精品解析：河南省新乡部分学校2025～2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025～2026学年度高二第一学期期中考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章、第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点在平面Oxy上的射影点的坐标为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点在平面Oxy上的射影点的坐标特征，对各选项进行分析即可. 【详解】在空间直角坐标系中，点在平面Oxy上的射影点的坐标，其竖坐标为，横坐标和纵坐标与该点的横坐标和纵坐标相同， 故点在平面Oxy上的射影点的坐标为. 故选：. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出直线斜截式，根据倾斜角与斜率的关系确定倾斜角大小. 【详解】由题设，设倾斜角为且，则， 所以. 故选：B 3. 方程表示圆，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示圆，应当满足求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得：. 故选：B. 4. 已知直线：：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出的值并进行检验，再利用充分必要条件的概念判断即可. 【详解】由，解得或, 当时，直线：，：，此时两条直线重合，舍掉， 当时，直线：，：，此时两条直线平行， “”是“”的充分必要条件. 故选：. 5. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】将圆心距与半径和、差比较可得结果. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， ， 则，所以两圆相交， 故选：C. 6. 设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出 和的值，求出直线的斜率的取值范围. 【详解】解：如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， ∵，， ∴直线的斜率的取值范围是或 ， 故选：A. 7. 已知圆，直线l：，若圆上恰有两个点到直线l的距离等于1，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得圆心到直线的距离，利用距离公式列出不等式求解即可． 【详解】圆的圆心是，半径， 圆上恰有两个点到直线l：的距离等于1， 所以圆心到直线l的距离， 则，解得或， 即实数b的取值范围是． 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，过原点的直线l交曲线于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小为的二面角，则线段长度的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】作垂直下半平面于点Q，作轴于H，设，由题意可得即为沿x轴把平面直角坐标系折成的二面角的平面角，故，进而求出，结合基本不等式即可得解． 【详解】作垂直下半平面于点Q，作轴于H，连接， 设， 因为平面，x轴在平面内，所以轴， 又轴，，平面，所以x轴平面， 又平面，所以轴， 则即为沿x轴把平面直角坐标系折成的二面角的平面角，故， 因为平面，平面，所以， 又，则， 又，则， 则， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以线段长度的最小值为2． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ） A. l过定点 B. C的半径为3 C. l与C可能相切 D. l被C截得的弦长最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线方程求定点坐标判断A项；根据圆的一般方程与标准方程的互化判断B项；根据直线所过定点在圆内判断C项；当直线l与过定点和圆心的直线垂直时，直线l被C截得的弦长最小，从而计算弦长最小值可判断D项． 【详解】对于A，可变形为， 由，得，所以直线l过定点，故A正确： 对于B，圆C：化为标准方程为， 所以圆C的圆心，半径为，故B正确； 对于C，因为，所以点)在圆C内部， 所以直线l与C不可能相切，故C错误； 对于D，设直线l所过定点为，则当直线时，直线l被C截得的弦长最小． 因为圆心，所以， 所以直线l的斜率，解得，此时直线． 因为圆心到直线l的距离， 所以弦长为，故D正确． 故选：ABD． 10. 在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，点P在棱上 C. 当时，三棱锥的体积为定值 D. 时，存在两个点P，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，当时，可得，所以点P与重合，即为，由利用线面平行的判定定理可判断；对于B，当时，由得，所以点P在线段上；对于C，当时，可得点P在线段上，利用线面平行以及棱锥的体积公式可判断；对于D，当时，取的中点E，的中点F，可得点P在线段上，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】对于A，当时，，得，即， 所以点P与重合，即为， 因为，平面，平面， 所以平面，即平面，故A正确； 对于B，当时，，得，即， 因为，所以点P在线段上，故B错误； 对于C，当时，，得，则， 因为，所以点P在线段上， 平面，即平面， 所以， 所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D，当时，取的中点，的中点，则， 则， 则，则， 因，所以点在线段上， 设，则， 则，， ， 若，则，则， 则，所以，即点为线段的中点， 即当时，存在一个点，使得，故D错误． 故选：AC． 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（ ） A. 圆C的方程是 B. 过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为 C. 若x，y满足圆C的方程，则的最大值是 D. 过直线上的一点P向圆C引切线，则四边形的面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，设点坐标，代入化简即可判断；对于B，设切线夹角为，可得；对于C，设，由题意直线与圆有公共点，列式求解即可；对于D，由条件得四边形面积的表达为，求最小值即可． 【详解】对于A，设，因为，，，则， 化简得，即，故A错误； 对于B，因为，圆心，半径， ，点在圆外， 设两条切线的夹角为， 所以，又，解得，则，故B正确； 对于C，设，由题意直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离，即， 解得，故的最大值是，故C正确； 对于D，由题意可得四边形的面积为 ， 故只需求的最小值即可， 的最小值为点C到直线的距离，即． 所以四边形的面积的最小值为，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________． 【答案】15 【解析】 【分析】由可得：，利用空间向量共线的充要条件列方程组计算即得. 【详解】因，依题意，必有， 即存在唯一的实数，使， 即：，则， 解得：，故. 故答案为：15. 13. 设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由直线与两圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可. 【详解】设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，， 所以，所以（舍）或者， 解得. 故答案为： 【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题. 14. 已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出点A关于直线的对称点B的坐标，可得的最小值. 【详解】可转化为：，则圆心为C(2,1)，半径为. 设A关于直线的对称点B的坐标为(a,b)，则： 的最小值是， 故答案为： 【点睛】本题考查了直线和圆综合问题，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出两直线的交点，再根据两直线垂直求出直线的斜率，最后写出点斜式方程； （2）分类讨论，直线斜率不存在和存在两种，利用圆心到直线的距离列式计算. 【小问1详解】 联立两直线和，解得，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：. 综上：直线的方程为或. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点F到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系， 解法一：根据空间向量平行的坐标表示得，所以，进而可得结论； 解法二：求出平面法向量，可得，进而可得结论； （2）利用直线与平面所成角的向量解法求解； （3）根据点到平面距离的向量公式求解. 【小问1详解】 以D为原点，，，分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，． 解法一： 因为，，则，所以， 又因为A，E，F，四点不共线，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 解法二： 因为，， 设平面的一个法向量为， 则有，即，取，所以， 因为，所以，得， 又因为平面， 所以平面． 【小问2详解】 设直线与平面所成角为，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 设点F到平面的距离为d，因为， 所以， 所以点F到平面的距离为． 17. 已知圆C的圆心C在x轴上，并且过和两点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆相交于M，N两点，的面积为2，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：设圆心C的坐标为，由求得，得圆心C的坐标，由得半径，从而得圆C的标准方程； 解法二：求出线段的中点为D的坐标，线段的垂直平分线的方程，则直线与x轴的交点即为圆心C，圆的半径，从而得圆C的标准方程； （2）解法一：设圆心到直线的距离d，根据弦长公式得，由三角形面积公式列出关于的方程，求解即可； 解法二：由条件可得出，是等腰直角三角形，所以圆心C到直线的距离，解方程即可. 【小问1详解】 解法一：设圆心C的坐标为， 因为A，B是圆上两点，所以， 根据两点间的距离公式，有， 解得，所以圆心C的坐标是． 圆的半径． 所以所求圆C的标准方程是． 解法二：设线段的中点为D． 因为，，可得点D的坐标为， 因为直线的斜率为． 因此线段的垂直平分线的方程是，即． 直线与x轴的交点坐标为，所以圆心C的坐标是， 圆的半径． 所以所求圆的标准方程是． 【小问2详解】 解法一：设圆心到直线的距离为d，， 直线与圆相交于M，N两点，则， 所以， 解得，即，所以， 因为，所以，即， 所以，解得． 解法二：因为圆C的半径，则， 又因为，所以， 所以是等腰直角三角形， 所以圆心C到直线的距离， 所以，解得． 18. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，D为棱上的点，． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）当为何值时，平面与平面所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值是 【解析】 【分析】（1）由底面ABC得，由，得，根据线面垂直的判定定理可得结论； （2）建立空间直角坐标系，由题设，证明即可； （3）求出平面及平面的法向量，得出平面与平面所成的角余弦值的表达式，根据二次函数的性质确定最大值． 【小问1详解】 因为三棱柱是直三棱柱，所以底面， 因为底面，所以， 因为，，所以， 又，，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，所以，，两两垂直． 以B为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图． 所以，，，，，，，． 由题设（）． 因为，， 所以， 所以． 【小问3详解】 设平面的法向量为， 因为，， 所以，即． 令，则． 因为平面的法向量为， 设平面与平面所成角为，， 则． 因为，， 所以，当时，取最小值为， 此时取最大值，此时， 所以当时，平面与平面所成角的余弦值最大，最大值是． 19. 设圆C过点且与圆：相切于点． （1）求C的方程； （2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值； （3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值. 【答案】（1） （2）最大值88，最小值72 （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）求出圆的圆心，半径，由题意得圆C的圆心在直线上，因为直线的方程为，所以设圆心，由求得，进而得圆心C坐标及半径，可得圆C的方程； （2）设，所以，又，解得，从而可得出所求最大值及最小值． （3）解法一：由题可知，设直线m的方程为，代入，根据韦达定理及向量的数量积运算计算即可； 解法二：取中点H，则，利用向量的线性运算及数量积运算计算即可. 【小问1详解】 由已知，将圆的一般方程化为标准方程为， 所以圆的圆心，半径， 因为圆C与圆相切于点， 所以点C，，N三点共线，即圆C的圆心在直线上， 因为直线的方程为，所以设圆C的圆心， 因为，在圆C上，所以， 所以，解得， 则圆心C坐标为，半径， 所以圆C的方程为． 【小问2详解】 设，因为，，三点， 所以 ， 因为点P在圆上运动，则，解得， 所以， 当时，取得最大值88， 当时，取得最小值72． 【小问3详解】 解法一： 由题可知，， 因为直线m过点G，且直线m与圆C相交，则直线m的斜率一定存在， 所以设直线m的方程为， 将代入，得：． 设，，所以，， 所以 ， 所以为定值，这个定值为12． 解法二： 取中点H，连，则，， 所以 ． 所以为定值，这个定值为12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度高二第一学期期中考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章、第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点在平面Oxy上的射影点的坐标为（ ） A. B. C. D. 不确定 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 方程表示圆，则范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 6. 设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 已知圆，直线l：，若圆上恰有两个点到直线l的距离等于1，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，过原点的直线l交曲线于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小为的二面角，则线段长度的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ） A. l过定点 B. C的半径为3 C. l与C可能相切 D. l被C截得的弦长最小值为 10. 在棱长为2正方体中，点P满足，其中，，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，点P在棱上 C. 当时，三棱锥的体积为定值 D. 时，存在两个点P，使得 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（ ） A. 圆C的方程是 B. 过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为 C. 若x，y满足圆C的方程，则的最大值是 D. 过直线上的一点P向圆C引切线，则四边形的面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________． 13. 设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______． 14. 已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点F到平面的距离． 17. 已知圆C的圆心C在x轴上，并且过和两点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆相交于M，N两点，面积为2，求实数m的值． 18. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，D为棱上的点，． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）当为何值时，平面与平面所成角余弦值最大？并求出这个最大值． 19. 设圆C过点且与圆：相切于点． （1）求C的方程； （2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值； （3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $