精品解析：天津市北辰区2025-2026学年上学期 九年级数学期中试卷

2025-2026学年度第一学期阶段练习 九年级 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分120分，考试时间100分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在“答题卡”上，务必将答案填涂在“答题卡”上，答在试卷上无效． 第一部分（选择题共36分） 注意事项： 每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. a 3. 用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣5）2＝4 B. （x+5）2＝4 C. （x﹣5）2＝121 D. （x+5）2＝121 4. 抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（　　） A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 5. 已知关于x的一元二次方程的两根分别为，，则b与c的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 2025 B. 0 C. D. 2023 7. 关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　 　 ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线x=l C. 顶点坐标为（1，2） D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 9. 设，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（　　） A. B. C. D. 10. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 12. 二次函数图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③； ④关于的一元二次方程的两根分别为和1； ⑤． 其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第二部分（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13. 一元二次方程的解是_______________． 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是__________． 15. 一元二次方程的较小的根为______． 16. 已知抛物线与x轴只有一个交点，则m的值是__________． 17. 如图，边长为2正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为_______________ 18. 如图，A点的坐标为，B点的坐标为，C点的坐标为，D点的坐标为．小明发现线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕将某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （I）______． （II）写出旋转中心的坐标是______． 三、解答题（本大题共7小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出，并写出、、三点的坐标． （2）画出关于点的中心对称图形，并写出、、三点的坐标． 21. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为___________；的取值范围是__________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为 22. 已知抛物线的对称轴为直线，请你解答下列问题： （1）求m的值及顶点坐标； （2）求抛物线与x轴的交点坐标，并画出函数图像； （3）当时，y随x增大而___________（填“增大”或“减小”）； （4）当时，x的取值范围是______________． 23. 某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润 元． （2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元． ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？ 24. P是等边三角形内的一点，连结、、，将线段绕点B顺时针旋转60°，得到线段，连结． （1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论． （2）若，连结，试判断的形状，并说明理由． 25. 如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段练习 九年级 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分120分，考试时间100分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在“答题卡”上，务必将答案填涂在“答题卡”上，答在试卷上无效． 第一部分（选择题共36分） 注意事项： 每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A．选项图形是中心对称图形，符合题意； B．选项图形不是中心对称图形，不符合题意； C．选项图形不是中心对称图形，不符合题意； D．选项图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. a 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可． 【详解】A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故此选项错误； B、是一元二次方程，故此选项正确； C、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误； D、当a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 3. 用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣5）2＝4 B. （x+5）2＝4 C. （x﹣5）2＝121 D. （x+5）2＝121 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求解． 【详解】解：x2﹣10x+21＝0， 移项得： ， 方程两边同时加上25，得： ， 即 ． 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握利用配方法，需要方程的两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键． 4. 抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（　　） A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的规律“左加右减，上加下减”，将y＝x2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y＝（x+2）2+1，即可求得答案 【详解】解：根据题意将y＝x2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y＝（x+2）2+1， 故选C 【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键，理解题意弄清是谁平移到谁． 5. 已知关于x的一元二次方程的两根分别为，，则b与c的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由关于的一元二次方程的两根分别为，，利用根与系数的关系，即可求得与的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ，． 故选：C． 【点睛】此题考查了根与系数的关系．此题比较简单，注意掌握若二次项系数为1，，是方程的两根时，则，． 6. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 2025 B. 0 C. D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7. 关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　 　 ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线x=l C. 顶点坐标为（1，2） D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】开口方向由a决定，看a是否大于0，由于抛物线为顶点式，可直接确定对称轴与顶点对照即可，由于抛物线开口向上，在对称轴左侧函数值随x的增大而减小，在对称轴右侧 y随x的增大而增大即可． 【详解】关于抛物线y=3（x－1）2＋2， a=3>0，抛物线开口向上，A正确， x=1是对称轴，B正确， 抛物线的顶点坐标是（1，2），C正确， 由于抛物线开口向上，x<1，函数值随x的增大而减小，x>1时，y随x的增大而增大，D不正确． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线的性质问题，由具体抛物线的顶点式抓住有用信息，会用二次项系数确定开口方向与大小，会求对称轴，会写顶点坐标，会利用对称轴把函数的增减性一分为二，还要结合a确定增减问题． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；同时，方程有两个不相等的实数根需满足判别式大于零。结合两者求解k的取值范围。 【详解】解：∵方程 是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴且， 即， ∴，即 ， ∴ 且 。 故选：B． 9. 设，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴为直线，再根据点到对称轴的距离从小到大为A，B，C，依据抛物线开口向上，则点到对称轴的距离越小，对应的y值越小，即可得到、、的大小关系． 【详解】解： ∴抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴到对称轴的距离从小到大为A，B，C， ∵抛物线开口向上， ∴到对称轴的距离越小，对应的y值越小， ∴、、的大小关系为 故选：C． 10. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设有个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛场，可列出方程． 【详解】解：设共有个队参加比赛， 根据题意得：， 故选：D． 11. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转性质可判断选项A；根据旋转的性质及三角形内角和定理得，可判断选项B；根据旋转的性质及等边对等角可推出，可判断选项C；根据旋转的性质及勾股定理可推出，可判断选项D． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，， ∴，，，，，， 故选项A不符合题意； ∴， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故选项C符合题意； ∵连接，点恰好落在线段上，，， ∴，， ∴，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，角平分线的定义，勾股定理等知识点，掌握旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 12. 二次函数图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③； ④关于的一元二次方程的两根分别为和1； ⑤． 其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质．根据二次函数的对称轴和点在图象上，对称轴为直线，可推导出a、b、c的符号和关系，进而判断各结论的正误． 【详解】解：∵ 对称轴直线， ∴ ，即， ∵ ， ∴ ， ∵ 点 在图象上， ∴， ∴ 结论③正确； ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ 结论①正确； ∵ ， ∴ ，不满足， ∴ 结论②错误； ∵ 对称轴 ，且一根为 ， ∴ 另一根为 ， ∴ 方程的两根为和， ∴ 结论④正确； ∵ 函数在处取得最小值， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即， 当时取等号， ∴ 不恒成立， ∴ 结论⑤错误． 综上，正确结论为①、③、④，一共3个． 故选：B． 第二部分（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13. 一元二次方程的解是_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过移项将方程化为，然后利用直接开平方法求解． 【详解】解：， 移项，得， 两边开平方，得， 故答案为：或． 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），进而分析得出答案． 【详解】解：点M（-5，4）关于原点对称的点的坐标为（5，-4）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点关于原点对称点的性质，熟练并正确掌握关于原点对称点的性质是解题的关键． 15. 一元二次方程的较小的根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，利用因式分解法求出方程的解，即可求出较小的根． 【详解】解：∵， ∴或， 解得， ∵， 一元二次方程的较小的根为， 故答案为： ． 16. 已知抛物线与x轴只有一个交点，则m的值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点得到的判别式等于0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴的判别式等于0， 即：， 解得：， 故答案为：2； 【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程关系，抛物线与x轴交点只有一个，两个，无交点． 17. 如图，边长为2的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，设交于H，连接，可证明，得到，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，设交于H，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，A点的坐标为，B点的坐标为，C点的坐标为，D点的坐标为．小明发现线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕将某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （I）______． （II）写出旋转中心的坐标是______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（I）利用勾股定理求解即可； （II）根据点A的坐标为，建立如图所示的平面直角坐标系，分两种情形，当点A和C，点B和D为对应点或点A和D，B和C为对应点，分别找出旋转中心即可． 【详解】解：（I）， 故答案为：； （II）根据点A的坐标为，建立如图所示的平面直角坐标系， 当点A和C，点B和D为对应点时， 如图点O为旋转中心，坐标为， 当点A和D，B和C为对应点时， 如图点为旋转中心，坐标为， 综上：旋转中心的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变化-旋转，点坐标间的距离，解题的关键是理解题意，运用分类讨论来解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共7小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 选择适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了配方法解一元二次方程． （1）利用配方法得到，然后根据直接开平方法求解； （2）先变形得到，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 或， 解得，． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出，并写出、、三点的坐标． （2）画出关于点的中心对称图形，并写出、、三点的坐标． 【答案】（1）见解析，，， （2）见解析，，， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案，由图可得点的坐标． （2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案，由图可得点的坐标． 小问1详解】 解：如图，即为所求， 由图可得，，，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，，，． 21. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为___________；的取值范围是__________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为 【答案】（1）； （2）当为时，矩形花园的面积为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，矩形的性质，解题的关键是根据题意建立一元二次方程． （1）利用矩形的性质可得到，即可得到的表达式，再根据大于零并小于等于即可得到x的取值范围； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中x的取值范围进行取舍即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得矩形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， ∴当时，可使矩形花园的面积为． 22. 已知抛物线的对称轴为直线，请你解答下列问题： （1）求m的值及顶点坐标； （2）求抛物线与x轴的交点坐标，并画出函数图像； （3）当时，y随x的增大而___________（填“增大”或“减小”）； （4）当时，x的取值范围是______________． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）A，B （3）减少 （4） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式求出m的值，进而求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出对应的顶点坐标即可； （2）根据（1）所求的函数解析式，求出当时，x的值，即可求出抛物线与x轴的交点坐标，再描点，连线画出对应的函数图像即可； （3）（4）利用图像法求解即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； ∴抛物线解析式为． ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式为． 令，则； 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为，， 函数图像如图所示； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； 【小问4详解】 解：由函数图象可知，当时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数与x轴的交点坐标，画二次函数图象，二次函数与不等式之间的关系，对于二次函数，其对称轴为直线，对于二次函数，其顶点坐标为；二次函数与x轴交点的横坐标即为方程的解；画二次函数图像一般利用列表，描点，连线的方法；二次函数的增减性与二次项系数有关，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润 元． （2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元． ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？ 【答案】（1）2000 （2）①2元或8元；②， 【解析】 【分析】（1）根据题意，可以写出商场经营该商品原来一天可获利润的算式，然后计算即可； （2）①根据题意，根据获利润2160元列出方程，解出方程即可；②根据题意，可以写出与的函数关系式，利用二次函数的性质，即可得到当取何值时，商场获利润最大． 【小问1详解】 解：由题意可得， （元， 答：商场经营该商品原来一天可获利润2000元； 【小问2详解】 解：①依题意得： 即 解得：， 经检验：，都是方程的解，且符合题意． 答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元． ②依题意得： ∴ ∵ ∴y有最大值 ∴当时，商店所获利润最大． 【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式和方程． 24. P是等边三角形内的一点，连结、、，将线段绕点B顺时针旋转60°，得到线段，连结． （1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论． （2）若，连结，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2）直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线 （1）根据等边三角形的性质利用判定，从而得到； （2）设，，，由已知可判定为正三角形从而可得到，再根据勾股定理判定是直角三角形． 【小问1详解】 解：猜想：， 证明：∵，， ∴. 又，， ∴， ∴； 【小问2详解】 是直角三角形，理由如下： 由， 可设，，， 连接，如图所示， 在中 由于，且， ∴为正三角形. ∴. 于是在中 ∵， ∴是直角三角形. 25. 如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值． 【答案】（1）y═﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）P（，）；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，以及点A（﹣1，0）、C（2，3）即可求得二次函数解析式、一次函数解析式； （2）过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，设P（m，﹣m2+2m+3），，则点Q（m，m+1），则可求得线段PQ=﹣（m﹣）2+，最后由图示以及三角形的面积公式表示出△APC 的面积，由二次函数最值的求法可知△APC的面积的最大值； （3）根据两点之间线段最短过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，，当M（3，n）在直线DN′上时，MN+MD的值最小. 【详解】（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：， 解得：b=2，c=3． ∴抛物线的解析式为y═﹣x2+2x+3． 设直线AC的解析式为y=kx+b． ∵将点A和点C的坐标代入得，解得k=1，b=1． ∴直线AC的解析式为y=x+1． （2）如图， 设点P（m，﹣m2+2m+3）， ∴Q（m，m+1）， ∴PQ=（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+， ∴S△APC=PQ×|xC﹣xA| = [﹣（m﹣）2+]×3=﹣（m﹣）2+， ∴当m=时，S△APC最大=，y=﹣m2+2m+3=， ∴P（，）； （3）如图1所示，过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，交直线x=3与点M． ∵当x=0时y═3， ∴N（0，3）． ∵点N与点N′关于x=3对称， ∴N′（6，3）． ∵y═﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）． 设DN的解析式为y=kx+b． 将点N′与点D的坐标代入得：， 解得：k=﹣，b=． ∴直线DN′的解析式为y=﹣x+． 当x=3时，n=+=． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，利用二次函数求最值，轴对称的性质.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，求出△APC面积的函数关系式是解（2）的关键，掌握轴对称最短是解（3）的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $