16.2整式的乘法（基础篇）讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

16.2整式的乘法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 整式的乘法 ⑴单项式单项式：系数系数，同字母同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加. ⑶多项式多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 整式的除法： ⑴同底数幂的除法： ⑵单项式单项式：系数系数，同字母同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式多项式：用竖式. 型 习 练 题 计算单项式乘单项式 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查指数运算和单项式乘法的规则，需根据同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方的性质判断各选项是否正确． 【详解】解：A选项：根据单项式乘以单项式的法则，可得：，故A选项计算正确； B选项：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：，故B选项计算错误； C选项：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得：，故C选项计算错误； D选项：根据积的乘方等于各因式乘方的积，可得：，故D选项计算错误． 故选：A． 2．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 直接计算每个选项的表达式，根据幂的乘方法则（幂的乘方，底数不变，指数相乘）和同底数幂乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）进行判断． 【详解】解：选项A：，符合题意； 选项B：，错误，不符合题意； 选项C：，错误，不符合题意； 选项D：，错误，不符合题意 故选：A． 3．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，以及同类项的定义．根据同类项的定义，相同字母的指数必须相同，因此列出关于m和n的方程并求解，再计算两个单项式的乘积即可． 【详解】解：∵ 单项式与是同类项， ∴且， 解得，， ∴两个单项式为和， ∴它们的乘积为． 故选：A． 4．下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，以及单项式与单项式的乘法等知识． 根据运算规则逐项判断即可． 【详解】A．与指数不同，不是同类项，不能合并，故 A错误； B．，故 B错误； C．，故 C错误； D．，故D正确． 故选D． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 计算两个单项式的乘积，需将系数相乘，同底数幂相乘指数相加． 【详解】解：， 故选：C． 计算单项式乘多项式及求值 6．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 7．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘单项式，找到关键信息：等式两边的同底数幂相等，且底数分别为和，需保证对应底数的指数相等；以及通过指数相等建立方程的等量关系思想． 根据单项式乘法法则将所给式子的左边化简，进而结合右边建立方程组，解方程组即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 8．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 9．已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 10．设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 单项式乘多项式的应用 11．如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式运算的实际应用，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意， ； 故选A． 12．观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间面积的数量进行求解． 用不同的方法表示长方形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵长方形面积=三个小长方形面积的和， ∴， 故选：A． 13．如图，在长方形土地的内部围出一个长方形区域，尺寸如图所示（单位：），则用含有a，b，x的式子表示图中阴影部分的面积（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算与图形的面积，掌握整式的混合运算规则是解题的关键． 根据大长方形的面积减去中间长方形的面积，运用整式的运算得到结果即可． 【详解】解： ， 故选：B ． 14．如果长方体的长为，宽为，高为，则它的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式， 根据长方体的体积等于长乘宽乘高，再根据单项式乘以多项式法则计算即可. 【详解】解：∵长方体的长为，宽为，高为a， ∴它的体积是. 故选：C. 15．现规定一种运算：．其中，为实数，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题定义新运算——．正确理解定义的新运算的意义，多项式的混合运算，是解题的关键． 根据新定义的运算，可得到，去括号合并同类项，即可得解． 【详解】解： ． 故选：D． 利用单项式乘多项式求字母的值 16．若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，多项式的项及系数，先将展开，合并同类项得，继而得到，求解即可．解题的关键是掌握相应的运算法则． 【详解】解： ， ∵计算的结果中不含项， ∴， 解得：， 即常数的值为． 故选：A． 17．若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则展开式子，进而由展开式中不含项，得到项的系数为，据此解答即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故选：． 18．若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出满足的条件即可． 【详解】解：， ∵将展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：B． 19．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 20．若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用单项式乘多项式法则计算，根据结果中不含项，求出a的值即可． 【详解】解： ∵的计算结果中不含项， ∴， 解得：． 故选B． 计算多项式乘多项式 21．若，则m的值为（ ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用多项式乘多项式法则展开后得到关于m，n的方程，解方程即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 比较系数，得：，， ∴；， 因此，m 的值为， 故选：B． 22．设是五次多项式，是六次多项式，下列说法正确的是（   ） A．是五次整式 B．是六次整式 C．是五次整式 D．是六次整式 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，整式的加法．根据整式的乘法，整式的加法运算解答即可． 【详解】解：∵是五次多项式，是六次多项式， ∴ M的最高次项为五次项，N的最高次项为六次项， ∴ 的最高次项为N的六次项，次数为6，即是六次整式，故A选项错误，B选项正确； 的最高次项为十一次项，即是十一次整式，故C，D选项错误． 故选：B 23．下列各式中不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式、多项式乘多项式与图形面积等知识点，能根据图形列出代数式是解题的关键． 先用多种方法列代数式表示出阴影部分的面积，再结合各选项进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 24．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查零指数幂、多项式乘法、幂的乘方和同底数幂除法等基本运算法则，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据运算法则对选项逐个进行计算判断即可． 【详解】选项A：任何非零数的0次幂等于1，，∴ A错误． 选项B：多项式乘法，，∴ B正确． 选项C：幂的乘方，，∴ C错误． 选项D：同底数幂除法，，∴ D错误． 故选：B． 25．下列多项式相乘结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式法则计算各个选项，即可解答． 【详解】解：A． ，不合题意； B．，不合题意； C．，符合题意； D．，不合题意． 故选：C． 化简求值 26．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值．先去括号，再合并同类项；最后把代入即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 27．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解决此题的关键是正确的计算；先根据多项式乘多项式的法和单项式乘多项式的法则把整式化简，再代入求值即可； 【详解】解： ， ， ， 把，代入原式． 28．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、多项式除以单项式以及求值，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式、多项式除以单项式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解： ， 将，代入得：原式． 29．先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，根据多项式乘以多项式的法则，单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，利用整体思想，代入求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴原式． 30．先化简，再求值：求，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，化简求值．先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴． 整式乘法混合运算 31．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法，单项式除以单项式运算法则，进行计算即可； （2）根据积的乘方运算法则，单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式、单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 33．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的运算． （1）先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式式乘以多项式的法则进行计算即可． （3）根据多项式式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． 34．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，然后合并同类项（本题无同类项合并，但格式上需明确运算步骤）． （2）根据多项式乘多项式法则以及同底数幂的除法法则分别计算乘法与除法部分，再将所得结果相加． 本题主要考查了整式的乘法运算，包括单项式乘多项式、多项式乘多项式以及同底数幂的除法．熟练掌握乘法分配律以及同底数幂的除法法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先利用积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式的运算法则求解，再合并同类项即可求解； （2）先利用多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则求解，再合并同类项求解即可． 【详解】（1）（1）解： ； （2）解： ． 同底数幂的除法运算 36．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，包括积的乘方，幂的乘方，整式的乘除等，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用积的乘方，幂的乘方，单项式乘单项式等运算法则进行计算即可； （2）先进行多项式乘多项式和整式的除法运算，再进行加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法及单项式乘以多项式，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据同底数幂的乘除法可进行求解； （2）根据单项式乘以多项式可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 38．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，首先根据乘方的运算法则把它们转化成同底数幂，再根据同底数幂的除法法则进行计算． 【详解】解： ． 39．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算， 对于（1），根据同底数幂相乘法则计算，同时根据幂的乘方法则计算，再合并同类项； 对于（2），根据多项式乘以单项式计算，同时根据同底数幂相除计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式， ． 40．计算 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，关键是掌握相关计算法则． 根据两个互为相反数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数，化成同底数幂，然后根据同底数幂的乘法法则除法法则进行计算即可. 【详解】解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $16.2整式的乘法 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 整式的乘法 新课探索 整式的除法 计算单项式乘单项式 讲义内容 计算单项式乘多项式及求值 单项式乘多项式的应用 利用单项式乘多项式求字母的值 计算多项式乘多项式 题型练习 化简求值 整式乘法混合运算 同底数幂的除法运算 零指数幂 整式四则侧混合运算 新 课 探 索 整式的乘法 (1)单项式x单项式：系数×系数，同字母×同字母，不同字母为积的因式. (2)单项式×多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加. (3)多项式×多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 整式的除法： (1)同底数幂的除法：a”÷a”=am-州 (2)单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. (3)多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. (4)多项式÷多项式：用竖式。 题 型 练 计算单项式乘单项式 1.下列计算正确的是() A.2a.3a=6a2B.a2.a3=a c.(a3)}2=a D.(ab)2=ab2 2.下列计算结果正确的是() A.(-x2y3)2=x4yB.(3a2b2)2=6ab4 C.(-x2)3=-x D.2m3.3m2=5m3 3。如果单暖式-3少与y“是同类项，那么这两个单项式的积是（） A.-xy4 B.xy4 C.-3x3y2 D.- 4.下列运算中，计算结果正确的是() A.a2+a=as B.a2.a=a c.(2a2）°=6a D.2a4×3a3=6a 5.计算(3xy列音y的结果是《) A. B.-4xy C.-4x6y2 3 D.xy2 计算单项式乘多项式及求值 6.己知单项式6am+b1与4a2m-b-的积与7ab是同类项，则m1的值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 7.若am+b+a2m-b2"=ab8,则m+n的值为（） A.4 B.2 C.3 D.-3 8.已知单项式6g2与-} 的积为my3,则m,n的值为《) A.m=-2,n=4 B.m=-18,n=4 C.m=-2,n=3 D.m=-18,n=3 9,已知单项式6xy与- x"y2的积为mxy3,则n的值为() 2 A.12 B.9 C.6 D.3 10.设(xm-y"2)x5my2)=xy,则n"的值为() A.1 B.-1 C.3 D.-3 单项式乘多项式的应用 I1.如图，四边形ABCD与CGEF是两个边长分别为m,n的正方形，则阴影部分的面积可 以表示为() 1 1 A.n2 B.5m2+5n2 2 1 C. D.2 12.观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积， 可以说明下列哪个等式成立() a b C A.m(a+b+c)=ma+mb+mc B.(a+b)m=(b+c)m C.a(a+b+c)=a-+ab+ac D.ma+mb+mc=a2+b2+c2. 13.如图，在长方形土地的内部围出一个长方形区域，尺寸如图所示（单位：m),则用含 有a,b,x的式子表示图中阴影部分的面积()m2. P A.2ax+bx B.2ax+2bx C.ax+2bx D.2ax-2bx 14.如果长方体的长为3a-4,宽为2a,高为a,则它的体积是() A.3a3-4a B.a' C.6a3-8a2 D.6a3-8a 15.现规定一种运算：m⊕n=mn+m-n.其中，，n为实数，则m⊕n+n-m⊕n的结 果为() A.m2-n B.n2-m C.n2 D.n2-n 利用单项式乘多项式求字母的值 16.若计算(x2+ax+5(-2x)-6x2的结果中不含xX2项，则常数a的值为() A.-3 B C.0 D.3 17.若(x2+ax+1(-6x)的展开式中不含x4项，则a=（) A.-6 B.0 C.! D.-1 6 18.若将(x+a)x展开的结果中不含有x项，则a满足的条件是() A.a=-1 B.a=0 C.a=1 D.a=2 19.要使(-x)x2-mx+2x)的展开式中不含x2的项，则m的值是() A.0 B.2 C.-2 D.±2 20.若-6x3(x2+ax+1的计算结果中不含x4项，则a=() A.-6 B.0 c.d D.-1 计算多项式乘多项式 21.若x+3)(x+n=x2+x-15,则m的值为() A.2 B.-2 C.8 D.-8 22.设M是五次多项式，N是六次多项式，下列说法正确的是() A.M+N是五次整式 B.M+N是六次整式 C.M·N是五次整式 D.M.N是六次整式 23.下列各式中不能表示图中阴影部分面积的是() 3 不 A.3x+2+x2 B.x2+5x C.（x+3)(x+2)-2x D.xx+3+6 24.下列计算中，正确的是（) A.(-2025)°=0B.(a+1)(a-2)=a2-a-2 C.(-x'y)'=-x"y D.x0÷x=x2 25.下列多项式相乘结果为a2-3a-18的是() A.a-2ja+9B.(a+2(a-9）C.(a+3)(a-6)D.(a-3)(a+6) 化简求值 26.先化简，再求值：(x+1)(x-2+x2-3x÷x,其中x=-2. 27.先化简，再求值：（x+2y)(x-3y)-x(x+y),其中x=1,y=-2 28.先化简，再求值：（2x+y)(x-y)+2xy+x2y2)÷x2,其中x=2,y= 2 29.先化简，再求值：己知2x2+2x-3=0,求(x+2)(3x-1)-2x(x+2)的值. 30.先化简，再求值：求(2-a)(3+2a+a2a-3),其中a=3. 整式乘法混合运算 31.计算： (1)a2.a+2a3÷a (2(x-3y)(xy2） 32.计算：（x-1(3x+1)-2x(x+3). 33.计算： (1)-2x2y°+-x3)2(-y2y (2)(2a-5b)(3a2-2ab+b2 (3)(x+2y)(y-2)+(2y-4x)(y+1) 34.计算： (1)-3y)4x2y-2xy): (2)ta+2)(a+3+2a6÷a4; 35.计算： (1)(x2y3)4+(-x)8.(-2y4)3 (2)(a+3)(a-2)-(a3+a2)÷a 同底数幂的除法运算 36.计算： ()(x2y）+(-x(-2y)月 (2)(a+3)(a-2)-(a3+a2）÷a 37.计算： -a23-a÷a3. (2)2xx2-xy)-3x2(2x-4y). 38.计算：-3°÷(-3)2÷(-3) 39.计算： ()m2m4+(m2）3+-2m3}2; (2)2x2(x+1-x3÷x2. 40.计算(x-y)4.(y-x)3÷(y-x)2