解结果是否含该因数。 步骤3：结合参数的整数性质(如连续整数必有偶数、3的倍数)，补充证明。 【例题12】．（25-26八年级上·山东东营·阶段练习）可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是 ． 【答案】65，63 【分析】利用平方差公式分解，整理即可确定出这两个数． 本题考查了公式法分解因式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ∴这两个数为65，63． 故答案为：65，63． 【变式题12-1】．（25-26八年级上·山东淄博·月考）对于任意整数n，多项式都能被（    ）整除． A．9 B．2 C．11 D．n+9 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，先利用平方差公式因式分解，然后根据为整数可得结论． 【详解】解： , ∵n为整数， ∴为整数， 则多项式都能被9整除． 故选：A． 【变式题12-2】．（24-25八年级下·河北保定·期末）观察： 观察下列各式：；；………… 发现： 比任意一个偶数大7的数与此偶数的平方差都能被7整除． 验证： （1）的结果是7的 倍； （2）设偶数为，试说明比大7的数与的平方差都能被7整除； 延伸： （3）请利用整数k说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3”． 【答案】（1）27；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式、分解因式的应用等知识点，灵活运用因式分解成为解题的关键． （1）先运用平方差公式化简即可解答； （2）根据“比大7的数与的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可解答； （3）根据“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可解答； 【详解】解：（1）∵， ∴的结果是7的27倍． 故答案为：27． （2）设偶数为，则比大7的数为， 由题意得：， ， ∵为整数， ∴能被7整除， ∴比大7的数与的平方差都能被7整除． （3）∵比整数k大3的数为， ∴， ∵， ∴被6整除的余数是3， ∴比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3． 【变式题12-3】．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法，并完成题（2）． (1)两个连续的奇数的平方差能被8整除吗？为什么？ (2)①若k为任意整数，则的值总能________． A．被2整除    B．被3整除    C．被5整除    D．被7整除 ②必能被10和20之间某两个整数整除，求这两个数． 【答案】(1)两个连续的奇数的平方差能被8整除，理由见解析 (2)①C；②15和17 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式、平方差公式． （1）设两个连续的奇数分别为和，m为任意整数，则两个连续的奇数的平方差为，利用完全平方公式展开，再合并同类项后得，即可得出结论； （2）①利用完全平方公式展开，再合并同类项后得，即可得出答案； ②利用平方差公式展开得 ，即可得出答案． 【详解】（1）解：两个连续的奇数的平方差能被8整除，理由如下： 设两个连续的奇数分别为和，m为任意整数， ， ∵m为任意整数， ∴是8的整数倍， 即两个连续的奇数的平方差能被8整除； （2）解：① ， ∵k为任意整数， ∴是整数， ∴的值总能被5整除， 故选：C； ② ， ∴这两个数是15和17． 【题型13】新定义型因式分解问题(培优) 1.核心知识点总结 新定义特征：围绕因式分解定义新概念(如“登高数”“风月同天数”“摆动数”)，需先理解定义再应用公式。 解题关键：将新定义转化为因式分解的常规形式(平方差、完全平方等)。 2.高频考点梳理 新定义判断：如判断某数是否为“登高数”(两个连续正奇数的平方差)。 新定义性质推导：如证明“登高数”能被整除(福建泉州期末题)。 新定义应用：如求不超过的所有“登高数”的和。 3.易错点警示 未理解新定义本质：如“风月同天数”是，误理解为。 忽略定义限制条件：如“连续正奇数”“正整数”等，导致取值范围错误。 推导过程未用因式分解：未将新定义表达式因式分解，无法推导性质。 4.解题技巧拆解 步骤1：精读新定义，提取核心条件(如“两个连续正奇数”设为和)。 步骤2：将新定义表达式转化为因式分解形式(如平方差公式)。 步骤3：结合定义限制条件，分析因式分解结果的性质(整除、取值范围等)。 【例题13】．（25-26八年级上·全国·阶段练习）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式法因式分解以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键． 根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确． 【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，故①错误； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且， 、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为正整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是②③． 故选：C． 【变式题13-1】．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）阅读运用： 对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，如：， (1)若，． ①求； ②若关于的不等式组恰有3个整数解，求实数的取值范围． (2)若对任意实数都成立，试说明是否为定值，并求出该定值． 【答案】(1)①5；② (2)是定值，且定值为 【分析】本题考查本题考查新定义、由不等式组解的情况求参数、解二元一次方程组，理解新运算是解题的关键． （1）①根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组求出a，b的值，即可解答． ②据新定义计算，列出关于a的不等式组，再根据a有3个整数解，即可列出关于M的不等式组，解不等式求出实数M的取值范围，即可解答． （2）根据定义的新运算，列出，即，则，即可解答． 【详解】（1）解：①由，，得 ， 解得， ∴， ∴． ②∵不等式组， ∴，即， ∵关于的不等式组有3个整数解， ∴，且， 解得． （2）由得 ，， ∵， ∴， 化简得， ∴， ∵若对任意实数都成立， ∴， ∴， 所以是定值，且定值为． 【变式题13-2】．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【答案】(1)是“双一次可分解式”，理由见解析 (2)是“双一次可分解式”，理由见解析 (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）把用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把多项式变形为，提公因式即可； （3）根据常数项，设另一个因式为，则，解得． 【详解】（1）， 是“双一次可分解式”； （2）， 是“双一次可分解式”； （3）根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． 【变式题13-3】．（25-26八年级上·全国·单元测试）我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数)的形式，则称这个整数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成(a，b是整数)的形式：___________； （2）若可配方成(m，n为常数)，则___________； 【探究问题】 （3）已知，则___________； （4）已知(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值． 【答案】（1），（2），（3），（4） 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式把左边分解因式，再利用非负数的性质可得答案； （4）利用完全平方公式可得 ，再利用新定义可得答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； （4）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数． 同步练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·四川成都·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．根据平方差公式的结构特征对各选项分析判断后即可得答案． 【详解】解：A．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． B．，不能利用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． C．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． D．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． 故选B． 2．（24-25七年级下·河北唐山·期末）下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】完全平方公式为，需满足首末项为平方项且中间项为两平方项根乘积的2倍．本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 【详解】解：A、，符合平方差公式，但不符合完全平方公式，本选项不符合题意． B、，中间项为，但末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． C、，中间项为，末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． D、，首项和末项均为平方项，中间项为与乘积的2倍，符合形式，可分解为，本选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·上海·期中）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键．先对多项式 进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到 ，代入 和 ，计算各因式的值，得到 12、24、48；密码由这三个数字按任意顺序拼接成六位数，列出所有可能组合，与选项对比即可判断． 【详解】解：∵ ， 且，， ∴ ， ， ， ∴ 因式值为 12、24、48， 可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412 选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合， 选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列， ∴ 密码不可能为D． 故选：D． 4．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握解答的方法是关键； 通过平方差公式分解多项式，得到表达式含有因子8，因此对于任何正整数x，其值都能被8整除． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 二、填空题 5．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式法进行因式分解，再代入值计算即可． 【详解】解：∵且，， ∴； 故答案为：3． 6．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： （1） ， （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）根据十字相乘法可进行分解因式． 【详解】解：（1）， 故答案为； （2）， 故答案为． 7．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）一个正方形面积为平方厘米，它的边长是 厘米． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，算术平方根的实际应用，利用完全平方公式法进行因式分解，利用算术平方根求出边长即可． 【详解】解：由题意，正方形的边长为， ∵， ∴正方形的边长为厘米； 故答案为： 8．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出的值，再利用完全平方公式分解因式可把原式变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴ ， 故答案为：6． 9．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，两边都除以a构造出a与其倒数和是解题的关键，另外还要注意乘积的二倍不含字母非常的重要． 由已知方程变形得到，再利用完全平方公式求值． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， ∴． 故答案为：7 10．（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 【答案】8104 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为，其中n为正整数，第2025个智慧优数为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即智慧优数为，， 所以，第2025个智慧优数为． 故答案为：8104． 三、解答题 11．（25-26八年级上·海南海口·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)（十字相乘法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式提取公因式m，再利用平方差公式分解即可； （2）原式提取公因式3，利用完全平方公式分解即可； （3）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （4）利用十字相乘法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（25-26八年级上·山东烟台·期中）分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解及其应用． （1）先提取公因式，再利用平方差公式与完全平方公式分解因式即可． （2）利用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 13．（25-26八年级上·吉林长春·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 14．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解、完全平方公式、平方差公式，首先阅读材料、掌握材料分解因式的方法，类比材料中提供的解题思路解答即可． 首先在原式中凑出完全平方式，先完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式； 在原式中凑出完全平方式，先完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： 15．（25-26八年级上·四川内江·期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如： ③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项；2．分解常数项；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．得出原二次三项式的两个因式． 例如： 分析： 解：原式 (1)仿照以上方法，按照要求分解因式：（写出过程） ①（分组分解法） ②（拆项法） ③= ． (2)已知：、、为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)①，②，③ (2)7 【分析】本题考查因式分解的方法，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③； 故答案为：，， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴． ∴的周长为7． 16．（25-26八年级上·四川眉山·期中）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)解决问题：因式分解：； (2)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)三角形为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查分组分解法，因式分解的应用，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到之间的关系，即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：三角形为等边三角形，理由如下： ， ， ， ∴， ∴， ∴这个三角形为等边三角形． 17．（25-26七年级上·全国·期中）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法因式分解即可； （2）先根据，得出，从而得出，，最后再代入求值即可 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ，， ． 18．（25-26八年级上·北京·期中）小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为）更大； ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为）更大． 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 【数据应用】 (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2)小厉，理由见解析 【分析】本题考查多项式乘法以及因式分解的实际应用，注意计算的准确性即可； （1），即可求解； （2）即可求解； 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小厉的想法正确； 19．（23-24八年级下·四川巴中·期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法． (1)探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______． (2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体、、，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______． (3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2)；；； (3) 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，利用完全平方公式变形求值，利用提公因式法分解因式，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得； （2）分别表示出长方体的长宽高，从而根据长方体的体积公式分别表示出对应的体积，最后利用大正方体的体积减去小正方体的体积等于三个长方体的体积之和，并利用提公因式法因式分解即可； （3）由（）的结论结合完全平方公式因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为， 拼图前后图形的面积不变， ， 即因此可得一个多项式的因式分解为． 故答案为：． （2）解：如图所示，则得到的几何体的体积为：； ，，， 长方体的体积为， ，，， 长方体的体积为， ， 即可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为． 故答案为：；；；． （3）解：由（）可知，， ∵，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $