第4章 一元二次方程复习知识梳理及中考考点精练 2025-2026学年青岛版九年级数学上册

第4章 一元二次方程 1．（2023赤峰中考）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17 【答案】C 【解析】解：∵x2﹣4x﹣1＝0， ∴x2﹣4x＝1， ∴x2﹣4x+4＝1+4， ∴（x﹣2）2＝5． 故选：C． 2．（2024河北中考）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（　　） A．1 B．﹣1 C．+1 D．1或+1 【答案】C 【解析】解：根据题意得，a2﹣2a＝1， 解得a＝1±， ∵a＞0， ∴a＝+1． 故选：C． 3．（2025内江中考）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【解析】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 4．（2025凉山中考）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设月平均增长率为x， 由题意得，， 故选：C． 5（2025青海中考）若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】3 【解析】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：3． 6（2025广元中考）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 7（2025泸州中考）若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 【答案】10 【解析】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 8（2025宿迁中考）方程的两个根分别是，则___________ 【答案】 【解析】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 9．（2025齐齐哈尔中考）解方程： 【答案】， 【解析】解：， ， ， 或， ∴， 10．（2024遂宁中考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1， ，求m的值． 【答案】(1)略（2）m1＝﹣2，m2＝1 【解析】解：（1）x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0， 这里a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1， Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m﹣1） ＝m2+4m+4﹣4m+4 ＝m2+8． ∵m2≥0， ∴△＞0． ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1． ∵ ﹣x1x2＝9，即（x1+x2）2﹣3x1x2＝9， ∴（m+2）2﹣3（m﹣1）＝9． 整理，得m2+m﹣2＝0． ∴（m+2）（m﹣1）＝0． 解得m1＝﹣2，m2＝1． ∴m1＝﹣2，m2＝1． 11．（2025威海中考）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度。 【答案】 【解析】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 12．（2025达州中考节选）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元。 【答案】(1) (2)3元 【解析】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； （2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章章末复习 课标要求 1．能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。 2．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。 3．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 4．了解一元二次方程的根与系数的关系。 知识梳理 一、一元二次方程的定义： 1．定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2．一般形式： 二、一元二次方程的解法 1．直接开平方法：（1）当方程缺少一次项时，即方程为 （2）形如的方程 2．配方法：方程右边是常数项，左边配成完全平方形式，即 3．公式法：一元二次方程的求根公式 4．因式分解:使方程右边为0，左边分解因式，依据若则. 三、一元二次方程的根的判别式： 1．概念：关于的一元二次方程的根的判别式为 2．与根的关系： (1) 方程有两个不相等的实数根 (2) 方程有两个不相等的实数根 (3) 方程有两个不相等的实数根 四、一元二次方程根于系数的关系： 若一元二次方程的两根为，则, 五、一元二次方程的应用： 常见类型 常用数量关系或相等关系 利润问题 利润=售价-进价 利润率= 售价=进价（1+利润率） 总利润=总售价-总成本=单个利润总销售量 面积问题 将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积公式列出一元二次方程 传播（分裂）问题 传染源（分裂母体）+第一轮被传染数（分裂个数）+第二轮被传染数（分裂个数）=第二轮被传染后的总数 增长率问题 设为起始量，为终止量，为增长（降低）的次数，平均增长率公式为) 中考考点 1．（2023赤峰中考）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17 2．（2024河北中考）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（　　） A．1 B．﹣1 C．+1 D．1或+1 3．（2025内江中考）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．（2025凉山中考）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 5（2025青海中考）若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 6（2025广元中考）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 7（2025泸州中考）若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 8（2025宿迁中考）方程的两个根分别是，则___________ 9．（2025齐齐哈尔中考）解方程： 10．（2024遂宁中考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1， ，求m的值． 11．（2025威海中考）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度。 12．（2025达州中考节选）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $