精品解析：福建省九师联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系即可求解. 【详解】对于A，0不是正整数，故A错误； 对于B，不是有理数，故B正确； 对于C，不是整数，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 2. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用特称命题的否定形式分析即可. 【详解】易知，的否定形式为，. 故选：D 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据具体函数的解析式求定义域即可. 【详解】由题知所以 所以函数的定义域为. 故选：B. 4. 下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A. ，对应关系 B. ，对应关系 C. ，对应关系 D. ，对应关系 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，0在中无对应的元素，A不符合题意； 对于B，因为对于任意一个实数，当时，无意义，B不符合题意； 对于C，任意一个实数，，因此同时满足任意性和唯一性，C符合题意； 对于D，当时，，不满足函数值的唯一性，D不符合题意. 故选：C. 5. 若函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合一次函数的单调性求解即可. 【详解】当时，，则； 当时，，则， 所以函数的值域为. 故选：A. 6. 设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是幂函数且图象经过原点确定的值及的解析式，再利用的单调性即可得解. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或. 又的图象经过原点，所以，即. 因为，所以， 又因为在上单调递增， 所以． 故选：A 7. 如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 8. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与对称性构造新函数，判定其单调性计算即可. 【详解】因为，，所以， 即，令，则有， 则在上单调递增. 又是定义在R上的偶函数，， 所以是定义在R上的偶函数. 由，可得， 即，由的单调性和奇偶性， 可得，解得或. 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】取特殊值判断A选项和D选项，由不等式的性质判断B选项，由作差法判断C选项. 【详解】当，时，满足，但是，故A错误； 因为，所以，又，所以，故B正确； 因为，又，所以，，所以，即，故C正确； 当，，，时，满足，，但是，故D错误. 故选：BC. 10. 关于幂函数，下列结论正确的是（ ） A. 的图象经过原点 B. 为偶函数 C. 的值域为 D. 在区间上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，得，利用幂函数的性质判断各选项即可. 【详解】由题意，，所以，即 对于A，的定义域为， 故的图象不经过原点，A错误； 对于B，因为的定义域为， ，故为偶函数，B正确； 对于C，由于，故值域为，C正确； 对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误． 故选：BC． 11. 用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A. B. ， C. 若集合，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】分别分析集合和集合中方程根的个数，再根据不同条件进行判断. 【详解】对于选项： 集合，判别式恒成立，集合有两个元素，，故正确. 对于选项： 集合. 第一部分：，解得或. 当时，有2个不同的根；当时，有1个根. 第二部分：，判别式. 当，即或，此时方程有2个不同的根； 当，即或，此时方程有1个相同的根； 当，即，此时方程无实数根. 由于对于的任意值，方程的根与的根不会相等， 所以当或时，两个方程共有4个实数根，； 当或时，两个方程共有3个实数根，； 且时，两个方程共有2个实数根，； 当时，两个方程共有1个实数根， 所以的值可能为1，2，3，4，故错误. 对于选项 当时，，此时； 当时，； 当时，，此时或； 当时，. ，，故正确. 对于选项： 若，当且仅当，此时或，故错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】令，求解，再代入即可. 【详解】令，解得，所以. 故答案为： 13. 若函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数、反比例函数的性质，根据的单调性，分析计算，即可得答案. 【详解】当时， 为一次函数， 因为单调递减，所以， 当时，为反比例函数， 因为单调递减，所以， 所以由题意可知，解得，即的取值范围是. 故答案为： 14. 已知，不等式恒成立，则实数a的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数得，即，又，令，得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得，恒成立，所以， 又，令， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，即实数a的最小值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式得集合,利用集合的交并补集运算即得结果； （2）将必要条件转化为，列出不等式组 ，求解即得参数范围. 【小问1详解】 当时，，所以，或， 又，所以； 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，所以， 所以解得， 所以实数的取值范围是． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明. 【答案】（1） （2）在区间上单调递减，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求出，再根据求出，即可得解； （2）根据单调性的定义，利用作差法证明即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以，此时是奇函数， 又，解得， 所以，经检验符合题意； 【小问2详解】 在区间上单调递减． 证明如下： 设任意的且， 则， ∵且，∴，，又， ∴，即， ∴在区间上单调递减． 17. 已知，，. （1）比较与的大小； （2）证明. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用作差法，化简表达式，然后根据的符号判断该表达式的正负即可比较大小. （2）根据基本不等式的性质，将化简成，同理可得，，从而证之. 【小问1详解】 解： ， 因为，，，，， 所以，所以. 【小问2详解】 证明：因为，，， 所以，所以，即， 同理可得，， 以上三式相加，两边除以2得. 18. 已知二次函数. （1）若关于x的不等式的解集为，求a和b的值； （2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； （3）解关于x的不等式. 【答案】（1）； （2）； （3） 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}. 【解析】 【分析】（1）利用三个二次关系结合韦达定理计算参数即可； （2）利用二次函数的性质计算即可; （3）含着参数分类讨论计算即可. 【小问1详解】 由题意可知的两个解为， 所以，所以； 【小问2详解】 因为恒成立，则， 即，解之得； 【小问3详解】 原不等式等价于， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则或； 若，则或； 综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}. 19. 已知函数． （1）若，在上单调递增，求a的取值范围； （2）若，设函数在上的最小值为，求的解析式； （3）在（2）的条件下，若对任意，存在，使得恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件可得出的解析式，讨论的范围后结合二次函数的性质可知答案； （2）先根据去绝对值法可得出的解析式，结合二次函数的性质分段讨论出在上的最小值； （3）构造，问题等价于恒成立，建立不等式组可求出实数m的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以时，，此时， 当时，，显然在上单调递减，不满足题意，舍去； 当时，由二次函数的性质可知开口向上，对称轴为， 即，解得， 又，所以实数a的取值范围为． 【小问2详解】 由题意得， （ⅰ）当时，，开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，故． （ⅱ）当时，，则开口向上，对称轴为． ①当，即时，在上单调递增，故； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故． 显然当时，，所以在上，， 即当时，； 当时，，所以在上，， 即； 当时，，所以在上，，即． 综上，. 【小问3详解】 令， 对任意，存在，使得恒成立， 等价于恒成立， 由（2）知， 显然在上单调递增，在上单调递减， 又，所以． 是关于n的一次函数，且定义域为，则，或， 所以，解得， 故实数m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A. ，对应关系 B. ，对应关系 C. ，对应关系 D. ，对应关系 5. 若函数则（ ） A. B. C. D. 6. 设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（ ） A. B. 3 C. D. 4 8. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于幂函数，下列结论正确的是（ ） A. 的图象经过原点 B. 为偶函数 C. 的值域为 D. 在区间上单调递增 11. 用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A. B. ， C. 若集合，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 13. 若函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 14. 已知，不等式恒成立，则实数a的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明. 17. 已知，，. （1）比较与的大小； （2）证明. 18. 已知二次函数. （1）若关于x的不等式的解集为，求a和b的值； （2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； （3）解关于x的不等式. 19. 已知函数． （1）若，在上单调递增，求a的取值范围； （2）若，设函数在上的最小值为，求的解析式； （3）在（2）的条件下，若对任意，存在，使得恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $