精品解析：浙江省A9协作体2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

浙江省A9协作体2025学年第一学期期中联考 高二数学试题 命题：马寅初中学 陈志远 审题：丽水学院附中 徐胜 吴兴 高级中学 史惠兰 校稿：童金菊 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷密封区内填写班级､学号和姓名；座位号写在指定位置； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 第Ⅰ卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知空间直角坐标系中两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，则. 故选：B. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线方程可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，， 因为直线的斜率，即， 可得，所以直线的倾斜角是. 故选：A. 3. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求解即可. 【详解】圆的圆心坐标为. 故选：A. 4. 椭圆的焦距等于（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将椭圆化成标准式，再结合的关系即可求解 【详解】由得， 所以， ， 焦距. 故选：C. 5. 已知四面体中，点分别为棱的中点，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】连接，则， 所以. 故选：D 6. 已知圆和圆至少有3条公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知两圆相外切或相离，求出两圆的圆心和半径，可得，由此可求出的取值范围. 【详解】当圆和圆至少有3条公切线， 所以两圆相外切或相离， 圆的圆心， 圆的圆心， ，， 当两圆相外切时可得，则， 当两圆相离时可得：，则， 则，解得：，又因为，可得. 故选：C. 7. 已知直线和直线互相垂直，则的最小值为（ ） A. -1 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与垂直可得，代入，由二次函数的性质求解即可. 【详解】因为直线和直线互相垂直， 所以，化简得：，即， 所以 当时，的最小值为. 故选：B. 8. 已知斜率为的直线与椭圆交于两点，若的重心在直线上，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形重心位置综合求出离心率. 【详解】设直线方程为，， 由的重心在直线上，得，则， ，解得， 由消去得， 于是，整理得，所以椭圆的离心率. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 正方体中，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后，表示出对应向量并逐项计算即可得. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，顶点坐标如下： ，； A选项，，A错误； B选项，，，平行，B正确； C选项， ，C正确； D选项， ，D正确. 故选：BCD. 10. 已知圆，点，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若点坐标为，则直线被圆截得的弦长等于 B. 若直线被圆截得的弦长等于，则为定值 C. 若直线与圆相交，则点在圆内 D. 若点在圆上，直线与圆相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】由圆的弦长公式可判断A；先求出圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式求出可判断B；若直线与圆相交可知由此可判断C；若点在圆上，则，由圆心到直线的距离等于半径可判断D. 【详解】对于A，点的坐标为，直线， 圆的圆心为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长等于，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离为：， 若直线被圆截得的弦长等于， 解得：，故B正确； 对于C，若直线与圆相交，圆心到直线的距离为： ，即，所以点在圆外，故C错误； 对于D，若点在圆上，则， 圆心到直线的距离为：， 此时直线与圆相切，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆的左右焦点为为椭圆上的点（不在轴上），的角平分线交轴于点的面积最大值为4，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用端点是焦点三角形面积最大即可求出；对C，利用角平分线性质即可判断；对B，利用焦半径公式和两点距离公式并结合二次函数性质即可判断；对D，求出其横坐标范围即可判断. 【详解】已知椭圆，则. 当点P为椭圆的短轴端点时，的面积取得最大值,根据三角形面积公式，解得， 又因为在椭圆中有，因为，所以，故选项A正确； 因为PM是的角平分线，根据角平分线性质可得，所以，故选项C正确； 由选项A可知，，则， 因为P为椭圆上的点（不在轴上），所以设，其中 ，所以，得到， 设 ，则，，椭圆离心率为， 根据焦半径得 ； 因为则 ，得 ； 当时有最大值2，故选项B项错误； 因为，所以，则，故选项D正确. 故选:ACD 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且斜率为3的直线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点斜式计算可得. 【详解】过点且斜率为的直线方程为， 即. 故答案为： 13. 点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，要求的最小值，即求的最小值，的最小值即为到直线的距离，求解即可. 【详解】圆圆心为， 过点作圆的切线，切点为，所以， 所以， 要求的最小值，即求的最小值， 的最小值即为到直线的距离， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 在正四棱锥中，为棱上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据空间向量的数量积公式计算，再应用模长公式及数量积运算律，异面直线所成角的余弦公式计算求解. 【详解】因为为棱上一点，且， 则， 又因，， 所以， 所以， 因为是正方形，所以，所以， 设异面直线和所成角为， 所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算进行计算即得； （2）先通过空间向量的坐标运算求得，再由数量积得不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 得 【小问2详解】 因为，所以. 解得：或. 16. 在中，已知点，点在直线上. （1）若点的坐标为，求边上的高线所在的直线方程； （2）求周长的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求直线的斜率，再根据垂直关系求边上的高线的斜率，由点斜式即可得高线所在的直线方程； （2）先求点关于直线的对称点为，再由结合两点间的距离公式求得的最小值. 【小问1详解】 直线的斜率为 所以边上的高线的斜率为， 得边上的高所在的直线方程为，即 【小问2详解】 因为，所以 的周长 设点关于直线的对称点为，则 解得，所以点关于直线的对称点为， ， 当且仅当三点共线时取等号. 的周长的最小值为. 17. 已知圆过点，直线的方程为. （1）求圆的方程； （2）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值及最短弦长. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，将三点代入解方程求出，即可得出答案. （2）先求出直线过定点可判断点在圆内，当时，直线被圆截得的弦长最短，由此可求出再由弦长公式求出最短弦长. 【小问1详解】 设圆的方程为， 由题意可知 解得：满足， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 直线的方程为，即. 所以直线过点，即直线过定点 圆的圆心为，又因为，即点在圆内， 所以当时，直线被圆截得的弦长最短， 此时直线的斜率为1，所以直线的斜率为-1，，解得： 直线的方程为， ， 所以直线被圆截得的最短弦长为. 18. 如图，正四棱台中，，点为棱的中点，点在棱上，且. （1）当时，求证：； （2）求点到平面的距离； （3）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，易证，又可得； （2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量，由点到平面的距离公式求解即可； （3）当时，求出平面与平面的一个法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 证明：当时，点为中点， 在等腰梯形中，点为的中点， 所以，又因为，所以； 【小问2详解】 以为坐标原点，为轴，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量是， ，所以， 得，令，所以，得， 又因为， 所以点到平面的距离为 【小问3详解】 当时， 设平面的一个法向量是， ，所以， 得，令，所以，得 所以平面与平面的夹角的余弦值为： ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为 19. 已知点为椭圆的左焦点，长轴长为为椭圆上的点，当垂直轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线，点到直线的距离为，使得为定值；若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）为椭圆的下顶点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，求证：的面积小于. 【答案】（1） （2）存在， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由长轴长得，再根据得到求得即可得椭圆的方程. （2）设的坐标为，利用距离公式结合化简得到，根据为定值可得，进而求得即可得直线的方程； （3）设直线的方程为，将直线与椭圆联立并由根的判别式和韦达定理得到，利用弦长公式和点到直线的距离公式求得及，进而得的面积，再分别在和时进行证明. 【小问1详解】 因为，得；又，所以， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 设的坐标为，所以， 因为，所以， 又点到直线的距离 所以 又因为为定值，所以，解得， 所以存在直线，使得. 【小问3详解】 设直线的方程为， 直线与椭圆联立可得：， 所以，得， 由韦达定理可：. 所以 点到直线的距离为， 所以的面积 ①当时，在时取最大值， 所以 ②当时，在时取最大值， 即. 设， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省A9协作体2025学年第一学期期中联考 高二数学试题 命题：马寅初中学 陈志远 审题：丽水学院附中 徐胜 吴兴 高级中学 史惠兰 校稿：童金菊 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷密封区内填写班级､学号和姓名；座位号写在指定位置； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 第Ⅰ卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知空间直角坐标系中两点，则（ ） A B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 椭圆焦距等于（ ） A. B. 4 C. D. 5. 已知四面体中，点分别为棱的中点，则（ ） A. B. C. D 6. 已知圆和圆至少有3条公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线和直线互相垂直，则的最小值为（ ） A. -1 B. C. D. 1 8. 已知斜率为的直线与椭圆交于两点，若的重心在直线上，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 正方体中，则下列说法正确的是（ ） A. B. C D. 10. 已知圆，点，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若点的坐标为，则直线被圆截得的弦长等于 B. 若直线被圆截得的弦长等于，则为定值 C. 若直线与圆相交，则点在圆内 D. 若点在圆上，直线与圆相切 11. 已知椭圆的左右焦点为为椭圆上的点（不在轴上），的角平分线交轴于点的面积最大值为4，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且斜率为3的直线方程为__________. 13. 点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为__________. 14. 在正四棱锥中，为棱上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 16. 在中，已知点，点在直线上. （1）若点的坐标为，求边上的高线所在的直线方程； （2）求周长的最小值. 17. 已知圆过点，直线的方程为. （1）求圆的方程； （2）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值及最短弦长. 18. 如图，正四棱台中，，点为棱的中点，点在棱上，且. （1）当时，求证：； （2）求点到平面的距离； （3）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知点为椭圆左焦点，长轴长为为椭圆上的点，当垂直轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线，点到直线的距离为，使得为定值；若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）为椭圆的下顶点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，求证：的面积小于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $