精品解析：天津市北辰区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期阶段练习 八年级数学 一、选择题（本题共12个小题，每题3分，共36分） 1. 已知，三角形的三边分别为2，7，，则的值可能为（ ） A. 6 B. 9 C. 5 D. 4 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 4. 下列条件不能确定是直角三角形的是（ ） A. 在中，都是锐角 B. 的三个内角的度数之比是 C. 在中， D. 的三个外角的度数之比是 5. 如图，已知两个三角形全等，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，，使，再画出的垂线，使点与点，在一条直线上，这时测得（ ）的长就是的长． A. B. C. D. 7. 如图，作一个角等于已知角步骤如下：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②在射线上任取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点；④过点作射线，则，上述尺规作图的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，是的角平分线，，垂足为，若，，则的面积是（ ） A. 20 B. 12 C. 10 D. 8 9. 如图，在中，，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 11. 如图，中，，于点，于点，于点，，则长是（ ） A. 5 B. C. 12 D. 12. 如图，中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共6个小题，每题3分，共18分）． 13. 点关于x轴对称的点的坐标为_____． 14. 若等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个等腰三角形的周长为______． 15. 如图，，，，，垂足分别为、，若，，则__． 16. 如图，在中，，，，三条角平分线相交于点，则的值是_______． 17. 如图，在中，，垂直平分，垂足为E，交于点D，若的周长为，则的长为_________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上，点是与格线交点． （1）的度数为_______； （2）请用无刻度的直尺，确定的重心； （3）请用无刻度的直尺，确定边的中点．（只需在网格中作图，保留作图痕迹，不需要写画法，不需要证明） 三、解答题（本题共7小题，19、20题每题8分，21-25题每题10分，共66分） 19. 如图，在中，，，是边上的高． （1）求的度数和的度数； （2）若，是角平分线，且，相交于点，求度数． 20 证明下列各题： （1）如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：； （2）如图，，，．求证：． 21. 在平面直角坐标系中，点，，． （1）在图中画出关于轴对称的（不写画法）； （2）连接、，则的面积是______； （3）记是轴上一点，连接，，得，当周长最小时，点的坐标为_______．（直接写出结果） 22. 如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BD＝CE； （2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 23. 如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． （1）若，的周长为19，求的长度； （2）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 24. 如图，在中，，点在的外部，且平分，过点作，交的延长线于点，，交于点，连接．若，，求的度数 25. 如图，在中，，． （1）平分，交于点，，交延长线于点，求证：；（提示：分别延长、交于点） （2）点为的中点，交于点，求的度数； （3）点，分别是，上的动点，且，当的值最小时，的度数是_______．（直接写结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段练习 八年级数学 一、选择题（本题共12个小题，每题3分，共36分） 1. 已知，三角形的三边分别为2，7，，则的值可能为（ ） A. 6 B. 9 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系．根据三角形任意两边之和大于第三边，进而得出答案． 【详解】解：三角形三边长分别为2，7，， ， 即：， 观察四个选项，只有6符合， 故选：A． 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，符合题意； B． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； C． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； D． 该图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选A． 3. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用． 根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，则可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是三角形的稳定性． 故选：D 4. 下列条件不能确定是直角三角形的是（ ） A. 在中，都是锐角 B. 的三个内角的度数之比是 C. 在中， D. 的三个外角的度数之比是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的分类，三角形的内角和定理，三角形外角和定理．判断每个条件是否能确定为直角三角形，逐一分析后统计符合条件的个数． 【详解】解：A、不能确定是直角三角形，故本选项符合题意； B、最大的内角为，是直角三角形，故本选项不符合题意； C、若，此时，又，则，是直角三角形，故本选项不符合题意； D、三个外角度数分别为，则三个内角的度数分别为，是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A 5. 如图，已知两个三角形全等，则的大小是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 由全等三角形的对应角相等即可得到答案． 【详解】解：两个三角形全等， ， 故选B． 6. 如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，，使，再画出的垂线，使点与点，在一条直线上，这时测得（ ）的长就是的长． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． ∴这时测得的长就是的长． 故选：C． 7. 如图，作一个角等于已知角的步骤如下：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②在射线上任取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点；④过点作射线，则，上述尺规作图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了已知角的等角的基本作图，三角形全等的判定．根据基本作图，结合三角形全等的判定解答即可． 【详解】解：根据基本作图，由作图得，， ∴， ∴，依据是， 故选：A． 8. 如图，，是的角平分线，，垂足为，若，，则的面积是（ ） A. 20 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定理．根据角平分线定理求得，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴的面积是， 故选：C． 9. 如图，在中，，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形的外角性质，直角三角形的性质．三角形的外角性质结合等边对等角求得，再利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 如图，中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 连接，由等腰三角形的性质得出，，由线段垂直平分线的性质得出，，由含角的直角三角形的性质得出，得出，，即可求出的长． 【详解】解：连接，如图所示： ， ，， 的垂直平分线交于， ，， ， ， ， ， ． 故选C． 11. 如图，中，，于点，于点，于点，，则的长是（ ） A. 5 B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由，则，又，故，因此，从而得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 12. 如图，中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识．由，，可得，从而得出，通过证明，得出，证明是等腰直角三角形，从而得到，证明，再证明，得出，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由②知，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②③④， 故选：D． 二、填空题（本题共6个小题，每题3分，共18分）． 13. 点关于x轴对称的点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点：根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数的规律解题即可． 【详解】解：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数． ∴关于x轴对称的点， 故答案为：． 14. 若等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的构成条件． 先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】解：①若三角形的三边长为： 所以不能构成三角形； ②若三角形的三边长为： 此时能构成三角形； 故：等腰三角形的周长为：， 故答案为：． 15. 如图，，，，，垂足分别为、，若，，则__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明，再利用证明，由全等三角形的性质求出的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，三条角平分线相交于点，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于D，于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于点D，于点E，于点F， ∵三条角平分线交于点O，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，，垂直平分，垂足为E，交于点D，若的周长为，则的长为_________． 【答案】##15厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上，点是与格线交点． （1）的度数为_______； （2）请用无刻度的直尺，确定的重心； （3）请用无刻度的直尺，确定边的中点．（只需在网格中作图，保留作图痕迹，不需要写画法，不需要证明） 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，三角形的重心与中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角形的内角和求解即可 （2）取格点，连接，取格点M，连接，交于点，连接并延长，与交于点，由点F为的中点，点E为的中点，得到点为的重心． （3）根据三角形的中线的交点即为三角形的重心，即可解答． 【小问1详解】 解：由图，得， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 如图，取格点，连接，取格点M，连接，交于点，连接并延长，与交于点； ∵是矩形， ∴点F为的中点， 同理可得，点E为的中点， ∴点为的重心． 【小问3详解】 如图，连接并延长，交于点即为所求． 三、解答题（本题共7小题，19、20题每题8分，21-25题每题10分，共66分） 19. 如图，在中，，，是边上的高． （1）求的度数和的度数； （2）若，是角平分线，且，相交于点，求的度数． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的高的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求得，再利用三角形高的定义即可求解； （2）利用角平分线的定义结合三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ． ∵是边上的高，即， ． ； 【小问2详解】 解：∵在中，，，，是角平分线， ， ． 20. 证明下列各题： （1）如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：； （2）如图，，，．求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）先求得，再利用即可证明； （2）利用证明，证明． 【小问1详解】 证明：，，即， ，， ，， 在和中，， ； 【小问2详解】 证明：， ． 即， 在和中 ， ， ． 21. 在平面直角坐标系中，点，，． （1）在图中画出关于轴对称的（不写画法）； （2）连接、，则的面积是______； （3）记是轴上一点，连接，，得，当周长最小时，点的坐标为_______．（直接写出结果） 【答案】（1）见解析 （2）12 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图−轴对称、轴对称的性质、点的坐标的规律，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）分别找出点A、B、C关于y轴对称的对称点、、，即可作图； （2）利用三角形面积公式即可求解； （3）找出点B关于轴的对称点，再根据点C、P、三点共线时，的值最小即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ； 【小问2详解】 解：如图，的面积是； ； 小问3详解】 解：如图，点P即为所求； ∵点B与点关于轴对称， ∴y轴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点C、P、三点共线时，的值最小． 此时，点的坐标为． 故答案为：． 22. 如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BD＝CE； （2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 【答案】（1）见解析； （2）90°． 【解析】 【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一性质得到BF=CF，DF=EF，相减后即可得到正确的结论． （2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，过点A作AF⊥BC于F． ∵AB＝AC，AD＝AE． ∴BF＝CF，DF＝EF， ∴BD＝CE． 【小问2详解】 解：∵AD＝DE＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠ADE＝60°． ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA． ∴∠DAB∠ADE＝30°． ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键． 23. 如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． （1）若，的周长为19，求的长度； （2）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点在边的垂直平分线上，证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【小问1详解】 解：直线垂直平分边， ， 的周长为19， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、，如图 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 24. 如图，在中，，点在的外部，且平分，过点作，交的延长线于点，，交于点，连接．若，，求的度数 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质，连接，过点作，交的延长线于点，证明平分，平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ，，， 平分， 平分， ，， ， ， 平分， ， ， ． 25. 如图，在中，，． （1）平分，交于点，，交的延长线于点，求证：；（提示：分别延长、交于点） （2）点为中点，交于点，求的度数； （3）点，分别是，上的动点，且，当的值最小时，的度数是_______．（直接写结果） 【答案】（1）见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理、外角定理等等，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）延长、交于点，利用证，得到，由可知，即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，根据同角的余角相等得到，根据三角形的外角性质解答即可； （3）过点作，使，证明，求得，当点、、共线时，最短，即取最小值，证明是等腰三角形，据此求解即可． 【小问1详解】 解：延长、交于点，如图1， 则， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作，使， ∵，，， ∴， ∴， 当点、、共线时，最短，即取最小值， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $