精品解析：天津市河东区2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题

河东区2025~2026学年第一学期高一期中质量检测 数学试卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合补集与交集定义计算即可. 【详解】由，则或， 又，则. 故选：A. 2. 若命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得到结论． 【详解】命题，为存在量词命题， 则该命题的否定为，， 故选：D． 3. 若、是全集的真子集，则下列四个命题中与命题等价的有（ ） ①；②；③；④； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集的定义，结合集合交集、并集、补集的定义逐一判断即可. 【详解】因为，所以集合A是集合B的子集．①，则A中所有的元素都在B中，即，所以①正确；②，同样B包含A中所有的元素，即，所以②正确；③，所以B的补集与A没有公共元素，即B中有A所有的元素，所以③正确；④，B的补集是A补集的子集，则A的元素都在B中，即，所以④正确； 故选：D． 4. 下列函数中，在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本初等函数的性质对选项逐项判断即可. 【详解】对A：在上是减函数，故A错误； 对B：在上是增函数，故B正确； 对C：的定义域为，故C错误； 对D：的定义域为，故D错误. 故选：B. 5. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 利用特殊值排除判断ABC，由不等式的性质判断D即可. 【详解】当时，不成立，故A错误； 当时，不成立，故B错误； 当时，不成立，故C错误； ，由不等式性质知，故D正确. 故选：D 6. 使不等式成立的一个充分不必要条件是 A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解出不等式，因为是不等式成立的一个充分不必要条件，所以满足是不等式的真子集即可． 【详解】因为，所以或，需要是不等式成立的一个充分不必要条件，则需要满足是的真子集的只有A,所以选择A 【点睛】本题主要考查了解不等式以及命题之间的关系，属于基础题． 7. 已知不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的求解，等价于一元二次方程的根，利用韦达定理，进行等量代换，可得答案. 【详解】因为不等式的解集为，所以，且和1是方程的两个实数根， 所以，即，所以不等式可化为， 因为，所以，解得或． 故选：D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，对函数分段讨论：得函数在时的解析式，再根据函数的奇偶性做出函数在上的图像，根据图像列出不等式，求解不等式可得选项. 【详解】当时，对函数分段讨论：得到, 做出函数图象，再根据函数为奇函数,其图像关于原点对称,得出时的图象如图所示, 当时，，令，得， 而函数表示为将函数图像向右平移2个单位后所得的函数，图像如下图所示， 要满足在上恒成立，由图像可知：需满足，即，则解得. 故选D. 【点睛】本题考查分段函数、函数图像的平移和函数的奇偶性，以及根据函数的图像求解不等式，属于中档题. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.请将答案填在题中横线上. 9. 函数的定义域是_____ 【答案】 【解析】 【分析】借助分式与二次根式性质计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 10. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 【答案】 【解析】 【分析】先求，再根据奇函数求 【详解】，因为为奇函数，所以 故答案为： 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 11. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，在上单调递增， 所以， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 12. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长为_____________m. 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质可用表示矩形另一边，再结合矩形面积公式与二次函数性质计算即可得. 【详解】如图，设锐角三角形为，过点作于点， 其内接矩形为，与交于点，则m，设m， 由矩形性质可得，则与相似，与相似， 则有，有，即， 即，则矩形面积， 则当m时，矩形面积最大. 故答案为：. 13. 已知，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】∵ ∴且 ∴，当且仅当，即时取等号. ∴的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 14. 设函数 ，若是函数 的最大值，则实数a的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】当时，分和讨论的最大值小于等于，解方程即可得出答案. 【详解】当时，在单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 若，，在处取得最大值， 要使是函数 的最大值，所以，解得：， 则， 若，，在处取得最大值， 要使是函数 的最大值，所以， 即，解得：或，所以. 所以实数a的取值范围为：. 故答案为： 三、解答题：本大题共5小题，满分44分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程. 15. （1）计算； （2）若，比较与的大小. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）借助指数幂的运算法则计算即可得； （2）借助作差法计算即可得. 【详解】（1）原式； （2）， ，则，， 故，即. 16. 已知集合，. （1）若，求的范围； （2）若，求的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解出一元二次不等式后可得集合，再利用交集定义计算即可得； （2）结合真子集定义，分与讨论即可得. 【小问1详解】 由， 解得，即， 由，则， 则有，解得； 【小问2详解】 当时，有，解得，此时符合要求； 当时，有，解得， 此时需满足，且不能同时取等，解得， 又，故无解，不符合要求； 综上所述：. 17. （1）已知，求的最大值； （2）已知、是正实数，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据x的范围，可得，原式转化为，结合基本不等式，即可得结果； （2）根据基本不等式，“1”的妙用，即可求解. 【详解】（1）因为，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，函数（）的最大值为； （2）、是正实数，且，， 则， 当且仅当且时取等号，此时取得最小值. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查“1”的妙用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 18. 已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围. （3）求不等式的解集 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用幂函数定义和性质求解； （2）利用二次函数性质计算即可得； （3）利用二次函数图象与一元二次不等式的关系，根据函数类型、开口方向、根的大小关系进行讨论求解. 【小问1详解】 由幂函数定义可得，即， 解得或， 当时，，此时为奇函数，不符； 当时，，此时为偶函数，符合要求； 综上可得：，则的解析式为； 【小问2详解】 ，对称轴为， 由在区间上不单调，则，解得； 【小问3详解】 ， 当时，有，解得； 当时，令，解得或， 若，则，此时该不等式的解集为， 若： 当，即时，该不等式无解； 当，即时，该不等式的解集为； 当，即时，该不等式的解集为； 综上所述： 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求值； （2）用定义法证明函数在上的单调性； （3）若对于任意的，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得； （2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增； （3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 由于奇函数在处有定义，所以， ，所以， 经检验，此时满足为奇函数，所以. 因为， 所以 小问2详解】 由（1）知. 任取、且， 所以， 因为，则，， 所以，则， 所以，函数上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知在的最大值为 所以对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 所以， 解得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河东区2025~2026学年第一学期高一期中质量检测 数学试卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若、是全集的真子集，则下列四个命题中与命题等价的有（ ） ①；②；③；④； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列函数中，在区间上是增函数是（ ） A B. C. D. 5. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 使不等式成立的一个充分不必要条件是 A. B. C. 或 D. 7. 已知不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.请将答案填在题中横线上. 9. 函数的定义域是_____ 10. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 11. 已知函数在上单调递增，则a取值范围为_________． 12. 在如图所示锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长为_____________m. 13. 已知，则的最小值是_______． 14. 设函数 ，若是函数 的最大值，则实数a的取值范围为____. 三、解答题：本大题共5小题，满分44分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程. 15. （1）计算； （2）若，比较与的大小. 16. 已知集合，. （1）若，求的范围； （2）若，求的范围. 17. （1）已知，求的最大值； （2）已知、是正实数，且，求的最小值. 18. 已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围. （3）求不等式的解集 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性； （3）若对于任意，恒成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $