精品解析：江苏省苏州市姑苏区新草桥中学 2025-2026学年八年级上学期期中考数学试卷

八年级数学 2025.11 一、选择（每题2分，共16分） 1. 下列式子中，是分式的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 把多项式分解因式，下列结果正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 6. 如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 如图，，，点为射线上的一个动点，分别以，为直角边，点为直角顶点，在两侧作等腰、等腰，连接交于点，当点在射线上移动时，则的长度为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2.5 8. 如图，，点D在它内部，，E，F分别是上的两个动点．则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空（每题2分，共16分） 9. 约分：_____． 10. 计算：_____． 11. 若，，则代数式的值等于_____． 12. 若，则分式的值是_____． 13. 计算：_____． 14. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为___________ 15. 如图，在等腰中，，，垂足为，动点、分别在底边、腰上（点不与点、重合），且．当是以为腰的等腰三角形，则的长度为_____． 16. 如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为_____． 三、解答题（共68分） 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，，相交于点，，．求证：． 21. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．（保留必要的画图痕迹） （1）在直线上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等； （2）在图中找一点O，使得； （3）在（1）（2）小题的基础上，请在上确定一点M，使得两线段，的长度之和的值最小． 22. 阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ， ． 请你仿照上述方法，解决下面问题： （1）若，求的值； （2）已知，求的值． 23. 如图，，，分别是，的中点． （1）证明：； （2）若，，求的长． 24. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法：． 仔细阅读以上内容，解决下面问题： （1）因式分解：_____． （2）已知：、、为的三条边，，求的周长． 25. 如图，在中，，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到． （1）直接写出与的位置关系：_____； （2）如图①，当时，求证：； （3）在点运动过程中，直线与直线相交于点，连接，当时，求线段长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 2025.11 一、选择（每题2分，共16分） 1. 下列式子中，是分式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．一般地，如果A、表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 【详解】解：A、不是分式，故此选项不符合题意； B、不是分式，故此选项不符合题意； C、是分式，故此选项符合题意； D、不是分式，故此选项不符合题意； 故选：C. 2. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解．根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边不是整式的积的形式，该选项不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，该选项不符合题意； C、是因式分解，该选项符合题意； D、，不是因式分解，该选项不符合题意； 故选：C． 3. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．分式有意义时，分母，据此求的取值范围即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 4. 把多项式分解因式，下列结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用十字相乘法分解因式，由（-1）×（-2）=2，（-1）+（-2）=-3可得，写成因式分解的形式即可. 【详解】=. 故答案为B. 【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. 5. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 6. 如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由等腰三角形定义构造等腰三角形，熟记等腰三角形定义是解决问题的关键． 由等腰三角形定义，在网格中作出图形即可确定答案． 【详解】解：如图所示： 使得为等腰三角形的情况有：、、、、、、、，共8个， 故选：D． 7. 如图，，，点为射线上的一个动点，分别以，为直角边，点为直角顶点，在两侧作等腰、等腰，连接交于点，当点在射线上移动时，则的长度为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答． 过点作，垂足为点，首先证明，得到；进而证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点， ， ， ， 、均为等腰直角三角形， ，； 在与中， ， ， ，； ， ， 在与中， ， ， ；而， ， 故选B． 8. 如图，，点D在它内部，，E，F分别是上的两个动点．则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，此时的周长最小，最小值为，证明是等边三角形，即可求解；确定的周长最小的情形是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，，如图所示： 由对称性可知，，，， ∴， 当点、、、四点共线时的周长最小，最小值为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴周长的最小值为， 故选：B． 二、填空（每题2分，共16分） 9. 约分：_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分式约分，约分时，分子和分母同时除以公因式 ，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】， 故答案为 ． 10. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的减法．按同分母分式的减法法则计算． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 若，，则代数式的值等于_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查因式分解――平方差公式．利用平方差公式变形后求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：8． 12. 若，则分式的值是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解决问题的关键． 将已知条件代入分式中，通过化简分式计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1． 13. 计算：_____． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．观察表达式，发现其符合完全平方公式的结构，可直接应用公式简化计算． 【详解】解： ． 故答案为：100． 14. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为___________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了基本作图以及角平分线的性质．利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积； 【详解】解：由作图得平分， ∵， 点到的距离等于的长，即点到的距离为， ∴的面积； 故答案为：2． 15. 如图，在等腰中，，，垂足为，动点、分别在底边、腰上（点不与点、重合），且．当是以为腰的等腰三角形，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形综合，涉及等腰三角形性质、外角性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解决问题的关键． 由等腰三角形性质，结合题意可分两种情况：①；②；先讨论①，结合等腰三角形性质、外角性质，判定此种情况不存在；再讨论②，由等腰三角形的性质、外角性质得到相关角度及线段相等，再由两个三角形全等的判定与性质求出，最后结合等腰三角形三线合一得到，最后数形结合表示出代值求解即可得到答案． 【详解】解：当是以为腰的等腰三角形，则分两种情况：①；②， 当①时，， ， ， 在等腰中，，则， ， 是的一个外角， ，与矛盾，即此种情况不存在； 当②时， 是的一个外角， ， ，， ， 在等腰中，，则， 在和中， ， ， 在等腰中，，，垂足为，则由等腰三角形三线合一性质可得是等腰底边上的中线， ， ； 综上所述，当是以为腰的等腰三角形，则的长度为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形综合，涉及等腰三角形性质、外角性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解决问题的关键． 16. 如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为点，连接，，证明，得，当时，取最小值，求得此时的，便是的最小值． 【详解】解：设的中点为点，连接，，如图， ，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 当时，取最小值为， 长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短性质，关键是构造全等三角形把的最小值转化为的最小值进行解答． 三、解答题（共68分） 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的相关知识，熟练掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式是解答本题的关键． （1）观察多项式各项的公因式，通过提取公因式进行因式分解； （2）识别多项式的形式，利用平方差公式进行因式分解； （3）先提取公因式，再观察剩余部分是否符合完全平方公式进行因式分解； （4）先将多项式看作关于某一字母的二次三项式，利用完全平方公式分解，再对分解后的部分利用平方差公式进一步分解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：． 【小问4详解】 解：． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的加减乘除混合运算． （1）通分并利用同分母分式的减法法则计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时对分子因式分解，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，，相交于点，，．求证：． 【答案】 证明：在和中 ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 直接根据全等三角形的判定和性质作答即可． 【详解】略 21. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．（保留必要的画图痕迹） （1）在直线上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等； （2）在图中找一点O，使得； （3）在（1）（2）小题的基础上，请在上确定一点M，使得两线段，的长度之和的值最小． 【答案】（1）如图，点即为所求． （2）如图，点即为所求． （3） 点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计，线段的垂直平分线的性质，轴对称最短问题等知识； （1）取格点，，作直线交于点，由作图可知垂直平分，则点即为所求； （2）三边垂直平分线的交点，即为所求． （3）作点关于直线的对称点，连接交于点，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解；根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 22. 阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ， ． 请你仿照上述方法，解决下面问题： （1）若，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的变形与求值，熟练运用分式的变形技巧（如取倒数、完全平方公式的变形）是解答本题的关键． （1）利用分式的倒数变形，结合已知条件求出的表达式，进而求出目标分式的值； （2）通过对已知分式取倒数，结合完全平方公式的变形，逐步求出目标分式的值． 【小问1详解】 解：由，得， 则， ． 【小问2详解】 解：由，两边取倒数得， 即， ， 对于，两边取倒数得， 故． 23. 如图，，，分别是，的中点． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，，、分别是，的中点， ， ∵是中点， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，以及勾股定理，掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，利用中点的性质证明； （2）根据等腰三角形的性质及三角形的外角的性质得到，利用 30 度角的直角三角形的性质得到，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ，， ∵是的外角，是的外角， ，， ， ， ， 是中点， ， ， ． 24. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法：． 仔细阅读以上内容，解决下面问题： （1）因式分解：_____． （2）已知：、、为的三条边，，求的周长． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的方法，本题主要包括分组分解法、运用平方差公式进行分解、运用完全平方公式进行分解． （1）将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，得到，再根据偶次方的非负性可得出、、的值，然后求和即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ，，， ，，， ∴，，， ， 故的周长为：10． 25. 如图，在中，，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到． （1）直接写出与的位置关系：_____； （2）如图①，当时，求证：； （3）在点运动过程中，直线与直线相交于点，连接，当时，求线段长度． 【答案】（1） （2） 证明：由折叠的性质得，，， ∵，， ∴，，， ∴； （3）线段的长度为或． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得，，利用线段垂直平分线的判定定理即可得到； （2）求得，，利用即可证明结论成立； （3）分两种情况讨论，证明是等边三角形，利用直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：连接， 由折叠的性质得，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当直线与射线相交于点时， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当直线与线段相交于点时， 同理是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在同一直线上， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 综上，线段的长度为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质．第3问分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $