精品解析：河北省雄安新区2025-2026学年高三上学期11月期中联考数学试题

2026届普通高等学校招生全国统一考试 大联考（高三） 数学（人教版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 为规划社区花园，工人师傅以花园中心为原点建立平面直角坐标系.已知向量表示“从点向正东走3米”，向量表示“从点向正北走4米”.已知一株花卉的位置用向量可表示为，则从点到这株花卉的位置可以（ ） A. 先向正东走4米，再向正北走3米 B. 先向正东走6米，再向正南走2米 C. 先向正西走2米，再向正北走3米 D. 先向正西走4米，再向正南走6米 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. （0，1） B. C. D. 6. 已知函数，则曲线在区间上的对称中心的个数为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，均为整数，且，，则集合的真子集的个数为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数在区间上单调递增，且，则的可能的取值有（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，，满足，为的共轭复数，则下列说法一定正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 设，设为实数，则下列说法一定正确有（ ） A. 为函数的一个周期 B. 存在，使得函数的图象关于点中心对称 C. 存在，使得在区间上有且仅有3个零点 D. 在区间上有且仅有5个极值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，平面向量，，若，则______. 13. 在中，若，，则__________. 14. 已知，且，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数，. （1）若为奇函数，求的值； （2）若为偶函数，求在上的最值. 16. 手机实际充电过程中，为保护电池健康，在不同电量时往往采用不同的模式充电，某旧电池从某个电量开始充电到充满电为的模拟充电实验中，手机电量（单位：）与充电时间（单位：）近似满足：当时，；当时，；当时，.其中，，设为该旧电池开始充电的时刻，，.已知单调递增，当手机检测到电池已经充满电时，系统会自动断开充电连接，以避免电池损耗或其他安全问题. （1）求该旧电池开始充电时的电量及充满电的时间； （2）求，的值. 17. 记的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求的值； （2）若，求取值范围. 18. 已知函数，. （1）求的极值点的个数； （2）证明：当时，有且仅有两个零点； （3）当存在两个零点，时，证明：. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处切线方程； （2）讨论单调性； （3）当时，记图象的对称中心为，则当取得最值时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届普通高等学校招生全国统一考试 大联考（高三） 数学（人教版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解. 【详解】由命题，， 可得的否定为：，. 故选C. 2. 已知虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用复数的除法运算化简，再求复数的模. 【详解】设，则. 故选：A 3. 为规划社区花园，工人师傅以花园中心为原点建立平面直角坐标系.已知向量表示“从点向正东走3米”，向量表示“从点向正北走4米”.已知一株花卉的位置用向量可表示为，则从点到这株花卉的位置可以（ ） A. 先向正东走4米，再向正北走3米 B. 先向正东走6米，再向正南走2米 C. 先向正西走2米，再向正北走3米 D. 先向正西走4米，再向正南走6米 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算性质，结合实际意义，即可判断选项. 【详解】因为向量表示“从点向正东走3米”，所以表示“从点向正东走6米”， ， 因为向量表示“从点向正北走4米”，所以向量表示“从点向正南走2米”， 故从点到这株花卉的位置可以先向正东走6米，再向正南走2米. 故选：B 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的求导法则求得，然后利用导数的定义求解即可. 【详解】由得，所以， 所以. 故选：C. 5. 已知，且，函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. （0，1） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】若分段函数上单调递减，则 故的取值范围为. 故选：B. 6. 已知函数，则曲线在区间上的对称中心的个数为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】结合正弦型函数性质计算可得对称中心的横坐标，，再计算其中在区间中的个数即可得. 【详解】对于函数，其对称中心的横坐标满足， 故，，解得，， 其在区间上的横坐标可以为，，，，， 于是曲线在区间上有个对称中心. 故选：D. 7. 已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，易知在上单调递增，所以在上单调递减， 对于，令，解得， 令，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 因为在上单调递减，所以的单调递增区间对应的单调递减区间， 所以的单调递增区间是. 故选：A. 8. 已知，均为整数，且，，则集合的真子集的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程得或，然后分别求出各个线段上的整数点，最后利用真子集个数结论求解即可. 【详解】要求集合的真子集个数，只需求集合的元素个数， 即，则或. 对于，由整数知且为偶数， 则有个满足条件的； 对于，由整数知且为3的倍数， 则有个满足条件的， 又因为被重复统计，故集合的元素个数是， 故集合的真子集的个数是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数在区间上单调递增，且，则的可能的取值有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先令解出的单调增区间，再根据为单调增区间的子集列不等式，解出，再根据判断选项即可. 【详解】易知的单调递增区间为，，故由可得，，于是可知，是的单调递增区间，而由题意有，，可得，，故，由可知AC正确. 故选：AC. 10. 已知复数，，满足，为的共轭复数，则下列说法一定正确的有（ ） A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数的模的运算可判断A，利用复数的几何意义可判断B，虚数不能比较大小可判断C，利用复数模的不等式可判断D. 【详解】对于A，设，，，，，，为虚数单位， 则，， 故，故A正确； 对于B，记，在复平面上对应的向量分别为，，可知，故B正确； 对于C，取，，，此时虚数无法比较大小，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 11. 设，设为实数，则下列说法一定正确的有（ ） A. 为函数的一个周期 B. 存在，使得函数的图象关于点中心对称 C. 存在，使得在区间上有且仅有3个零点 D. 区间上有且仅有5个极值点 【答案】AC 【解析】 【分析】先通过二倍角公式得，再根据周期的定义判断A；利用中心对称列式推出矛盾判断B；求出函数零点，即可求解零点个数判断C；利用导数研究函数的极值点判断D. 【详解】的定义域为，， 故， ， 故为函数的一个周期，故A正确； 若存在，使得函数的图象关于点中心对称， 则存在，使得对任意的，有， 又，若存在，则必存在使得，也即， 比较两侧值域可知无解，故不存在，故B错误； 令，解得或，即， 也即或，其中为任意整数. 其在区间内的解分别为，和， 故存在，使得在上恰有3个零点，故C正确； ， 且易知的图象是连续不断的曲线， 又，，，，，由函数零点存在定理可知， 在区间，，，上分别至少存在一个零点， 即在区间上至少有4个极值点，且，，，，均为函数的零点. 当与时，； 与时，. 若在开区间上有且仅有5个极值点， 则必存在一个区间存在2个极值点，又要使其在该区间端点上为0， 则其必在此区间内至少存在另一个极值点或另一个零点，矛盾.故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，平面向量，，若，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量的线性坐标运算求得，，然后利用垂直的坐标运算列式计算求解即可. 【详解】由，可得，， 由可得， 所以，解得. 故答案为：4 13. 在中，若，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由求出，求出，再由内角和与诱导公式求出，结合两角和的正切展开式，以及，消去，解出，求得角. 【详解】由可知，与同号， 若且，则均为钝角，这在三角形中不可能， 故且， 因为，，所以， 故，故，解得， 所以，由知，， 解得（负值舍去），故. 故答案为：. 14. 已知，且，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】方程两边取以为底的对数可得，设函数，求导判断函数单调性，可知时，，结合方程有两个不同的实数根，需满足，计算得到结果. 【详解】因为方程有两个不同的实数根，两边取以为底的对数可得， 设函数，则， 故在区间上单调递增，在上单调递减，且，， 趋近于正无穷时，趋近于0，且恒大于0，故时，， 要使得方程有两个不同的实数根，需满足， 注意到，因此，且，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数，. （1）若为奇函数，求值； （2）若为偶函数，求在上的最值. 【答案】（1） （2）最小值为0，最大值为. 【解析】 【分析】（1）先根据奇函数的性质求得，然后代入检验即可； （2）先根据偶函数的性质及特例法求得，然后代入检验符合题意，进而利用两角和的余弦公式化简得，最后利用余弦函数的单调性求最值即可. 【小问1详解】 若为奇函数，则，故，故. 当时，为奇函数，符合题意. 【小问2详解】 因为为偶函数，故可以取， 可知，解得， 经验证时，为偶函数， 故，   因为在上单调递减， 所以在上的最小值为，最大值为. 16. 手机实际充电过程中，为保护电池健康，在不同电量时往往采用不同的模式充电，某旧电池从某个电量开始充电到充满电为的模拟充电实验中，手机电量（单位：）与充电时间（单位：）近似满足：当时，；当时，；当时，.其中，，设为该旧电池开始充电的时刻，，.已知单调递增，当手机检测到电池已经充满电时，系统会自动断开充电连接，以避免电池损耗或其他安全问题. （1）求该旧电池开始充电时的电量及充满电的时间； （2）求，的值. 【答案】（1）， （2），. 【解析】 【分析】（1）由时的解析式，代入得开始充电时的电量；由时的解析式，令，解得充满电的时间； （2）由的解析式，代入，，联立解方程组即可求得，的值. 【小问1详解】 由题意，开始充电的时刻为，此时，将代入得.故该旧电池开始充电时的电量为. 充满电即电量达到，即， 由于，已知单调递增， 故充满电的时刻必大于60.此时，  令，得，，即. 又，符合定义域，故充满电的时间是. 【小问2详解】 易知， 即. ，化简得. 联立，解得，. 经检验，此时满足单调递增的要求，故，. 17. 记的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再利用三角恒等变换得，则或，，根据三角形内角关系分析可得； （2）根据正弦定理和三角恒等变换得，再分析得，从而得解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 故， 即， 故或，. 而，故不成立，于是， 当时，； 当时，， 故，. 【小问2详解】 由（1）可得，， 由知，即，而又因为，故，于是， 根据正弦定理， 于是， 因为，故的取值范围是. 18. 已知函数，. （1）求的极值点的个数； （2）证明：当时，有且仅有两个零点； （3）当存在两个零点，时，证明：. 【答案】（1）一个 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导判断函数的单调性，判断极值点个数； （2）当时，判断函数的单调性，结合零点存在性定理判断； （3）根据零点的定义得，，进而得，结合，得，得证. 【小问1详解】 函数定义域为，对函数求导得， 令，整理得方程，解得， 又因为，显然，不在定义域内， 而，在定义域内， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 故有且仅有一个极值点. 【小问2详解】 当时，. 当，；当，； 若，， 由（1）知，在区间上单调递减，在上单调递增，故， 由函数零点存在定理，在区间上恰有一个零点；在上恰有一个零点，共存在两个零点. 【小问3详解】 由题，可得，， 所以， 由，故，所以， 故， 因为，所以. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，记图象的对称中心为，则当取得最值时，求的值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）求出导数，分类讨论单调性； （3）根据中心对称即，可得的值，则，利用导数求其最值. 【小问1详解】 时，，故， 由，知， 故曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 易得， 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，或时，，单调递增；时，，单调递减. 当时， 或时，，单调递增； 时，，单调递减. 【小问3详解】 ， 由中心对称可得， 代入函数解析式可得， 化简可得， 两边展开可得， 故， 于是， 设，，  当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故当取得最小值时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $