精品解析：黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

哈一二二中学2025-2026年度上学期期中 高二数学试题 时长：120分钟 分值：150分 命题人：高二数学组 考试时间：2025年11月18日 校对人：高二数学组 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 1. 直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，求含的项为（　　） A. B. C. D. 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 或1 5. “直线与平面内的无数条直线平行”是“直线与平面平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 同时投掷两枚质地均匀骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长为8，则实数的值为（ ） A. B. C. 0或 D. 0或 8. 已知圆与圆，则（ ） A. 与相交，相交弦所在直线的方程为 B. 与相交，相交弦所在直线的方程为 C. 与外切，内公切线所在直线的方程为 D. 与外切，内公切线所在直线的方程为 9. 已知，直线：上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 二、多选题（本大题共4题，每小题6分，满分24分） 11. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A 某学生从中选2门课程学习，共有30种选法 B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法 12. 下列说法中正确的是（ ） A. 若甲乙两组数据的相关系数分别为和，则甲的数据线性相关性更强 B. 已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 C. 若随机变量，满足，若，则 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 13. 已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则下列结论正确的是（ ） A. 点 B. C. D. 点在以为直径圆上 14. 已知为坐标原点，，动点满足，记的轨迹为曲线，直线的方程为，交于两点、，则下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的取值范围是 C. 的最小值为8 D. 可能是直角三角形 三、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分） 15. 已知随机变量服从正态分布，且，则______. 16. 过点与圆相切的直线方程为_______. 17. 已知，则________（用数字作答） 18. 台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为______小时. 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共56分）， 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，且. （1）求的值， （2）若，且的面积为3，求的周长. 20. 为了研究生活习惯 M 与患有疾病N的关系，某疾控中心随机调查了其他条件都基本相同的340人，调查数据如表所示． 无习惯M者 有习惯M者 合计 没患疾病N者 120 160 280 患有疾病N者 15 45 60 合计 135 205 340 （1）根据小概率值的独立性检验，判断患有疾病N与有生活习惯M是否有关？ （2）常用表示在事件A发生的条件下事件Ｂ发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是有习惯M者”，B表示“选到的人患有疾病N者”，请利用样本数据，估计的值． 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 21. 已知圆与轴相切于点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与直线交于，两点，再从条件①、条件②，这两个条件中选择一个作为已知，求的值. 条件①： 条件②：. 注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分. 22. 某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确概率； （2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈一二二中学2025-2026年度上学期期中 高二数学试题 时长：120分钟 分值：150分 命题人：高二数学组 考试时间：2025年11月18日 校对人：高二数学组 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，再根据即可求出倾斜角. 【详解】由题意得直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：C 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的定义求解. 【详解】复数， 所以所求共轭复数为. 故选：A 3. 在的展开式中，求含的项为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出展开式的通项，再根据通项求解即可. 【详解】由题知二项式展开式的通项且， 当时，解得， 此时含的项为. 故选：C. 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】由直线平行得到，求解并验证即可. 【详解】由直线与直线平行， 可得：， 解得或， 当时，两直线重合，舍去， 当时，经检验符合题意， 故选：C 5. “直线与平面内的无数条直线平行”是“直线与平面平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理进行判断即可. 【详解】由直线与平面内的无数条直线平行，可得或， 所以“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线与平面平行”的不充分条件； 若“直线与平面平行”，则根据线面平行的性质定理可知“直线与平面内无数条直线平行”； 所以“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线与平面平行”的必要条件； 所以“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线与平面平行”的必要不充分条件. 故选：B 6. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：C. 7. 已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长为8，则实数的值为（ ） A. B. C. 0或 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由圆被直线所截弦长得到圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式求得m值． 【详解】已知圆，其圆心为，半径为5． 又直线被圆截得的弦长为8， 设圆心到直线的距离为，则，解得， 直线， 则，解得或． 故选：C 8. 已知圆与圆，则（ ） A. 与相交，相交弦所在直线的方程为 B. 与相交，相交弦所在直线的方程为 C. 与外切，内公切线所在直线的方程为 D. 与外切，内公切线所在直线的方程为 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心距与半径和与差比较可得两圆位置关系；将两个圆的方程作差得相交弦所在直线的方程． 【详解】圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， ， 因为，所以与相交， 将两个圆的方程作差得，整理得， 即相交弦所在直线的方程为． 故选：B． 9. 已知，直线：上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式，以及直线过定点的判定方法，求出直线所过定点，判断满足题目条件的直线情况，进而求出斜率的取值范围，再求出倾斜角范围即可. 【详解】由题意得直线方程为，变形为， 可知直线过定点， 由可知， 当直线上存在点满足时，即直线与线段有交点， 如图所示，， 又因为直线的斜率不为0， 所以直线斜率在， 直线倾斜角的范围为. 故选：D. 10. 设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】以MP为一边作正方形MPSQ，利用几何法判断出满足条件的N存在时，需，即可求出的范围. 【详解】以MP为一边作正方形MPSQ. 若对角线PQ与圆有交点,则满足条件的N存在,此时正方形的中心在圆上或内,即MH≤1,所以，所以,所以，则其最大值为2. 故选：C 【点睛】解析几何中最值的计算方法有两类： （1）几何法：利用几何图形求最值； （2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 二、多选题（本大题共4题，每小题6分，满分24分） 11. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A. 某学生从中选2门课程学习，共有30种选法 B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可. 【详解】对于A，某学生从中选2门课程学习，共有种选法，故A错误； 对于B，课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有种排法，故B正确； 对于C，课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有种排法，故C错误； 对于D，课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，分两种情况： 若课程“礼”排在最后一周，有种排法， 若课程“礼”不排在最后一周，有种排法， 共有种排法，故D正确. 故选：BD. 12. 下列说法中正确的是（ ） A. 若甲乙两组数据的相关系数分别为和，则甲的数据线性相关性更强 B. 已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 C. 若随机变量，满足，若，则 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线性相关系数的性质判断A；根据残差的定义判断B；根据方差的性质判断C；根据二项分布的方差求解的值，再求解的值即可判断D. 【详解】对于A，相关系数的绝对值越大数据线性相关性越强，若甲乙两组数据的相关系数分别为和， 因为，所以乙的数据线性相关性更强，故A错误； 对于B，因为关于的回归方程为， 当时，所以样本点的残差为，故B正确； 对于C，若随机变量满足，若，则，故C错误； 对于D，随机变量服从二项分布，则方差，解得， 所以，故D正确. 故选：BD. 13. 已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则下列结论正确的是（ ） A. 点 B. C. D. 点在以为直径的圆上 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得过的定点判断A；求得所过定点，根据题意可得判断B，求得判断C；利用，可判断D. 【详解】因为可化为，所以直线恒过定点.故A正确； 又因为可化为，所以直线恒过定点， 对于直线，，因为，所以，故B正确； 所以，故C错误； 因为，且，故点在以为直径的圆上，故D正确. 故选：ABD. 14. 已知为坐标原点，，动点满足，记的轨迹为曲线，直线的方程为，交于两点、，则下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的取值范围是 C. 的最小值为8 D. 可能是直角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，可求点的轨迹方程判断A；利用有两交点可求的范围判断B；联立方程组可求的最小值为8判断C；求得的斜率的范围可判断D． 【详解】对A，设，由题意可得，整理可得，所以A正确； 对B，且圆心的坐标，半径，则圆心到直线的距离， 要使有两个交点，可得，即，可得，所以B正确； 对C，联立，整理可得：， ，即，，， ， 所以， 当满足时，的值最小，最小值为8，所以C正确； 对D，由的最小值为8，可知不可能为直角顶点， 不妨设在的下方，可知不可能为直角顶点， 设过原点与的直线方程为，由圆心到直线的距离， 解得，解得，， 故不与垂直， 不可能是直角三角形，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分） 15. 已知随机变量服从正态分布，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性直接求解即可. 【详解】，， . 故答案为：. 16. 过点与圆相切的直线方程为_______. 【答案】或 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，然后分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况，由圆心到直线距离等于圆的半径即可求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径， 过点，斜率不存在的直线方程为，圆心到直线的距离为2，该直线为圆的切线； 过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得， 此时切线方程为. 故答案为：或 17. 已知，则________（用数字作答） 【答案】729 【解析】 【分析】由二项式定理确定各项的符号，则原式可化为，即可求值 【详解】由二项式定理可知，均为正数，均为负数， 可得. 故答案为：729 18. 台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为______小时. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知条件作出图形，圆半径，利用锐角三角函数的定义可求出BE的长，易知是直角三角形，运用勾股定理可求出的长，进而求出弦长，最后用弦长除以台风的移动速度即可求解. 【详解】以城市为圆心，为半径画圆，如图所示，所在直线为台风中心的移动轨迹，，，，过点作于点. 在中，由锐角三角函数， 得， 在中，由勾股定理， 得， 所以， 因为台风中心的移动速度为， 所以B城市处于危险区内的时间为. 故答案为：2. 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共56分）， 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，且. （1）求的值， （2）若，且的面积为3，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得出，结合角的取值范围应用同角三角函数关系可求得的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，即可求得该三角形的周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得，又因为， 所以， ，则，可得. 【小问2详解】 由已知可得，则， 由余弦定理可得， 所以， 所以，因此的周长为. 20. 为了研究生活习惯 M 与患有疾病N的关系，某疾控中心随机调查了其他条件都基本相同的340人，调查数据如表所示． 无习惯M者 有习惯M者 合计 没患疾病N者 120 160 280 患有疾病N者 15 45 60 合计 135 205 340 （1）根据小概率值的独立性检验，判断患有疾病N与有生活习惯M是否有关？ （2）常用表示在事件A发生的条件下事件Ｂ发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是有习惯M者”，B表示“选到的人患有疾病N者”，请利用样本数据，估计的值． 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为患有疾病N与有生活习惯M有关； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对作答. （2）由给定公式，利用条件概率公式列式求解. 【小问1详解】 零假设：患有疾病N与有生活习惯M无关， 依据列联表中的数据，经计算得， 根据小概率的独立性检验，推断零假设不成立， 即认为患有疾病N与有生活习惯M有关． 【小问2详解】 . 21. 已知圆与轴相切于点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与直线交于，两点，再从条件①、条件②，这两个条件中选择一个作为已知，求的值. 条件①： 条件②：. 注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意求出圆心和半径，即得答案； （2）根据所选条件，均可以求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式求出的值即可. 【小问1详解】 由题意知圆的圆心在直线上，与轴相切于点， 故设圆心为，则，则圆心为，半径为， 故圆的标准方程为； 【小问2详解】 若选条件①：； 而，故圆心到直线的距离为， 所以，解得或； 若选条件②：， 而，所以是等腰直角三角形，, 故圆心到直线的距离为，所以，解得或. 22. 某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 【答案】（1） （2）的分布列为： -3 1 5 9 数学期望为 （3），理由如下： 当时，为甲校友答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 所以， 因为，所以，即， 所以甲校友应选． 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望， （3）对和求解对应的概率，利用作差法比较大小即可求解. 【小问1详解】 设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”， “所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”， 则，且两两互斥． 根据题意得，，，， 则， 所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为． 【小问2详解】 的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $