精品解析：福建省龙岩市非一级学校2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年第一学期半期考 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：预备知识、函数、导数及其应用、三角函数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，，”的否定是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】由命题的否定的定义即可得到结果. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，且命题的条件不变． ∴命题“，，”的否定“，，”. 故选：A. 2. 已知集合，则中元素的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得集合A，再根据交集运算即可. 【详解】因为， 所以， 所以该交集中元素的最小值是4， 故选：D. 3. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由终边经过的点坐标求得的值，然后由诱导公式化简代数式，然后代入即可求得结果. 【详解】由题意可知， . 故选：B. 4. 曲线在点处切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，求出曲线在点处切线的斜率，即可求得倾斜角. 【详解】对函数求导得， 所以曲线在点处切线的斜率为. 所以切线的倾斜角为. 故选：A. 5. 已知一组数据为2，4，6，5，m，4，3，则“”是“这组数据的中位数为4”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】依次分析充分性和必要性即可得解. 【详解】“”，则题中数据从小到大排列为或，中位数均为4，充分性成立， “这组数据的中位数为4”，若，仍满足这组数据的中位数为4，必要性不成立， 所以“”是“这组数据的中位数为4”的充分不必要条件. 故选：A 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数与对数函数单调性及三角函数二倍角公式计算比较即可得. 【详解】由函数在上单调递减，则， 由函数在上单调递增，则， 又， 则，即有. 故选：D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，且的最小值为2，则曲线的对称中心的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数图象平移后与原图象重合得出与的关系，再结合的最小值求出，最后根据正弦函数对称中心的性质求出曲线的对称中心的横坐标. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后,可得，由于所得图象与原图象重合， 故，可得， ，因为的最小值为2，故当时，的最小值， 即，解得. 所以，令，解得， 故曲线的对称中心的横坐标为. 故选：. 8. 已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数是奇函数，然后判断该函数是减函数，进而根据奇偶性对不等式进行化简，最后根据单调性求解不等式的解集. 【详解】令，则，所以. 令，则，所以. 所以函数为奇函数. 设，且，则. 由题意知，当时，，所以 因为，所以有. 即，所以在上是减函数. 不等式， 根据单调性可得， 化简得， 解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用指数函数的单调性可判断B选项；利用对数函数的单调性可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，不妨取，则满足，但不满足，A错； 对于B选项，因为函数在上为增函数，且， 所以，即，B对； 对于C选项，因为，则，， 且，由不等式的性质可得， 因为对数函数在上为增函数，故，C对； 对于D选项，由C选项可知， 所以 ， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，D对. 故选：BCD. 10. 已知函数，，则（ ） A. 与的定义域相同 B. 与的值域不相同 C. ， D. 与在上均单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的定义域、值域、零点存在定理及单调性逐项判断计算即可. 【详解】要使得有意义，则，且， 令，对函数求导得， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以的定义域为； 要使得有意义，则，即， 所以的定义域为，可以看出两个函数的定义域不同，所以A错误； 由选项A知，所以， 而，令，则， 所以，因为， 所以根据二次函数的性质可知，所以的值域为. 所以两个函数的值域不同，所以B正确； 令，则，两边平方得 ，化简得. 要使得，则有解， 当时，， 当时，， 根据零点存在定理可知，在内至少存在一个零点， 也就是说，，使得，所以C错误； 对于D，对函数求导得， ，因为，所以， 所以，所以两个函数在上均单调递增，所以D正确. 故选：BD. 11. 已知定义在上的函数为奇函数，且也为奇函数，函数，则的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断是周期为4的函数，然后判断是周期为4的偶函数，结合即可判断选项. 【详解】因为是奇函数，所以. 因为也是奇函数，所以， 令，所以，所以. 所以，所以的周期为4. . 所以为偶函数. 因为的周期为4，的周期为，所以的周期为4. 选项A图像显示周期为2，所以A错误； 又，所以C、D错误，B正确. 故选：B. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用指数的运算性质可得出的值，利用对数的运算性质可求得的值. 【详解】， . 故答案：；. 13. 若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简条件等式，得到，然后取特殊值得到的最小值. 【详解】， 则，即， 当时，，当时，，当时，， ∴的最小值为. 故答案为： 14. 函数的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数运算可得，设，求导分析单调性得出值域，换元，对再求导分析单调性即可得最小值. 【详解】设，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 设， 则， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数部分图象如图所示，， （1）求的解析式； （2）若，求函数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象得到，，再根据，即可得到的解析式. （2）根据（1）结合两角差余弦公式计算化简得出，再应用应用正弦函数图象求解即可. 【小问1详解】 由图知：,， 所以. 因为，且， 所以，. 【小问2详解】 ， 因为，所以，所以， 所以的取值范围是. 16. （1）当时，求的最大值； （2）判断函数的奇偶性，并加以证明； （3）若关于的方程有实数解，求的取值范围. 【答案】（1） （2）函数为奇函数，证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式求最小值，然后即可求得的最大值； （2）写出函数定义域，然后验证与的关系，即可得到函数的奇偶性； （3）整理方程得到的代数式，构造函数并换元令，由（1）知当时，的范围，结合函数单调性求得的范围，由（2）中结论结合函数的奇偶性的应用求得的值域，将代入的代数式即可求得的取值范围. 【详解】（1）， ∵，∴，当且仅当时取等号， ∴. （2）函数的定义域为， ， ∴函数为奇函数. （3），则， 令， 令，则， 由（1）可知当时，， ∵函数在上单调递增，∴，即 由（2）可知函数为奇函数，∴当，， ∴， ∴. 17. 已知函数的极大值点是2. （1）求的值； （2）若在上有3个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，求出导数为0极值点，然后根据已知条件得到的值，最后代入导函数中判断单调性，检验是否满足题意. （2）先判断函数在上的单调性，然后根据零点个数列出不等式方程组，进而求得的范围. 【小问1详解】 对函数求导得. 令，则，解得或. 因为该函数的极大值点是2，所以或. ①当时，. 当时，或；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时2是该函数的极小值点，不合题意； ②当时，. 当时，或；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时2是该函数的极大值点，合题意； 综上可知，. 【小问2详解】 由（1）可知，，. 在上单调递增，在上单调递减， 所以在内，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， . 若函数在上有3个零点，则，解得. 所以的取值范围是. 18. 剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点.现需在半径.面积为扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段上，均在线段上. （1）求圆心角的大小（用弧度表示）； （2）设，且，求的长； （3）求矩形面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由扇形的面积公式建立方程，即可求出圆心角的大小； （2）由（1）知，代入条件得到的值，由平方和关系求得，然后由和差角公式求得，从而求得的长； （3）设，由直角三角形边角的关系分别表示出边长，然后表示出矩形的面积，利用二倍角公式和辅助角公式化简，即可求得面积的最大值. 【小问1详解】 设扇形的圆心角，则扇形的面积， 即，∴. 【小问2详解】 由（1）知，， ∴， ∵，∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 设， 在直角中，，， 在直角中，， ∴， ∴矩形的面积， ∴， ∵，∴， ∴当，即时，面积取最大值，最大值为. 19. 设函数，. （1）求的单调区间； （2）比较与的大小； （3）当时，证明：. 【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） （3）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）写出函数的定义域，求导数，令，求导数，由求得的单调区间，然后求得函数的单调区间； （2）令，求导数，令，求导数，令，求导数，由求得单调区间，从而得到的范围，从而知道的单调区间，然后求得的单调区间，从而求得的最值，然后得到与的大小； （3）由（2）中结论可知，令，讨论当时，写出，令并求导数，从而得到的单调区间，求出的值域，从而知道的最值，得证；当时，判断正负，从而得到的最值，得证. 【小问1详解】 函数的定义域为 ，令，则， ∴在上单调递增，且， ∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 令， 函数的定义域为，， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ∴， ∴函数在上单调递减，且， ∴当时，，单调递增，当时，，单调递减， ∴， ∴. 【小问3详解】 由（2）可知， ∴， 令函数，定义域为 当时，， 令，则， 故当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， ∴，∴，即. 当时，，又∵， ∴，即. 综上所述，当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期半期考 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：预备知识、函数、导数及其应用、三角函数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，，”的否定是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 已知集合，则中元素的最小值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据为2，4，6，5，m，4，3，则“”是“这组数据的中位数为4”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，且的最小值为2，则曲线的对称中心的横坐标为（ ） A. B. C D. 8. 已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，，则（ ） A. 与的定义域相同 B. 与的值域不相同 C. ， D. 与在上均单调递增 11. 已知定义在上的函数为奇函数，且也为奇函数，函数，则的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________，__________. 13. 若，则的最小值为__________. 14. 函数的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示，， （1）求的解析式； （2）若，求函数的取值范围. 16. （1）当时，求的最大值； （2）判断函数的奇偶性，并加以证明； （3）若关于的方程有实数解，求的取值范围. 17. 已知函数极大值点是2. （1）求的值； （2）若在上有3个零点，求的取值范围. 18. 剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点.现需在半径.面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段上，均在线段上. （1）求圆心角的大小（用弧度表示）； （2）设，且，求的长； （3）求矩形面积的最大值. 19. 设函数，. （1）求的单调区间； （2）比较与的大小； （3）当时，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $