专题16.2整式的乘法（知识点总结+9大题型 同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

16.2整式的乘法 【题型1】单项式乘单项式的精准运算 1.核心知识点总结 法则：将系数相乘、同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加），仅在一个单项式中含有的字母，连同其指数作为积的因式。 推广：三个及以上单项式相乘，法则依然适用；含科学记数法的运算，先算系数（幂的运算），再合并10的指数。 2.高频考点梳理 基础运算：含符号、负系数的单项式相乘。 综合运算：结合积的乘方、幂的乘方的混合运算（如）。 科学记数法：两个用科学记数法表示的数相乘（如）。 3.易错点警示 漏乘单独出现的字母（如遗漏）。 系数符号出错：多个负系数相乘时，未按“奇负偶正”判断符号。 同底数幂指数计算错误：混淆“相加”与“相乘”（如误算为）。 4.解题技巧拆解 步骤：先定符号→再算系数相乘→接着算同底数幂相乘→最后补全单独字母及指数。 科学记数法运算：，结果需符合科学记数法规范（）。 【例题1】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·北京·期中）计算： ． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·北京·期中）计算： 【变式题1-4】．（25-26八年级上·北京·期中）计算： ． 【题型2】单项式乘多项式的分步展开与合并 1.核心知识点总结 法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再将所得的积相加，本质是转化为单项式乘单项式（符号语言：）。 关键：有同类项时必须合并，结果按某一字母升幂或降幂排列。 2.高频考点梳理 基础展开：不含同类项的直接展开。 含混合运算：结合积的乘方的展开（如）。 补全缺项：已知展开式部分项，求被墨水遮挡的项（如的缺项）。 3.易错点警示 漏乘多项式的常数项（如漏乘，仅算）。 符号错误：多项式中含负项时，未正确变号（如误算为）。 未合并同类项：展开后同类项未化简，导致结果不规范。 4.解题技巧拆解 步骤：标记多项式各项符号→单项式逐次乘每一项→标注每步积的符号→合并同类项。 检验：用“分配律逆运算”验证，确保每一项均乘到单项式。 【例题2】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【变式题2-2】．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式题2-4】．（25-26八年级上·北京·期中）计算：． 【题型3】多项式乘多项式的有序运算 1.核心知识点总结 法则：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将积相加（符号语言：）。 特殊模型：（二次项系数为1，一次项系数为，常数项为)。 2.高频考点梳理 基础运算：一次多项式相乘。 特殊模型应用：快速计算型(如)。 含平方差、完全平方的雏形运算(如展开)。 3.易错点警示 漏乘项：未做到“不重不漏”(如误算为，漏乘)。 符号错误：多项式含负项时，相乘后未变号(如漏算)。 同类项未合并：展开后未化简(如未合并)。 4.解题技巧拆解 步骤：按“先首项→再交叉项→最后尾项”的顺序相乘(十字相乘法雏形)→合并同类项。 特殊模型速算：牢记的系数规律，直接代入、的值写结果。 【例题3】．（25-26八年级上·广东广州·期中）计算： (1) (2) 【变式题3-2】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）计算 (1)； (2)； 【变式题3-3】．（25-26八年级上·北京·期中）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ． 【变式题3-4】．（25-26七年级上·上海·阶段练习）如果，那么、的值是（　　） A． B． C． D． 【题型4】同底数幂的除法运算 1.核心知识点总结 模块 具体内容 文字语言 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 符号语言 （其中，、都是正整数，且） 推导过程 1.依据同底数幂的乘法性质：若两个同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（，、为正整数）； 2.设，，则，因此； 3.根据“乘法与除法的互逆关系”(若，则，)，可得。 核心解读 1.底数限制：是前提——若，则，除法中除数不能为0，故无意义； 2.指数条件：且均为正整数——保证结果指数为正整数，后续学习会扩展到负整数指数幂； 3.法则推广：可推广到3个及以上同底数幂相除，如(，，、、为正整数)； 4.法则逆用：(，，、为正整数)，可用于已知、求。 2.高频考点梳理 基础运算：直接应用法则。 底数变形：将不同底数转化为相同底数(如转化为)。 指数为多项式：指数相加减时加括号(如)。 3.易错点警示 底数为0：忽略“”的前提(如无意义)。 指数计算错误：多项式指数相减时漏括号(如误算为)。 底数变形遗漏符号：如误算为，正确应为。 混淆乘除法则：将除法指数“相减”误为“相加”。 4.解题技巧拆解 底数统一：遇到与型，利用(为偶数)转化。 步骤：先判断底数是否相同→统一底数→按法则计算指数→化简结果。 【例题4】．（25-26八年级上·北京·期中） ． 【变式题4-2】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【变式题4-3】．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）计算： ． 【变式题4-4】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若，，则 ． 【题型5】零指数幂的条件限定与求值 1.核心知识点总结 模块 具体内容 文字语言 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 符号语言 （其中，为任意非零实数） 推导过程 1.基于同底数幂除法的已有性质： 已知同底数幂除法法则：（，、为正整数，且）； 当时，我们假设该法则仍能适用(需验证合理性)，则； 2.结合除法的基本意义： 对于任意非零数，相同的两个数相除，结果为1(如，，)，因此()； 3.统一结果，定义零指数幂： 由步骤1和步骤2可知，与1都等于()，为保证运算一致性，需定义：()。 核心解读 1.底数限制的本质：是不可省略的前提——若，则(为正整数)，而除法中“除数不能为0”，因此无意义，故不存在(无意义)； 2.与同底数幂除法的关联：零指数幂是同底数幂除法法则在“”时的延伸，并非独立定义，体现了数学知识的连贯性； 3.结果的唯一性：无论非零数是正数、负数(如)还是分数(如)，其0次幂结果均为1，仅与“底数非零”有关，与底数的具体数值无关。 2.高频考点梳理 求参数取值范围：已知，求的取值。 结合其他运算：零指数幂与整式乘除的混合(如)。 特殊值计算：直接计算零指数幂(如、)。 3.易错点警示 忽略底数不为0：误将代入计算(如无意义)。 混淆零指数幂与负指数幂：误将算为0或。 复杂底数判断错误：未化简底数就判断(如未考虑)。 4.解题技巧拆解 步骤：遇到零指数幂→先列“底数≠0”的不等式→求解参数范围或判断是否有意义→计算结果。 关键：先化简底数表达式(如先化简为，再令)。 【例题5】．（25-26八年级上·青海西宁·期中） 【变式题5-2】．（25-26八年级上·北京·期中） ． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的取值范围为 ． 【变式题5-4】．（25-26七年级上·上海·期中）若，则所满足的条件是 ． 【题型6】整式乘法中的“不含某项”问题(提升) 1.核心知识点总结 本质：多项式相乘展开后，某一项的系数为0(因不含该次项，系数必须为0)。 关键：先按法则展开→合并同类项→令目标项系数为0→列方程求解参数。 2.高频考点梳理 不含一次项/二次项：如不含的一次项和二次项，求、。 与字母取值无关：如的值与无关，求、。 含多层运算的不含项：结合积的乘方、单项式乘多项式的混合不含项问题。 3.易错点警示 展开不完整：未全部展开就合并同类项，导致系数判断错误。 漏项系数：合并同类项时遗漏某一项，导致目标项系数计算错误。 符号错误：多项式含负项时，展开后系数符号出错(如误算为)。 4.解题技巧拆解 步骤：全量展开所有项→按字母降幂排列→合并同类项→找出目标项的系数→令系数=0→解方程(组)。 检验：将求得的参数代入原式，展开后验证目标项是否存在。 【例题6】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知关于的整式与的乘积中不含的一次项，则的值为 ． 【变式题6-2】．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）展开后不含项，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式题6-3】．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知展开后，不含和的项，求． 【变式题6-4】．（20-21七年级下·广西桂林·阶段练习）已知多项式与的乘积中不含项，求常数b的值． 【题型7】整式化简求值的整体代入技巧(提升) 1.核心知识点总结 基础：先化简整式(去括号、合并同类项)，再代入求值。 整体代入：当直接代入复杂时，将已知条件视为一个“整体”，代入化简后的整式(如已知，求含的整式值)。 2.高频考点梳理 直接代入：化简后代入具体数值(如时，求的值)。 整体代入：已知，，求。 条件变形代入：已知，求化简后含的整式值。 3.易错点警示 先代入后化简：导致计算量过大，易出错(如直接代入到未化简的整式)。 整体代入时符号错误：如已知，误将算为7。 同类项未合并彻底：化简不完整，代入后结果错误。 4.解题技巧拆解 步骤：先化简整式至最简形式→分析已知条件与最简式的关联→将已知条件整体代入→计算结果。 变形技巧：将已知条件乘除、乘方变形(如)，匹配最简式中的项。 【例题7】．（25-26七年级上·上海·期中）若，求的值是 ． 【变式题7-2】．（20-21七年级下·河北石家庄·期末）若，，则 ． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）若，，则的值为 ． 【变式题7-4】．（25-26八年级上·北京·期中）若，，则 ． 【题型8】多项式乘法与几何图形面积互译(提升) 1.核心知识点总结 数形结合：用几何图形的面积表示整式乘法(如大长方形面积=多个小长方形/正方形面积之和)。 互译方向：图形→整式(用面积表示运算)、整式→图形(用运算解释图形面积)。 2.高频考点梳理 图形转整式：如边长为的正方形，用面积表示。 整式转图形：如验证，画出对应图形。 实际应用：长方形硬纸片剪去小正方形折成无盖盒子，求表面积(如长、宽的纸片剪去边长的正方形)。 3.易错点警示 图形边长标注错误：导致面积表达式错误(如混淆长方形的长和宽)。 漏算/多算图形面积：如剪去4个小正方形时，误算为1个或2个。 整式与图形对应错误：如将对应到错误的图形分割方式。 4.解题技巧拆解 图形转整式：先确定整体图形的边长→写出整体面积表达式→分割图形→写出各部分面积和→建立等式。 整式转图形：按整式的项数分割图形(如二次三项式对应“1个大正方形+2个小长方形”)→标注各部分边长→验证面积和与整式是否一致。 【例题8】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，某体育训练基地有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余部分全部修建成休息区（结果需要化简）． (1)求休息区的面积； (2)休息区比游泳池的面积大多少平方米？ 【变式题8-2】．（25-26八年级上·北京·期中）在下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段练习）【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 【理解应用】 (1)仿照上面的竖式运算方法计算：； (2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； (3)如图，一个长为，宽为的长方形A，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （i）求a（用含x的代数式表示）； （ii）长方形B的面积和另一个一边长为的长方形C的面积相等，求长方形C已知边长的邻边长． 【变式题8-4】．（12-13七年级上·四川遂宁·期中）正方形和正方形的边长分别为，用含的代数式表示阴影部分的面积 ；（要化简哟） 【题型9】整式乘法中的规律探究与逆用(培优) 1.核心知识点总结 规律探究：从特殊到一般，总结、等展开式的系数、项数规律。 逆用：已知展开式，反推原多项式的常数项(如已知，求整数的可能值)。 2.高频考点梳理 系数规律：探究、的展开式系数规律。 逆用求参数：如，求、的值。 杨辉三角应用：结合杨辉三角求的展开式系数之和。 3.易错点警示 规律归纳不完整：仅从1-2个例子得出结论，忽略特殊情况(如的符号规律)。 逆用时分情况不全：如中，的整数对漏算负整数对。 混淆不同规律：将的规律与的规律混淆。 4.解题技巧拆解 规律探究：多列举3-5个特殊例子→按“二次项系数→一次项系数→常数项”分类总结→验证规律的通用性。 逆用求解：先分解常数项(如)→按规律列所有可能的一次项系数→得出参数的所有值。 【例题9】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应的系数，根据数表中前四行的数字所反映的规律计算： ． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段练习）请同学们仔细观察下列各式： ； ； ； …… 根据上面各式的规律，请计算 （结果保留幂的形式）． 【变式题9-3】．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料：如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． (1)应用规律：①直接写出的展开式，___________； ②先化简，再求值：，其中． (2)杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即 若，且，则的值为___________（用表示）． 【变式题9-4】．（25-26七年级上·北京·期中）多边形数是一类有趣的图形数，它们表示可以在平面上用点排成某种正多边形形状的整数．对于一个正边形，其第个多边形数，记作 多边形类型 名称 数值 三角形数 1，3，6，10，15，… 正方形数 1，4，9，16，25，… 五边形数 1，5，12，22，35，… 以下给出多边形数的生成过程．对于一个边形数，当时，，即第一个边形数一定是1．第个边形数由第个边形数生成：首先，基于第个边形的两条相邻的边，每条边新增一个格点，使得这两条边各有个格点；然后，再补齐其他的边，使得最外层的每条边有个格点；最后，计算总格点数． 三角形数生成过程 四边形数生成过程    五边形数生成过程    以五边形数为例，当，最外层的每条边有2个格点，；当时，将时的五边形的右下两条相邻的边各增加一个格点，保证这两条边中每条边有3个格点；然后，再补上其他三条边，保证每条边有3个格点；最后，整个图形有12个格点（实心格点数和空心格点数之和），即．为了能够更好的理解的计算方法，我们在上表中也给了的三角形数和的四边形数的图形生成和计算过程． (1)请直接写出第6个五边形数的值：__________． (2)小明通过总结规律发现： 第个三边形数可以通过以下公式计算：； 第个四边形数可以通过以下公式计算：； 请你通过观察小明总结的规律，总结第个五边形数的计算公式： __________．（提示：总结完公式后，代入到原题例子中验证一下是否正确．） 猜想，对于第个边形数，其计算公式为：__________． (3)若的余式为，其中，，为常数，请直接写出，，的值：__________；__________；__________． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，，则的值是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）若，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）若代数式展开后不含项，求的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D． 5．（江苏省南通市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）若的展开式中不含项，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 二、填空题 6．（25-26八年级上·北京西城·期中）若有意义，则实数的取值范围是 ． 7．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，的值是 ． 8．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算： ． 9．（25-26七年级上·上海虹口·期中）计算： ． 10．（25-26八年级上·福建福州·期中）若，则k的值为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·北京西城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 12．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 13．（25-26七年级上·浙江·期中）计算：如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若，求的值． 14．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 15．（25-26八年级上·福建福州·期中）我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如图所示． (1)观察图中的规律，填空：“★”表示的数是________，________； (2)计算：． (3)此规律还可以解决实际问题：今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过天是星期几？直接写出答案． 16．（25-26八年级上·福建福州·期中）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得． (1)由图3可以解释的等式是_____； (2)用9张边长为的正方形纸片，12张长为、宽为的长方形纸片，4张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长； (3)用5张长为，宽为的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为、．通过观察可以发现，的长度固定不变，的长度会发生改变．若无论取何值，的结果始终保持不变，求准备的长方形纸片的宽与长需要满足的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2整式的乘法 【题型1】单项式乘单项式的精准运算 1.核心知识点总结 法则：将系数相乘、同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加），仅在一个单项式中含有的字母，连同其指数作为积的因式。 推广：三个及以上单项式相乘，法则依然适用；含科学记数法的运算，先算系数（幂的运算），再合并10的指数。 2.高频考点梳理 基础运算：含符号、负系数的单项式相乘。 综合运算：结合积的乘方、幂的乘方的混合运算（如）。 科学记数法：两个用科学记数法表示的数相乘（如）。 3.易错点警示 漏乘单独出现的字母（如遗漏）。 系数符号出错：多个负系数相乘时，未按“奇负偶正”判断符号。 同底数幂指数计算错误：混淆“相加”与“相乘”（如误算为）。 4.解题技巧拆解 步骤：先定符号→再算系数相乘→接着算同底数幂相乘→最后补全单独字母及指数。 科学记数法运算：，结果需符合科学记数法规范（）。 【例题1】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查整式的乘法运算，涉及积的乘方和单项式乘以单项式．先计算积的乘方运算，再进行乘法运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·北京·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的乘法法则，根据单项式乘法的运算法则，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加，计算即可． 【详解】解：原式 = = = = ， 故答案为 ． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·北京·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 【变式题1-4】．（25-26八年级上·北京·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，熟记单项式乘以单项式的运算法则是解决问题的关键． 由单项式乘以单项式的运算法则，再根据同底数幂的乘法运算，底数不变，指数相加求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型2】单项式乘多项式的分步展开与合并 1.核心知识点总结 法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再将所得的积相加，本质是转化为单项式乘单项式（符号语言：）。 关键：有同类项时必须合并，结果按某一字母升幂或降幂排列。 2.高频考点梳理 基础展开：不含同类项的直接展开。 含混合运算：结合积的乘方的展开（如）。 补全缺项：已知展开式部分项，求被墨水遮挡的项（如的缺项）。 3.易错点警示 漏乘多项式的常数项（如漏乘，仅算）。 符号错误：多项式中含负项时，未正确变号（如误算为）。 未合并同类项：展开后同类项未化简，导致结果不规范。 4.解题技巧拆解 步骤：标记多项式各项符号→单项式逐次乘每一项→标注每步积的符号→合并同类项。 检验：用“分配律逆运算”验证，确保每一项均乘到单项式。 【例题2】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，解决此题的关键是要注意符号的正确性；运用分配律将单项式乘以多项式计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为： ． 【变式题2-2】．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据单项式与多项式相乘的法则，用单项式分别乘多项式的每一项，再将所得的积相加． 【详解】解：原式 ． 故答案为 ． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，将代入计算求值即可． 【详解】解：， ， 当时，原式． 【变式题2-4】．（25-26八年级上·北京·期中）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题关键是正确运用单项式乘多项式法则展开式子．先利用单项式乘多项式法则展开即可． 【详解】 ． 【题型3】多项式乘多项式的有序运算 1.核心知识点总结 法则：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将积相加（符号语言：）。 特殊模型：（二次项系数为1，一次项系数为，常数项为)。 2.高频考点梳理 基础运算：一次多项式相乘。 特殊模型应用：快速计算型(如)。 含平方差、完全平方的雏形运算(如展开)。 3.易错点警示 漏乘项：未做到“不重不漏”(如误算为，漏乘)。 符号错误：多项式含负项时，相乘后未变号(如漏算)。 同类项未合并：展开后未化简(如未合并)。 4.解题技巧拆解 步骤：按“先首项→再交叉项→最后尾项”的顺序相乘(十字相乘法雏形)→合并同类项。 特殊模型速算：牢记的系数规律，直接代入、的值写结果。 【例题3】．（25-26八年级上·广东广州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先算积的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项即可； （2）直接根据多项式乘以多项式运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）计算 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，掌握同底数幂的运算和多项式与多项式的乘积运算法则是解题的关键． （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算求解即可； （2）将多项式乘多项式展开计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·北京·期中）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ． 【答案】7 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． 设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】设，则 ， 结果中的一次项系数为 ， 由题意得 ， 解得． 故答案为 7． 【变式题3-4】．（25-26七年级上·上海·阶段练习）如果，那么、的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法的展开和系数比较，是基础题． 通过展开右侧的因式形式，比较多项式系数，即可得出和的值． 【详解】解：， ∵， ∴ ， 比较系数得：，． 故选：B． 【题型4】同底数幂的除法运算 1.核心知识点总结 模块 具体内容 文字语言 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 符号语言 （其中，、都是正整数，且） 推导过程 1.依据同底数幂的乘法性质：若两个同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（，、为正整数）； 2.设，，则，因此； 3.根据“乘法与除法的互逆关系”(若，则，)，可得。 核心解读 1.底数限制：是前提——若，则，除法中除数不能为0，故无意义； 2.指数条件：且均为正整数——保证结果指数为正整数，后续学习会扩展到负整数指数幂； 3.法则推广：可推广到3个及以上同底数幂相除，如(，，、、为正整数)； 4.法则逆用：(，，、为正整数)，可用于已知、求。 2.高频考点梳理 基础运算：直接应用法则。 底数变形：将不同底数转化为相同底数(如转化为)。 指数为多项式：指数相加减时加括号(如)。 3.易错点警示 底数为0：忽略“”的前提(如无意义)。 指数计算错误：多项式指数相减时漏括号(如误算为)。 底数变形遗漏符号：如误算为，正确应为。 混淆乘除法则：将除法指数“相减”误为“相加”。 4.解题技巧拆解 底数统一：遇到与型，利用(为偶数)转化。 步骤：先判断底数是否相同→统一底数→按法则计算指数→化简结果。 【例题4】．（25-26八年级上·北京·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算规则．先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式题4-2】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法法则，正确运用同底数幂的除法法则是解答本题的关键． 根据同底数幂的除法法则，系数相除，同底数幂相除时指数相减． 【详解】 = = = = = ． 故答案为：． 【变式题4-3】．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，先计算乘方，再计算同底数幂的除法． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式题4-4】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查同底数幂除法，利用同底数幂的除法法则，将转化为，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：3． 【题型5】零指数幂的条件限定与求值 1.核心知识点总结 模块 具体内容 文字语言 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 符号语言 （其中，为任意非零实数） 推导过程 1.基于同底数幂除法的已有性质： 已知同底数幂除法法则：（，、为正整数，且）； 当时，我们假设该法则仍能适用(需验证合理性)，则； 2.结合除法的基本意义： 对于任意非零数，相同的两个数相除，结果为1(如，，)，因此()； 3.统一结果，定义零指数幂： 由步骤1和步骤2可知，与1都等于()，为保证运算一致性，需定义：()。 核心解读 1.底数限制的本质：是不可省略的前提——若，则(为正整数)，而除法中“除数不能为0”，因此无意义，故不存在(无意义)； 2.与同底数幂除法的关联：零指数幂是同底数幂除法法则在“”时的延伸，并非独立定义，体现了数学知识的连贯性； 3.结果的唯一性：无论非零数是正数、负数(如)还是分数(如)，其0次幂结果均为1，仅与“底数非零”有关，与底数的具体数值无关。 2.高频考点梳理 求参数取值范围：已知，求的取值。 结合其他运算：零指数幂与整式乘除的混合(如)。 特殊值计算：直接计算零指数幂(如、)。 3.易错点警示 忽略底数不为0：误将代入计算(如无意义)。 混淆零指数幂与负指数幂：误将算为0或。 复杂底数判断错误：未化简底数就判断(如未考虑)。 4.解题技巧拆解 步骤：遇到零指数幂→先列“底数≠0”的不等式→求解参数范围或判断是否有意义→计算结果。 关键：先化简底数表达式(如先化简为，再令)。 【例题5】．（25-26八年级上·青海西宁·期中） 【答案】1 【分析】此题考查了零指数幂，根据零指数幂的性质，任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】． 故答案为：1． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·北京·期中） ． 【答案】 1 【分析】本题考查零指数幂，根据任何非零数的零指数幂都等于1解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了零次幂的意义，熟练掌握零次幂的意义是解答本题的关键，非零数的零次幂等于1，零的零次幂没有意义． 根据底数不为0列式求解即可． 【详解】∵， ∴， 即． 故答案为：． 【变式题5-4】．（25-26七年级上·上海·期中）若，则所满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂的意义，熟练掌握零指数幂的意义是解答本题的关键，非零数的零指数幂等于1，零的零指数幂没有意义． 根据求解即可． 【详解】解：由题意， 成立的条件是底数 ． 解得 ． 故答案为：． 【题型6】整式乘法中的“不含某项”问题(提升) 1.核心知识点总结 本质：多项式相乘展开后，某一项的系数为0(因不含该次项，系数必须为0)。 关键：先按法则展开→合并同类项→令目标项系数为0→列方程求解参数。 2.高频考点梳理 不含一次项/二次项：如不含的一次项和二次项，求、。 与字母取值无关：如的值与无关，求、。 含多层运算的不含项：结合积的乘方、单项式乘多项式的混合不含项问题。 3.易错点警示 展开不完整：未全部展开就合并同类项，导致系数判断错误。 漏项系数：合并同类项时遗漏某一项，导致目标项系数计算错误。 符号错误：多项式含负项时，展开后系数符号出错(如误算为)。 4.解题技巧拆解 步骤：全量展开所有项→按字母降幂排列→合并同类项→找出目标项的系数→令系数=0→解方程(组)。 检验：将求得的参数代入原式，展开后验证目标项是否存在。 【例题6】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知关于的整式与的乘积中不含的一次项，则的值为 ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据关于x的代数式与的乘积中不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：9． 【变式题6-2】．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）展开后不含项，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式乘多项式，注意观察哪些项相乘所得的结果含一次项，此题展开后必须先合并同类项，否则容易误解为．展开多项式合并同类项后，令项的系数为零，可得出关于的方程，解方程求． 【详解】解： ， 展开后不含项， ， 解得， 故选：C． 【变式题6-3】．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知展开后，不含和的项，求． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简和项无关，解决此题的关键是正确的计算；先把整式运用多项式乘多项式的法则化简，再合并同类项，根据项无关的概念得到m的值，进而得到答案即可； 【详解】解：， ， ， ， ∵式子不含和的项， ∴，， ∴，， ∴． 【变式题6-4】．（20-21七年级下·广西桂林·阶段练习）已知多项式与的乘积中不含项，求常数b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项， ∴， 解得：． 【题型7】整式化简求值的整体代入技巧(提升) 1.核心知识点总结 基础：先化简整式(去括号、合并同类项)，再代入求值。 整体代入：当直接代入复杂时，将已知条件视为一个“整体”，代入化简后的整式(如已知，求含的整式值)。 2.高频考点梳理 直接代入：化简后代入具体数值(如时，求的值)。 整体代入：已知，，求。 条件变形代入：已知，求化简后含的整式值。 3.易错点警示 先代入后化简：导致计算量过大，易出错(如直接代入到未化简的整式)。 整体代入时符号错误：如已知，误将算为7。 同类项未合并彻底：化简不完整，代入后结果错误。 4.解题技巧拆解 步骤：先化简整式至最简形式→分析已知条件与最简式的关联→将已知条件整体代入→计算结果。 变形技巧：将已知条件乘除、乘方变形(如)，匹配最简式中的项。 【例题7】．（25-26七年级上·上海·期中）若，求的值是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，求代数式的值等知识﹒根据得到，计算得到变形为整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∴﹒ 故答案为：20 【变式题7-2】．（20-21七年级下·河北石家庄·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，幂的乘方的逆用，同底数幂相除，根据幂的乘方以及同底数幂相除的运算法则将所求式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂运算的运用．先利用幂的乘方法则求出的值，再根据同底数幂的除法法则计算的值． 【详解】解：，， 【变式题7-4】．（25-26八年级上·北京·期中）若，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了多项式乘多项式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．将原式展开，将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：若，， 则， 故答案为：． 【题型8】多项式乘法与几何图形面积互译(提升) 1.核心知识点总结 数形结合：用几何图形的面积表示整式乘法(如大长方形面积=多个小长方形/正方形面积之和)。 互译方向：图形→整式(用面积表示运算)、整式→图形(用运算解释图形面积)。 2.高频考点梳理 图形转整式：如边长为的正方形，用面积表示。 整式转图形：如验证，画出对应图形。 实际应用：长方形硬纸片剪去小正方形折成无盖盒子，求表面积(如长、宽的纸片剪去边长的正方形)。 3.易错点警示 图形边长标注错误：导致面积表达式错误(如混淆长方形的长和宽)。 漏算/多算图形面积：如剪去4个小正方形时，误算为1个或2个。 整式与图形对应错误：如将对应到错误的图形分割方式。 4.解题技巧拆解 图形转整式：先确定整体图形的边长→写出整体面积表达式→分割图形→写出各部分面积和→建立等式。 整式转图形：按整式的项数分割图形(如二次三项式对应“1个大正方形+2个小长方形”)→标注各部分边长→验证面积和与整式是否一致。 【例题8】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，某体育训练基地有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余部分全部修建成休息区（结果需要化简）． (1)求休息区的面积； (2)休息区比游泳池的面积大多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式混合运算的应用等知识． （1）用长方形空地面积减去游泳池的面积，列式计算即可求解； （2）用休息区面积减去游泳池的面积，列式计算即可求解． 【详解】（1）解： ． 答：休息区的面积为平方米； （2）解： ． 答：休息区比游泳池的面积大平方米． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·北京·期中）在下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘法与图形面积．根据题意列式表示出该阴影部分的面积． 【详解】解：图中阴影部分面积为：或， 故选：A． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段练习）【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 【理解应用】 (1)仿照上面的竖式运算方法计算：； (2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； (3)如图，一个长为，宽为的长方形A，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （i）求a（用含x的代数式表示）； （ii）长方形B的面积和另一个一边长为的长方形C的面积相等，求长方形C已知边长的邻边长． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查多项式乘以多项式与图形面积问题，熟练掌握竖式计算，是解题的关键： （1）根据多项式与多项式的乘法竖式的运算方法计算即可求解； （2）根据多项式与多项式的减法竖式的运算方法计算即可求解； （3）（i）根据长方形的周长公式，求出即可， （ii）再求出面积，然后分解多项式即可． 【详解】（1）解：， ∴； （2） ∴； （3）解：（i）长方形的周长是长方形周长的倍， ， 解得：， （ii）长方形的面积为：， ∴长方形C已知边长的邻边长为． 【变式题8-4】．（12-13七年级上·四川遂宁·期中）正方形和正方形的边长分别为，用含的代数式表示阴影部分的面积 ；（要化简哟） 【答案】 【分析】本题考查整式加减的应用，单项式乘多项式．阴影部分的面积等于两个正方形面积之和减去和的面积，由此列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型9】整式乘法中的规律探究与逆用(培优) 1.核心知识点总结 规律探究：从特殊到一般，总结、等展开式的系数、项数规律。 逆用：已知展开式，反推原多项式的常数项(如已知，求整数的可能值)。 2.高频考点梳理 系数规律：探究、的展开式系数规律。 逆用求参数：如，求、的值。 杨辉三角应用：结合杨辉三角求的展开式系数之和。 3.易错点警示 规律归纳不完整：仅从1-2个例子得出结论，忽略特殊情况(如的符号规律)。 逆用时分情况不全：如中，的整数对漏算负整数对。 混淆不同规律：将的规律与的规律混淆。 4.解题技巧拆解 规律探究：多列举3-5个特殊例子→按“二次项系数→一次项系数→常数项”分类总结→验证规律的通用性。 逆用求解：先分解常数项(如)→按规律列所有可能的一次项系数→得出参数的所有值。 【例题9】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应的系数，根据数表中前四行的数字所反映的规律计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算规律的探究，以及“杨辉三角”的认识，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式逆用“杨辉三角”系数规律变形，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段练习）请同学们仔细观察下列各式： ； ； ； …… 根据上面各式的规律，请计算 （结果保留幂的形式）． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，由题意可得，再将所求式子进行变形，计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得， ∴， 故答案为：． 【变式题9-3】．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料：如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． (1)应用规律：①直接写出的展开式，___________； ②先化简，再求值：，其中． (2)杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即 若，且，则的值为___________（用表示）． 【答案】(1)①，②， (2) 【分析】本题考查了整式乘法的应用、有理数的乘方，理解题意弄清展开式各项系数的规律是解题的关键． （1）①先根据杨辉三角得出的展开式的系数，可得展开式；②先展开，再合并，最后代入求值即可． （2）根据，可得，结合，可得，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意，的展开式有五项，系数分别为1，4，6，4，1， ． ② ， ∵， 原式 ． （2）解：∵，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【变式题9-4】．（25-26七年级上·北京·期中）多边形数是一类有趣的图形数，它们表示可以在平面上用点排成某种正多边形形状的整数．对于一个正边形，其第个多边形数，记作 多边形类型 名称 数值 三角形数 1，3，6，10，15，… 正方形数 1，4，9，16，25，… 五边形数 1，5，12，22，35，… 以下给出多边形数的生成过程．对于一个边形数，当时，，即第一个边形数一定是1．第个边形数由第个边形数生成：首先，基于第个边形的两条相邻的边，每条边新增一个格点，使得这两条边各有个格点；然后，再补齐其他的边，使得最外层的每条边有个格点；最后，计算总格点数． 三角形数生成过程 四边形数生成过程    五边形数生成过程    以五边形数为例，当，最外层的每条边有2个格点，；当时，将时的五边形的右下两条相邻的边各增加一个格点，保证这两条边中每条边有3个格点；然后，再补上其他三条边，保证每条边有3个格点；最后，整个图形有12个格点（实心格点数和空心格点数之和），即．为了能够更好的理解的计算方法，我们在上表中也给了的三角形数和的四边形数的图形生成和计算过程． (1)请直接写出第6个五边形数的值：__________． (2)小明通过总结规律发现： 第个三边形数可以通过以下公式计算：； 第个四边形数可以通过以下公式计算：； 请你通过观察小明总结的规律，总结第个五边形数的计算公式： __________．（提示：总结完公式后，代入到原题例子中验证一下是否正确．） 猜想，对于第个边形数，其计算公式为：__________． (3)若的余式为，其中，，为常数，请直接写出，，的值：__________；__________；__________． 【答案】(1)51 (2)； (3)0，0，． 【分析】本题考查了图形类规律探索，整式四则混合运算，根据总结规律得到的计算公式是解题的关键． （1）根据题意，当在时的五边形的右下两条相邻的边各增加一个格点，再补上其他三条边，保证每条边有6个格点，进而得到增加的格点数，再加上35即可； （2）根据小明总结的规律即可解答； （3）根据题意可知，，，然后计算出的余式，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，， 当在时的五边形的右下两条相邻的边各增加一个格点，再补上其他三条边，保证每条边有6个格点，整个图形增加了有16个格点， ∴， 故答案为：51． （2）解：由题意可知，； ； 故答案为：；． （3）解：由（2）可知，，，， 那么 的余式为， ， ，． 故答案为：0，0，． 同步练习 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查整式的乘法运算，涉及积的乘方和单项式乘以单项式．先计算积的乘方运算，再进行乘法运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·北京·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的乘法法则，根据单项式乘法的运算法则，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加，计算即可． 【详解】解：原式 = = = = ， 故答案为 ． 3．（25-26八年级上·北京·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 4．（25-26八年级上·北京·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，熟记单项式乘以单项式的运算法则是解决问题的关键． 由单项式乘以单项式的运算法则，再根据同底数幂的乘法运算，底数不变，指数相加求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，解决此题的关键是要注意符号的正确性；运用分配律将单项式乘以多项式计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为： ． 6．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据单项式与多项式相乘的法则，用单项式分别乘多项式的每一项，再将所得的积相加． 【详解】解：原式 ． 故答案为 ． 7．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，将代入计算求值即可． 【详解】解：， ， 当时，原式． 8．（25-26八年级上·北京·期中）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题关键是正确运用单项式乘多项式法则展开式子．先利用单项式乘多项式法则展开即可． 【详解】 ． 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先算积的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项即可； （2）直接根据多项式乘以多项式运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（25-26八年级上·河北唐山·期中）计算 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，掌握同底数幂的运算和多项式与多项式的乘积运算法则是解题的关键． （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算求解即可； （2）将多项式乘多项式展开计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．（25-26八年级上·北京·期中）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ． 【答案】7 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． 设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】设，则 ， 结果中的一次项系数为 ， 由题意得 ， 解得． 故答案为 7． 12．（25-26七年级上·上海·阶段练习）如果，那么、的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法的展开和系数比较，是基础题． 通过展开右侧的因式形式，比较多项式系数，即可得出和的值． 【详解】解：， ∵， ∴ ， 比较系数得：，． 故选：B． 13．（25-26八年级上·北京·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算规则．先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法法则，正确运用同底数幂的除法法则是解答本题的关键． 根据同底数幂的除法法则，系数相除，同底数幂相除时指数相减． 【详解】 = = = = = ． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，先计算乘方，再计算同底数幂的除法． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查同底数幂除法，利用同底数幂的除法法则，将转化为，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：3． 17．（25-26八年级上·青海西宁·期中） 【答案】1 【分析】此题考查了零指数幂，根据零指数幂的性质，任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】． 故答案为：1． 18．（25-26八年级上·北京·期中） ． 【答案】 1 【分析】本题考查零指数幂，根据任何非零数的零指数幂都等于1解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了零次幂的意义，熟练掌握零次幂的意义是解答本题的关键，非零数的零次幂等于1，零的零次幂没有意义． 根据底数不为0列式求解即可． 【详解】∵， ∴， 即． 故答案为：． 20．（25-26七年级上·上海·期中）若，则所满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂的意义，熟练掌握零指数幂的意义是解答本题的关键，非零数的零指数幂等于1，零的零指数幂没有意义． 根据求解即可． 【详解】解：由题意， 成立的条件是底数 ． 解得 ． 故答案为：． 21．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知关于的整式与的乘积中不含的一次项，则的值为 ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据关于x的代数式与的乘积中不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：9． 22．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）展开后不含项，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式乘多项式，注意观察哪些项相乘所得的结果含一次项，此题展开后必须先合并同类项，否则容易误解为．展开多项式合并同类项后，令项的系数为零，可得出关于的方程，解方程求． 【详解】解： ， 展开后不含项， ， 解得， 故选：C． 23．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知展开后，不含和的项，求． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简和项无关，解决此题的关键是正确的计算；先把整式运用多项式乘多项式的法则化简，再合并同类项，根据项无关的概念得到m的值，进而得到答案即可； 【详解】解：， ， ， ， ∵式子不含和的项， ∴，， ∴，， ∴． 24．（20-21七年级下·广西桂林·阶段练习）已知多项式与的乘积中不含项，求常数b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项， ∴， 解得：． 25．（25-26七年级上·上海·期中）若，求的值是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，求代数式的值等知识﹒根据得到，计算得到变形为整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∴﹒ 故答案为：20 26．（20-21七年级下·河北石家庄·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，幂的乘方的逆用，同底数幂相除，根据幂的乘方以及同底数幂相除的运算法则将所求式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 27．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂运算的运用．先利用幂的乘方法则求出的值，再根据同底数幂的除法法则计算的值． 【详解】解：，， 28．（25-26八年级上·北京·期中）若，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了多项式乘多项式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．将原式展开，将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：若，， 则， 故答案为：． 29．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，某体育训练基地有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余部分全部修建成休息区（结果需要化简）． (1)求休息区的面积； (2)休息区比游泳池的面积大多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式混合运算的应用等知识． （1）用长方形空地面积减去游泳池的面积，列式计算即可求解； （2）用休息区面积减去游泳池的面积，列式计算即可求解． 【详解】（1）解： ． 答：休息区的面积为平方米； （2）解： ． 答：休息区比游泳池的面积大平方米． 30．（25-26八年级上·北京·期中）在下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘法与图形面积．根据题意列式表示出该阴影部分的面积． 【详解】解：图中阴影部分面积为：或， 故选：A． 31．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段练习）【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 【理解应用】 (1)仿照上面的竖式运算方法计算：； (2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； (3)如图，一个长为，宽为的长方形A，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （i）求a（用含x的代数式表示）； （ii）长方形B的面积和另一个一边长为的长方形C的面积相等，求长方形C已知边长的邻边长． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查多项式乘以多项式与图形面积问题，熟练掌握竖式计算，是解题的关键： （1）根据多项式与多项式的乘法竖式的运算方法计算即可求解； （2）根据多项式与多项式的减法竖式的运算方法计算即可求解； （3）（i）根据长方形的周长公式，求出即可， （ii）再求出面积，然后分解多项式即可． 【详解】（1）解：， ∴； （2） ∴； （3）解：（i）长方形的周长是长方形周长的倍， ， 解得：， （ii）长方形的面积为：， ∴长方形C已知边长的邻边长为． 32．（12-13七年级上·四川遂宁·期中）正方形和正方形的边长分别为，用含的代数式表示阴影部分的面积 ；（要化简哟） 【答案】 【分析】本题考查整式加减的应用，单项式乘多项式．阴影部分的面积等于两个正方形面积之和减去和的面积，由此列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 33．（25-26七年级上·上海闵行·期中）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应的系数，根据数表中前四行的数字所反映的规律计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算规律的探究，以及“杨辉三角”的认识，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式逆用“杨辉三角”系数规律变形，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 34．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段练习）请同学们仔细观察下列各式： ； ； ； …… 根据上面各式的规律，请计算 （结果保留幂的形式）． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，由题意可得，再将所求式子进行变形，计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得， ∴， 故答案为：． 35．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料：如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． (1)应用规律：①直接写出的展开式，___________； ②先化简，再求值：，其中． (2)杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即 若，且，则的值为___________（用表示）． 【答案】(1)①，②， (2) 【分析】本题考查了整式乘法的应用、有理数的乘方，理解题意弄清展开式各项系数的规律是解题的关键． （1）①先根据杨辉三角得出的展开式的系数，可得展开式；②先展开，再合并，最后代入求值即可． （2）根据，可得，结合，可得，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意，的展开式有五项，系数分别为1，4，6，4，1， ． ② ， ∵， 原式 ． （2）解：∵，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 36．（25-26七年级上·北京·期中）多边形数是一类有趣的图形数，它们表示可以在平面上用点排成某种正多边形形状的整数．对于一个正边形，其第个多边形数，记作 多边形类型 名称 数值 三角形数 1，3，6，10，15，… 正方形数 1，4，9，16，25，… 五边形数 1，5，12，22，35，… 以下给出多边形数的生成过程．对于一个边形数，当时，，即第一个边形数一定是1．第个边形数由第个边形数生成：首先，基于第个边形的两条相邻的边，每条边新增一个格点，使得这两条边各有个格点；然后，再补齐其他的边，使得最外层的每条边有个格点；最后，计算总格点数． 三角形数生成过程 四边形数生成过程    五边形数生成过程    以五边形数为例，当，最外层的每条边有2个格点，；当时，将时的五边形的右下两条相邻的边各增加一个格点，保证这两条边中每条边有3个格点；然后，再补上其他三条边，保证每条边有3个格点；最后，整个图形有12个格点（实心格点数和空心格点数之和），即．为了能够更好的理解的计算方法，我们在上表中也给了的三角形数和的四边形数的图形生成和计算过程． (1)请直接写出第6个五边形数的值：__________． (2)小明通过总结规律发现： 第个三边形数可以通过以下公式计算：； 第个四边形数可以通过以下公式计算：； 请你通过观察小明总结的规律，总结第个五边形数的计算公式： __________．（提示：总结完公式后，代入到原题例子中验证一下是否正确．） 猜想，对于第个边形数，其计算公式为：__________． (3)若的余式为，其中，，为常数，请直接写出，，的值：__________；__________；__________． 【答案】(1)51 (2)； (3)0，0，． 【分析】本题考查了图形类规律探索，整式四则混合运算，根据总结规律得到的计算公式是解题的关键． （1）根据题意，当在时的五边形的右下两条相邻的边各增加一个格点，再补上其他三条边，保证每条边有6个格点，进而得到增加的格点数，再加上35即可； （2）根据小明总结的规律即可解答； （3）根据题意可知，，，然后计算出的余式，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，， 当在时的五边形的右下两条相邻的边各增加一个格点，再补上其他三条边，保证每条边有6个格点，整个图形增加了有16个格点， ∴， 故答案为：51． （2）解：由题意可知，； ； 故答案为：；． （3）解：由（2）可知，，，， 那么 的余式为， ， ，． 故答案为：0，0，． 学科网（北京）股份有限公司 $