精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

哈九中2024级高二上学期期中考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的方程为，则其倾斜角为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，直线斜率为，且， 由题意得斜率，由斜率的几何意义得， 解得，选项C正确. 故选：C 2. 直线，无论取何值，该直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将方程变形，解方程组即可得定点. 【详解】，即， 当时，解得， 故该直线过定点， 故选：B 3. 已知直线：与：，若与互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行满足的系数关系可得，即可利用平行线间距离公式求解. 【详解】若与互相平行，则需满足，解得， 故直线：与：， 故两直线间距离为， 故选：C 4. 过点作圆：的切线，则的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，按直线的斜率是否存在分类，利用点到直线距离公式列式求解. 【详解】圆：的圆心，半径， 点到直线的距离为，则直线的方程可为； 当的斜率存在时，设的方程为，由直线与圆相切，得， 解得，则的方程为，即， 所以直线的方程为或. 故选：B 5. 2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，，解得，，得到离心率. 详解】根据题意：，，解得，， 故离心率. 故选：D 6. 已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求斜率，即可列等量关系化简求解即可. 【详解】设动点， 由于，，根据直线与的斜率之积为． 整理得，化简得：． 故选：B 7. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 点到直线的距离为． 点到直线的距离， 点到直线的距离为， 所以， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是2. 故选：B 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，得，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理列方程可得答案. 【详解】 设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中由勾股定理得，解得 所以，， 在中由勾股定理得，从而可得. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 方程表示的曲线为，下列正确的命题是（ ） A. 曲线可以是圆 B. 若，则曲线为椭圆 C. 曲线可以表示抛物线 D. 若曲线为双曲线，则或 【答案】AD 【解析】 【分析】根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断． 【详解】对于A，若曲线是圆，则，解得，A正确； 对于B，由选项A知，当时，曲线是圆，不是椭圆，B错误； 对于C，曲线有两条对称轴，不可能为抛物线，C错误； 对于D，若曲线为双曲线，则，解得或，D正确. 故选：AD 10. 已知圆与圆交于两点，则（ ） A. 圆与圆有两条公切线 B. 直线的方程为 C. D. 线段的垂直平分线的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，进而判断圆的位置关系确定切线条数，两圆方程作差求相交弦方程，应用几何法求相交弦长，垂直关系求斜率并应用点斜式求直线方程. 详解】由，则圆心，半径， 由，则圆心，半径， 所以，即，故两圆相交， 所以圆与圆有两条公切线，A对； 两圆作差有，整理得，B对； 由到的距离，则，C错； 由B知，则线段垂直平分线的斜率， 故线段的垂直平分线的方程为，D对. 故选：ABD 11. 双曲线的左、右焦点分别为，下列说法正确的有（ ） A. 若，则双曲线的离心率为 B. 若双曲线的渐近线方程为，则 C. 若双曲线的焦距为为该双曲线上一点，且，则 D. 若点为双曲线上一点，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给的条件，分别计算，判断真假. 【详解】对A：时，，所以，则，故A正确； 对B：由，故B正确； 对C：因为，，所以.又，所以点在双曲线的左支上，由，故C错误； 对D：为双曲线上一点，则，又，所以，所以. 不妨设在第一象限，，（），且， 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与直线互相垂直，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由垂直关系得到，求解即可. 【详解】由直线垂直得到， 解得：， 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过焦半径公式计算出，再把点的坐标代入抛物线即可. 【详解】由抛物线定义可得，又， 所以，则， 所以抛物线的方程为， 因为点在上， 所以，又，则. 故答案为： 14. 已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为2，则的值为___________；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为___________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据的面积的最大值可求得，进而可得知点、为椭圆的左、右焦点，可得出，由此利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由已知条件可得、， 设，因为点为椭圆上一点， 所以，，， 所以的面积，当且仅当时取等号， 所以当的坐标为或时的面积取最大值，最大值为， 由已知可得， 所以椭圆方程为， 所以、分别为椭圆的左､右焦点， 所以，所以 所以 故 所以， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：；． 四、解答题 15. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系后，求出的方向向量与平面的法向量后计算即可得； （2）得到平面的法向量后结合空间向量夹角余弦公式计算即可得. 【小问1详解】 如图所示，建立以为原点的空间直角坐标系， 由侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形， 得， 由是棱的中点，得， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以是平面的一个法向量， 显然，则， 又平面，所以平面， 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量为， 而平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知直线经过点． （1）指出直线斜率为何值时，坐标原点到直线的距离最大？并求出的方程； （2）若与圆相交于两点，，求的一般式方程． 【答案】（1）斜率为3， （2）或. 【解析】 【分析】（1）由时，坐标原点到直线的距离最大，即可求解； （2）由圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再按直线的斜率是否存在分类求解. 【小问1详解】 设， 当时，坐标原点到直线距离最大， 则， 则的方程为， 即 【小问2详解】 圆C：的圆心，半径， 由，得圆心到直线的距离， 当l的斜率不存在时，点到直线的距离为1， 因此l的方程可以为； 当l的斜率存在时，设l的方程为：，即， 于是，解得，l的方程为， 所以直线的一般方程为或. 17. 已知点在抛物线上． （1）求抛物线的方程； （2）直线与抛物线交于两点，求弦长； （3）过点的直线交抛物线于两点，设直线的斜率分别为为坐标原点，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由点在抛物线上代入即可求解； （2）由焦点弦长公式即可求解； （3）设直线方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理及斜率公式即可求解. 【小问1详解】 由点在上， 可得：，即， 所以抛物线方程为：； 【小问2详解】 由方程知，直线过抛物线焦点， 联立消去可得：， 即，则， 所以 【小问3详解】 由已知直线的斜率不为0，又因为过点，故设其方程为，设. 由得，显然， ，， 则， 所以． 18. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为，离心率为． （1）求出椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点． （i）当线段的中点坐标为时，求直线的方程． （ii）若直线分别与轴交于两点，且，试探究此时直线是否恒过一个定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）（i），（ii）过定点. 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标和离心率即可求解； （2）（i）设，代入椭圆方程，由点差法求得斜率即可；（ii）联立方程组结合韦达定理得到，再利用得到，最后分类讨论求解定点即可. 【小问1详解】 由焦点坐标得， 又，得， 所以， 则椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 （i）设， 则和， 两式相减化简可得：， 又，代入可得：， 所以直线的方程为， 即； （ii）①若直线斜率不存在，根据对称性可知为等腰直角三角形， 得到，此时， 则直线，与椭圆方程联立， 解得，故直线过椭圆左焦点，即， ②若直线斜率存在，如图，设， 联立方程组，消去得， 由韦达定理可知， 由已知得，且设， 可以求出直线方程为， 令，得到，， 故，又因为， 故， 代入韦达定理得， 求得，即，得到或， 当时，直线过，此时三点重合，不符合题意； 当时，直线方程为，此时直线AB过定点 综上所述：直线过定点． 19. 已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． （1）若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； （2）探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； （3）若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 【答案】（1） （2）是， （3） 【解析】 【分析】（1）设，，直线的方程为，与双曲线方程联立利用韦达定理可得答案； （2）由韦达定理代入可得答案； （3）设直线与直线的方程分别为，，联立两直线方程可得交点的横坐标为1，可得，即可求出的范围，从而得解. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的渐近线方程为，所以， 易知直线的斜率不为，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线消元整理得， 所以，解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； 【小问2详解】 依题意，，，结合（1）由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ， 即是定值，定值为； 【小问3详解】 由（2）可知，， 令，则， 所以直线与直线的方程分别为，， 由，解得，即交点的横坐标为， 故 ， 又，即，即， 又，即，解得或， 又，所以， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2024级高二上学期期中考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的方程为，则其倾斜角为（   ） A. B. C. D. 2. 直线，无论取何值，该直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：与：，若与互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 过点作圆：的切线，则的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ） A B. C D. 7. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 方程表示的曲线为，下列正确的命题是（ ） A. 曲线可以是圆 B. 若，则曲线为椭圆 C. 曲线可以表示抛物线 D. 若曲线为双曲线，则或 10. 已知圆与圆交于两点，则（ ） A. 圆与圆有两条公切线 B. 直线的方程为 C. D. 线段的垂直平分线的方程为 11. 双曲线的左、右焦点分别为，下列说法正确的有（ ） A. 若，则双曲线的离心率为 B. 若双曲线的渐近线方程为，则 C. 若双曲线的焦距为为该双曲线上一点，且，则 D. 若点为双曲线上一点，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与直线互相垂直，则值为___________． 13. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则__________. 14. 已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为2，则的值为___________；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为___________． 四、解答题 15. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 16. 已知直线经过点． （1）指出直线斜率为何值时，坐标原点到直线的距离最大？并求出的方程； （2）若与圆相交于两点，，求的一般式方程． 17. 已知点在抛物线上． （1）求抛物线方程； （2）直线与抛物线交于两点，求弦长； （3）过点的直线交抛物线于两点，设直线的斜率分别为为坐标原点，求的值． 18. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为，离心率为． （1）求出椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点． （i）当线段的中点坐标为时，求直线的方程． （ii）若直线分别与轴交于两点，且，试探究此时直线否恒过一个定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由． 19. 已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． （1）若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； （2）探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； （3）若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $