精品解析：河南省周口市2025-2026学年高一上学期期中数学试卷

2025~2026学年度高一第一学期期中考试 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章二第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知幂函数在上单调递增，则m的值为（ ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 4. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）． A. 3 B. C. 1 D. 5. 下列命题是真命题的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C D. 7. 已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为（ ）． A. B. C. 或 D. 8. 已知函数，若对任意，都有成立，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）下列各式中，最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ）． A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数满足，若，则实数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 已知函数的定义域是R，若对任意的，都有成立，且当时，，则下列说法中正确的是（ ）． A. B. 函数是非奇非偶函数 C. 函数在上单调递增 D. 的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______． 13. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______． 14. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且此函数图象过点. （1）求解析式； （2）讨论函数在上的单调性？并证明你的结论. （3）求函数在区间上的最小值和最大值. 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 深圳某甜品店针对市场需求生产一款网红蛋糕，经核算生产该蛋糕的年固定成本为20万元，每生产x千个，需另外投入成本万元，，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部销售完． （1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千个）函数解析式； （2）年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大． 18. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数，其中． （1）证明：若函数为奇函数，则实数和均为定值； （2）当，，，时， （ⅰ）求函数图象对称中心； （ⅱ）求的值． 19. 已知函数，． （1）若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围； （2）设，求关于x的不等式的解集； （3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度高一第一学期期中考试 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章二第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将A集合与B集合用列举法表示，再用交集求答案即可. 【详解】由题知：集合； 集合， 即，所以. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性即可判断得出结论. 【详解】因为函数在上单调递增， 在定义域内任取两实数，令， 则，因此充分性成立； 若，则， 因此“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 已知幂函数在上单调递增，则m的值为（ ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 【详解】由题意可得. 故选：A 4. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）． A. 3 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质计算可得. 【详解】由题意，当时，，则， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 故选：B 5. 下列命题是真命题的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于AB，举例判断即可；对于C，利用不等式的基本性质即可判断；对于D，利用作差法判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，满足，而，故B错误； 对于C，由，则， 而，则，所以，故C错误； 对于D，由， 因为，，所以， 所以，则，故D正确. 故选：D 6. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 定义域关于原点对称，因，即函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，此时，排除B选项. 故选：A. 7. 已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为（ ）． A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由关于x的不等式的解集为或，可得到，化简，解不等式，即可求得答案. 【详解】由关于x的不等式的解集为或， 可知，且-2和1是方程的两根， 故由根与系数的关系得，即得， 又，故不等式为，即，解得， 故选：B 8. 已知函数，若对任意，都有成立，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对任意，都有，得在上单调递减，进而得，解出即可求解. 【详解】由对任意，都有，所以在上单调递减， 所以， 所以， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）下列各式中，最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由正定等条件可判断. 【详解】A项，首先要使式子有意义，， 当时，，故A错误； B项，任意，， 当且仅当时，即时，等号成立 但方程无解，故等号取不到，即，故B错误； C项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为； D项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：CD. 10. 下列说法中正确的是（ ）． A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数满足，若，则实数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据全称量词命题的否定的定义求解判断即可；对于B，根据同一函数的定义判断即可；对于C，利用换元法求解判断即可；对于D，根据抽象函数的定义域求解判断即可. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，函数的定义域为， 的定义域为，两者定义域不同， 所以不是同一个函数，故B错误； 对于C，由，令，则， 所以，解得，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，则，即， 所以函数的定义域为，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数的定义域是R，若对任意的，都有成立，且当时，，则下列说法中正确的是（ ）． A. B. 函数是非奇非偶函数 C. 函数在上单调递增 D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项：将代入题干等式计算即可得出；对于B选项：将代入题干等式根据奇偶性的定义可判断正误；对于C选项：根据定义法证明单调性即可；对于D选项，利用函数单调性与奇偶性综合解不等式. 【详解】由题知：对任意， 都有（*）， 将带入（*）式得：， 故，故A选项正确； 将带入（*）式得， 而函数的定义域是R，易知为奇函数，故B选项错误； ，不妨令：， 令，，则， 将上述带入（*）式得：， 即：， 而，所以， 由题知：且当时，， 所以，故， 根据函数的单调性定义可知：函数在上单调递增，故C选项正确； 由不等式， 由B选项知为奇函数， 所以上述不等式可写为：， 由C选项知：函数在上单调递增， 易知：，解得：或， 故的解集为，故D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根号下的部分非负，以及分式分母不为零，列出不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则， 所以的定义域为. 故答案为：. 13. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简函数为，结合其单调性可得相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故要使函数在区间上是增函数， 需满足，则， 即实数a的取值范围是， 故答案为： 14. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且此函数图象过点. （1）求的解析式； （2）讨论函数在上的单调性？并证明你的结论. （3）求函数在区间上的最小值和最大值. 【答案】（1） （2）单调递增；证明见解析 （3）； 【解析】 【分析】（1）将点代入即可求得的值，从而得到的解析式； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解； （3）结合（2）中结论，利用函数的单调性即可求得的最值. 【小问1详解】 因为函数，且此函数图象过点． 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 不妨设且， 则， 因为且， 所以，则，， 所以，即 所以在上单调递增． 【小问3详解】 由（2）易知，在上单调递增， 所以. 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】(1)根据题意，由集合的运算代入计算，即可得到结果； (2)根据题意，将问题转化为是的真子集，然后分与讨论，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，，则或， 且，则或； 【小问2详解】 由题可知“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 17. 深圳某甜品店针对市场需求生产一款网红蛋糕，经核算生产该蛋糕的年固定成本为20万元，每生产x千个，需另外投入成本万元，，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部销售完． （1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千个）的函数解析式； （2）年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大． 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】（1）根据题意分段讨论即可得； （2）利用二次函数的性质及基本不等式求得两段函数的最大值，取其中最大即可得. 【小问1详解】 由题意，年销售收入万元， 当时，； 当时，， 所以． 【小问2详解】 当时，是二次函数，开口向下， 对称轴为：， 所以（万元）． 当时，， 当且仅当，即时，（万元）， 因为，所以，当时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大为78万元． 18. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数，其中． （1）证明：若函数为奇函数，则实数和均为定值； （2）当，，，时， （ⅰ）求函数图象的对称中心； （ⅱ）求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义，求证即可； （2）（ⅰ）法一：设函数图象的对称中心为，设，根据（1）的结论即可求得，，进而得解； 法二：设，通过计算可得，根据为奇函数即可求解； （ⅱ）根据与关于对称即可求解. 【小问1详解】 证明：因为为奇函数，并且定义域为R， 所以，所以，则， 而，则， 所以，所以， 因为，所以， 综上若函数为奇函数，则实数d和f为定值，均为0． 【小问2详解】 （ⅰ）（法一）因为，，，， 所以， 设函数图象对称中心为， 设，由题可知函数为奇函数， 因为 ， 若为奇函数，由（1）可得，解得，， 则函数图象的对称中心为． （法二）因为，，，，所以， 设， 所以 ， 因为的定义域为R，并且， 所以为奇函数，根据题可得函数的图象关于中心对称． （ⅱ）因为， 所以与关于对称， 所以． 19. 已知函数，． （1）若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围； （2）设，求关于x的不等式的解集； （3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得对任意恒成立，结合判别式即可求得答案； （2）由题意可得的表达式，利用分类讨论的方法，即可求得不等式解集； （3）由题意可得，结合，设，则，由此求出，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得对任意，恒成立， 得对任意恒成立， 即，解得，即． 【小问2详解】 因为， 令，则，， ①当时，，则； ②当时，若，则或； ③当时，若，则或， 综上，若，的解集为； 若，的解集为； 若，的解集为． 【小问3详解】 由题意得对任意，总存在，使得不等式成立， 令，由题意得， 而， 设，则， 而， 易得，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $