精品解析：福建省龙岩市非一级学校2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年第一学期半期考 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：预备知识、函数、导数及其应用、三角函数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，，”的否定是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 已知集合，则中元素的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据为2，4，6，5，m，4，3，则“”是“这组数据的中位数为4”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，且的最小值为2，则曲线的对称中心的横坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 与的定义域相同 B. 与的值域不相同 C. D. 与在上均单调递增 11. 已知是定义在上的奇函数，且也为奇函数，函数，则的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________，__________. 13. 若，则的最小值为__________. 14. 函数的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示，. （1）求的解析式； （2）若，求函数的取值范围. 16. （1）当时，求的最大值； （2）判断函数的奇偶性，并加以证明； （3）若关于的方程有实数解，求的取值范围. 17. 已知函数的极大值点是2. （1）求的值； （2）若在上有3个零点，求的取值范围. 18. 剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点.现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段上，均在线段上. （1）求圆心角的大小（用弧度表示）； （2）设，且，求的长； （3）求矩形面积的最大值. 19. 设函数. （1）求的单调区间； （2）比较与的大小； （3）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期半期考 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：预备知识、函数、导数及其应用、三角函数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，，”的否定是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】由命题的否定的定义即可得到结果. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，且命题的条件不变． ∴命题“，，”的否定“，，”. 故选：A. 2. 已知集合，则中元素的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得集合A，再根据交集运算即可. 【详解】因为， 所以， 所以该交集中元素的最小值是4， 故选：D. 3. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由终边经过的点坐标求得的值，然后由诱导公式化简代数式，然后代入即可求得结果. 【详解】由题意可知， . 故选：B. 4. 曲线在点处切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出导数并利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】函数，求导得， 则曲线在点处切线斜率， 所以所求倾斜角为. 故选：A 5. 已知一组数据为2，4，6，5，m，4，3，则“”是“这组数据的中位数为4”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】依次分析充分性和必要性即可得解. 【详解】“”，则题中数据从小到大排列为或，中位数均为4，充分性成立， “这组数据的中位数为4”，若，仍满足这组数据的中位数为4，必要性不成立， 所以“”是“这组数据的中位数为4”的充分不必要条件. 故选：A 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数与对数函数单调性及三角函数二倍角公式计算比较即可得. 【详解】由函数在上单调递减，则， 由函数在上单调递增，则， 又，则， 即有. 故选：. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，且的最小值为2，则曲线的对称中心的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正弦函数的图象性质求出，进而求得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原图象重合， 则是函数周期的正整数倍， 而的最小值为2，因此，解得， 函数，由，解得， 所以曲线的对称中心的横坐标为. 故选：C 8. 已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数是奇函数，然后判断该函数是减函数，进而根据奇偶性对不等式进行化简，最后根据单调性求解不等式的解集. 【详解】令，则，所以. 令，则，所以. 所以函数为奇函数. 设，且，则. 由题意知，当时，，所以. 因为，所以有. 即，所以在上是减函数. 不等式， 根据单调性可得， 化简得， 解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用指数函数的单调性可判断B选项；利用对数函数的单调性可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，不妨取，则满足，但不满足，A错； 对于B选项，因为函数在上为增函数，且， 所以，即，B对； 对于C选项，因为，则，， 且，由不等式的性质可得， 因为对数函数在上为增函数，故，C对； 对于D选项，由C选项可知， 所以 ， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，D对. 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 与的定义域相同 B. 与的值域不相同 C. D. 与在上均单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】借助导数求出定义域判断A；求出值域判断B；构造函数利用零点存在性定理推理判断C；确定单调递增区间判断D. 【详解】对于A，令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此函数的定义域为，而函数的定义域为，A错误； 对于B，由选项A，知函数的值域为， 而， 当且仅当时取等号，值域为，B正确； 对于C，当时，令函数， ，， 而函数在的图象连接不断，则存在，使得，即，C错误； 对于D，，当，即时，单调递增， 由选项A知，函数在上单调递增，因此与在上均单调递增，D正确. 故选：BD 11. 已知是定义在上的奇函数，且也为奇函数，函数，则的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性对图象进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由与均为奇函数，得， 则， 所以4为的一个周期.当时，的最小正周期为2， 则的部分图象可能为A中图象. 当时，， 则的部分图象可能为B中图象. 当时，，则的部分图象可能为D中图象. 若存在，则，则的部分图象不可能为C中图象. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用指数的运算性质可得出的值，利用对数的运算性质可求得的值. 【详解】， . 故答案为：；. 13. 若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简条件等式，得到，然后取特殊值得到的最小值. 【详解】， 则，即， 当时，，当时，，当时，， ∴的最小值为. 故答案为： 14. 函数的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数运算可得，设，求导分析单调性得出值域，换元，对再求导分析单调性即可得最小值. 【详解】设，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 设， 则， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示，. （1）求的解析式； （2）若，求函数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的图象，结合五点法作图求出解析式. （2）由（1）的结论，利用差角的余弦公式化简，再求出指定区间上的值域. 【小问1详解】 观察图象得，，函数的最小正周期，解得， 由，得，而，则， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，因此当时，，当时，， 所以所求值域为. 16. （1）当时，求的最大值； （2）判断函数的奇偶性，并加以证明； （3）若关于的方程有实数解，求的取值范围. 【答案】（1） （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域为. 所以，都有. 由，得， 所以函数为奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式，求得当时，取得最小值2.，进而求得的最大值为； （2）由奇函数的定义可判断，并证明函数为奇函数； （3）分离参数，构造新函数，通过求新函数的值域，求得的取值范围. 【详解】（1）当时，. 因为，当且仅当时，取得最小值2. 所以当且仅当时，取得最大值，最大值为； 所以当时，的最大值为. （2）略 （3）由（1）知，当时，； 当时，，所以， 当且仅当，即时，取得最小值2. ，所以. 令，，则， 因为关于的方程有实数解， 所以有实数解，即有实数解. 令， 因为与在和上均单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递增. 或由，得在上单调递增，在上单调递增. 所以. 则. 所以的取值范围是. 17. 已知函数的极大值点是2. （1）求的值； （2）若在上有3个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，求出导数为0的极值点，然后根据已知条件得到的值，最后代入导函数中判断单调性，检验是否满足题意. （2）先判断函数在上的单调性，然后根据零点个数列出不等式方程组，进而求得的范围. 【小问1详解】 对函数求导得. 令，则，解得或. 因为该函数的极大值点是2，所以或. ①当时，. 当时，或；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时2是该函数的极小值点，不合题意； ②当时，. 当时，或；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时2是该函数的极大值点，合题意； 综上可知，. 【小问2详解】 由（1）可知，，. 在上单调递增，在上单调递减， 所以在内，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， . 若函数在上有3个零点，则，解得. 所以的取值范围是. 18. 剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点.现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段上，均在线段上. （1）求圆心角的大小（用弧度表示）； （2）设，且，求的长； （3）求矩形面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由扇形的面积公式建立方程，即可求出圆心角的大小； （2）由（1）知，代入条件得到的值，由平方和关系求得，然后由和差角公式求得，从而求得的长； （3）设，由直角三角形边角的关系分别表示出边长，然后表示出矩形的面积，利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求出最大值. 【小问1详解】 设扇形的圆心角，由扇形的面积，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 由，得， 因此， 所以. 【小问3详解】 设，在中，，， 在中，， 则， 因此矩形的面积 ，由，得， 则当，即时，矩形的面积取得最大值. 19. 设函数. （1）求的单调区间； （2）比较与的大小； （3）当时，证明：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） （3） 令. 则. 令，则. 因为在上单调递减，且，所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为 当时，，所以在上存在一个零点，记为. 又，所以当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 当时，，且.所以恒成立. 所以恒成立，即. 由（2）知，所以. 所以. 因为当时，， 所以当时，得证. 【解析】 【分析】（1）直接利用导数研究函数的单调性，可求得的单调区间； （2）构造函数，利用导数分析函数的单调性和最值，求得的最大值为，从而得. （3）利用（2）的结论，将"证明："转化为"证明：，构造函数，利用导数分析的单调性和最值，可证明恒成立，进而证得当时，. 【小问1详解】 ，易知其定义域为. . 因为与在上均单调递增，所以在上单调递增. 又，所以当时，；当时，. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 令， 则. 令 令. 令. 因为单调递减，且， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在是单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值，最大值为. 所以在上恒成立，所以在上单调递减. 又因为，所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在是单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值，最大值为. 所以恒成立，即恒成立，即. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $