精品解析：江苏省南京市2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

南京市2025-2026学年度第一学期期中学情调研测试 高二数学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 已知i为虚数单位，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：D. 2. 已知向量．若，则实数（　　） A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量垂直的向量形式求解. 【详解】由，得， 得，得， 故选：B 3. 在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】首先由可得是异面直线和所成角，再由为正三角形即可求解. 【详解】连接． 因为为正方体，所以， 则是异面直线和所成角．又, 可得为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为， 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题. 4. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦点在轴上的椭圆标准方程的特征，可得到关于的不等式，即可求得结果. 【详解】根据题意，方程表示焦点在轴上的椭圆. 则必有，解可得：. 即m的取值范围是. 故选：A. 5. 甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5，则密码被破译的概率为（　　） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】设甲乙译出密码的事件，利用独立事件和互斥事件求解即可. 【详解】设甲译出密码为事件，则，甲没有译出密码为事件，， 设乙译出密码为事件，则，乙没有译出密码为事件，， 设密码被破译为事件，则密码未被破译为事件，， ，，， . 故选：C. 6. 若直线与抛物线：交于，两点，且线段中点的横坐标为2，则直线的斜率为（　　） A. -1 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设直线方程为，与抛物线联立得：，再根据线段中点的横坐标为2，得，从而求出斜率. 【详解】依题意，直线斜率存在，设直线方程为， 与抛物线联立得：， 设，， 由韦达定理得：， 又因为线段中点的横坐标为2， 得， 所以， 故选：C. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，构造齐次方程，进而可得离心率. 【详解】 如图所示，由已知得，且，， 则 又由双曲线定义可知，即，而， 可得，即，解得（舍）或， 所以离心率， 故选：B. 8. 若圆上存在点，其关于轴的对称点在圆上，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆关于轴的对称圆的方程，与圆的圆心距为，即，即可得到答案. 【详解】圆关于轴的对称圆为圆，其方程为， 根据题意，圆与圆有交点，又圆与圆的圆心距为， 要满足题意，只需，解得      故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给定一组数据：1，2，4，4，5，6，6，则这组数据的（　　） A. 中位数为4 B. 平均数为5 C. 方差为 D. 60百分位数为4 【答案】AC 【解析】 【分析】根据中位数，平均数，方差，百分位数概念求解即可. 【详解】由题知：中位数为4，故A正确， 平均数，故B错误， 方差， 故C正确， ，第60百分位数为5，故D错误. 故选：AC 10. 已知为锐角，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式先求出可判断B；再由同角的三角函数关系可得A；由二倍角的正弦公式可得C；利用和角的正切公式可得D. 【详解】对于A、B，，则， ，故A错误，B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以， 由， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（　　） A. 曲线的方程为 B. 曲线与直线没有公共点 C. 点到点距离的最小值为 D. 过点且倾斜角为的直线与交于两点，则的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由双曲线的定义可判断A；由直线是曲线的渐近线可判断B；设，则，利用两点间的距离公式求得距离的最小值即可判断C；设直线方程并代入曲线的方程中，利用弦长公式求出，再由曲线的定义求解周长即可判断D. 【详解】对于A，由， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左、右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以曲线C的方程为，故A正确； 对于B，因为是曲线的一条渐近线，与曲线无公共点，故B正确； 对于C，设，则， 点到点距离，当且仅当时取等号.所以，故不正确； 对于D，因为，所以直线为，设， 由，得， 则， 所以， 因为，， 所以， 所以的周长为.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两条直线与间的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知椭圆的左、右顶点分别为．若过点且斜率为的直线与交于另一点，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意得到直线，与椭圆联立得到，，再求面积即可. 【详解】由题知：，则， ，则，解得， 将代入得到， 所以的面积为. 故答案为： 14. 已知正方体的棱长为2，则以为球心，2为半径的球面与正方体的截面的交线长为___________ 【答案】 【解析】 【分析】平面与球面相交所形成的交线形状应为圆，由对称性可知本题的交线形状应为半圆，再求结论. 【详解】 由对称性可知，以为球心，2为半径的球面与棱长为2的正方体的截面的交线为以为直径的半圆， 该半圆的半径, 因此交线长. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，再利用余弦定理求解即可. （2）首先根据题意得到，再利用正弦定理求解即可. 【小问1详解】 ， 所以，又， 所以 【小问2详解】 ，，， ， 因为， . 16. 已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为． （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于另一点，连接．若，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出的中垂线方程为，联立，再求半径即可得到答案. （2）首先根据，得到在线段的中垂线上，从而得到，即可得到答案. 【小问1详解】 ，则的中垂线方程为， ，. 则圆 【小问2详解】 如图所示： 因为，所以在线段的中垂线上， 又因为线段的中垂线过，， 则，，整理得： 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，点在线段上，． （1）证明：平面； （2）若平面，且，求点到平面的距离． 【答案】（1） 取的中点，连结， 因为是中点，所以，且， 因为四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以， 所以，因此四边形为平行四边形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，利用平行四边形证明线线平行，再由线面平行的判定定理得证； （2）作于，证明即为点面距离，再由直角三角形求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于，由（1）知平面即为平面， 因为平面，平面，所以. 又因为，，所以平面. 因为平面，所以. 又因为，，平面， 所以平面， 所以即为点到平面的距离. 因为平面，平面，所以 在中，， 所以， 所以. 18. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为是上的动点．当轴时，的面积为1． （1）求的方程； （2）设过且与直线垂直的直线交于点（不在轴上），直线交轴于点，记． ①求的值； ②证明：平分． 【答案】（1） （2）①2 ②证明： 记直线与轴的交点为，由①可知为的中点. 由抛物线的定义可得， 在直线中，令，可得 于是， 所以平分. 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积建立方程求出即可得出抛物线方程； （2）①根据垂直关系可写出的斜率，得出点坐标，得到直线的方程即可求出直线截距得解；②利用抛物线的性质求解 ，由等腰三角形即可求证. 【小问1详解】 当轴时，，代入， 可得， 所以 ，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）知，的方程为, 因为在抛物线上，即， 所以 因为，所以，解得， 所以, 由的方程为，得 令，可得，所以. ②略 19. 已知为坐标原点，椭圆过点，离心率为．过点且与坐标轴不垂直的直线交于点． （1）求的方程； （2）当时，求的方程； （3）设直线与直线交于点，记直线，的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或. （3） 如图所示： ，， 令，则，即. ， ， 因为， 所以. 即为定值2. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可. （2）设直线，，，与椭圆联立得到，，，再根据求解即可. （3），，从而得到，再结合韦达定理求即可. 【小问1详解】 由题知：，即： 【小问2详解】 设直线，，， 则， 方程的判别式 ，， ， 因为，所以， 即 . 解得，即. 所以直线或. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市2025-2026学年度第一学期期中学情调研测试 高二数学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 已知i为虚数单位，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知向量．若，则实数（　　） A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 3. 在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5，则密码被破译的概率为（　　） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.8 6. 若直线与抛物线：交于，两点，且线段中点的横坐标为2，则直线的斜率为（　　） A. -1 B. C. 1 D. 2 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 8. 若圆上存在点，其关于轴的对称点在圆上，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给定一组数据：1，2，4，4，5，6，6，则这组数据的（　　） A. 中位数为4 B. 平均数为5 C. 方差为 D. 60百分位数为4 10. 已知为锐角，，则（　　） A. B. C. D. 11. 已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（　　） A. 曲线的方程为 B. 曲线与直线没有公共点 C. 点到点距离的最小值为 D. 过点且倾斜角为的直线与交于两点，则的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两条直线与间的距离为___________． 13. 已知椭圆的左、右顶点分别为．若过点且斜率为的直线与交于另一点，则的面积为___________． 14. 已知正方体的棱长为2，则以为球心，2为半径的球面与正方体的截面的交线长为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求． 16. 已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为． （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于另一点，连接．若，求直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，点在线段上，． （1）证明：平面； （2）若平面，且，求点到平面的距离． 18. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为是上的动点．当轴时，的面积为1． （1）求的方程； （2）设过且与直线垂直的直线交于点（不在轴上），直线交轴于点，记． ①求的值； ②证明：平分． 19. 已知为坐标原点，椭圆过点，离心率为．过点且与坐标轴不垂直的直线交于点． （1）求的方程； （2）当时，求的方程； （3）设直线与直线交于点，记直线，的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $