精品解析：湖北省武汉市东湖高新区2025-2026学年八年级数学上学期期中数学试题

八年级数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）． A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 3，4，5 D. 4，4，9 2. 利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式运算正确是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，为了使自行车稳定停放，停放时常常放下它的脚架，这里所运用的几何原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 5. 如图，为了测量水池两边，间的距离，可以先过点作射线，再过点作于，在的延长线上截取，连接，则的长就是，间的距离，用来判定的理由是（ ） A. B. C. D. 6. 一个三角形的面积为，若它的一边长为，则这个边上的高为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（ ）． A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 8. 下列说法错误的是（ ）． A. 一个三角形最多有一个直角 B. 直角三角形的外角不可能是锐角 C. 如果两个三角形有两条边和其中一边上的高分别相等，那么这两个三角形全等 D. 如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等 9. 借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图（1）是长，宽分别为a和b的小长方形，用4个这样的小长方形围成图（2）所示的两个正方形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y．观察图形，下列4个结论中，正确的个数是（ ）个． ①；②；③；④． A 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，已知，分别以，为边作等腰和等腰，，连接，点H为的中点，连接并延长交于点G，若，，则的面积为（ ）． A 5 B. 10 C. 15 D. 20 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡指定位置． 11. 计算：______；______；______． 12. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是 ________． 13. 一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是___________． 14. 已知，则b的值为______． 15. 如图，中，，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接． ①；②；③；④． 其中正确的结论有______．（只需填写序号） 16. 如图是由5个全等的，，，，，与一个小正方形组成，延长分别交、于点M、N，延长交于点P．若，则______． 三、解答题（共8大题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． （1）能围成有一边的长是的等腰三角形吗？如果不能，说明理由，如果能，求出各边长； （2）若该等腰三角形一腰长为，直接写出a取值范围是______． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，在中，，是的角平分线，于E，F在上，． （1）求证：； （2）若，，求的值． 21. 如图是由小正方形组成的7×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A、B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）在图（1）中，在上作点E，使，作的重心O； （2）在图（2）中，点D为格点，请在右边作格点F，使得，在上取一点M，使平分四边形的面积． 22. 阅读以下材料： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， ∴． 请仿照上面方法求解下列问题： （1）若x满足，则______； （2）已知，求； （3）如图，已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是35，分别以、为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积．（提示：） 23. 已知在四边形中，，． （1）【问题背景】如图（1），连接，若，，求的长度； （2）【类比探究】如图（2），点P、Q分别在线段、上，满足，探究、、的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】如图（3），若点Q在的延长线上，点P在DA的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为______． 24. 已知：在平面直角坐标系中，已知． （1）如图（1），点B在y轴负半轴上，且，是以A为直角顶点，为腰的等腰直角三角形，直接写出点C的坐标为______； （2）如图（2），点B在x轴正半轴上，且，点C的坐标是，连接、，过点A作交于点D，求证：； （3）如图（3），P是y轴负半轴上一个动点，若以P为直角顶点，为腰作等腰，过点D作轴于点E，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）． A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 3，4，5 D. 4，4，9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件．三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为3，4，8的三条线段不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为5，6，11的三条线段不能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为3，4，5的三条线段能构成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为4，4，9的三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 2. 利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的高线．熟练掌握三角形的高线的定义，是解题的关键． 根据三角形高线的定义，从三角形的一个顶点出发引对边的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，进行判断即可． 【详解】解：由三角形的高线的定义可知： A、作法错误，不符合题意； B、作法错误，不符合题意； C、作法错误，不符合题意； D、作法正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列各式运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方等．根据运算法则逐一验证各选项． 【分析】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，为了使自行车稳定停放，停放时常常放下它的脚架，这里所运用的几何原理是（ ） A 两点之间，线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性及其应用，熟记相关结论即可. 【详解】解：自行车稳定停放时常常放下它的脚架，是利用三角形具有稳定性的性质   故选：B ． 5. 如图，为了测量水池两边，间的距离，可以先过点作射线，再过点作于，在的延长线上截取，连接，则的长就是，间的距离，用来判定的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据，，，利用判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B． 6. 一个三角形的面积为，若它的一边长为，则这个边上的高为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的除法运算．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵三角形的面积为，它的一边长为， ∴这个边上的高为： ， 故选：A． 7. 如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（ ）． A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的个数问题，根据不在同一直线上的三个点可以构成一个三角形，进行判断即可． 【详解】解：可以组成：，共9个； 故选：D． 8. 下列说法错误的是（ ）． A. 一个三角形最多有一个直角 B. 直角三角形的外角不可能是锐角 C. 如果两个三角形有两条边和其中一边上的高分别相等，那么这两个三角形全等 D. 如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】选项A和B根据三角形内角和及外角性质易判断正确；选项D是三角形全等判定定理之一；选项C中，两边及其中一边上的高相等不一定导致三角形全等，可能存在反例． 【详解】解：∵三角形内角和为，若有两个直角则内角和超过，矛盾， ∴ A正确； ∵直角三角形有一个直角和两个锐角，其外角为内角的补角：直角的外角为直角，锐角的外角为钝角， ∴所有外角均不为锐角，B正确； ∵两个三角形有两条边和其中一边上的高分别相等时，可能对应夹角不同（两种情况的夹角互补），导致第三边不等，从而不全等， ∴ C错误； ∵两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等时，可通过延长中线构造平行四边形，证明第三边相等，从而全等， ∴ D正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合），判断命题真假，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 9. 借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图（1）是长，宽分别为a和b的小长方形，用4个这样的小长方形围成图（2）所示的两个正方形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y．观察图形，下列4个结论中，正确的个数是（ ）个． ①；②；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． 根据图形表示出两个正方形边长与、的关系，结合乘法公式计算逐个判断即可． 【详解】解：由图形可得，，，故①正确； ∴，故②正确； 由图形可得，，故③正确； ， ∴，即故④正确． 综上，正确结论有4个． 故选：D． 10. 如图，已知，分别以，为边作等腰和等腰，，连接，点H为的中点，连接并延长交于点G，若，，则的面积为（ ）． A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中线平分面积，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，延长至点，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，，证明，求出的面积，根据等积转化结合三角形的中线，进行求解即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则， ∵为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，即， ，即； ∵等腰和等腰，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡指定位置． 11. 计算：______；______；______． 【答案】 ①. 1 ②. ③. 【解析】 分析】本题考查了零次幂、平方差公式以及添括号．根据零次幂、平方差公式以及添括号法则计算即可求解． 【详解】解：； ； ． 故答案为：；；． 12. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是 ________． 【答案】##66度 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理．根据三角形的内角和定理和全等三角形的对应角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵两个全等三角形， ∴； 故答案为：． 13. 一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查三角形外角性质，对顶角相等，直角三角形性质，解题的关键是掌握直角三角形性质． 根据三角形内角和定理求出的度数，再利用外角性质求出的度数即可得到结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴． 故答案为： 14. 已知，则b的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式把所给等式左边展开，进而得到，求出a的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，中，，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接． ①；②；③；④． 其中正确的结论有______．（只需填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．由角平分线的定义和三角形内角和定理可求，可判断①；如图，在上截取，连接，证明，得，证明，得，可判断②；如图，延长，交于点，证明，得，由等腰三角形的性质及三角形内角和可推出，可判断③；过点作于，于，由角平分线的性质可得，由全等三角形的性质可得，，得的值，可判断④，即可得解． 【详解】解：①∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，故结论①正确； ②如图，在上截取，连接， ∵平分，平分，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论②正确； ③如图，延长，交于点， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 假设， 则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，与矛盾， ∴假设不成立，即， ∴， 故结论③错误； ④如图，过点作于，于， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故结论④正确； ∴正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 16. 如图是由5个全等的，，，，，与一个小正方形组成，延长分别交、于点M、N，延长交于点P．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、因式分解，设，，根据三角形的全等性质和面积公式，结合已知求出，之间的关系式，从而求得面积比． 【详解】解：如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成， ∴设，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共8大题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用幂的乘方运算法则计算，再利用同底数幂相乘法则计算，然后合并同类项； （2）利用多项式除以单项式法则计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，多项式除以单项式，合并同类项，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 18. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． （1）能围成有一边的长是的等腰三角形吗？如果不能，说明理由，如果能，求出各边长； （2）若该等腰三角形一腰长为，直接写出a的取值范围是______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，确定第三边的取值范围，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）分腰、为底边两种情况讨论，结合三角形三边关系分别求解； （2）根据三边关系，列出不等式组求解． 【小问1详解】 解：当为腰时，底边长为， ，故此情况不符合； 当为底边时，腰长为， ，能构成三角形，故符合， 所以能围成一条边是的等腰三角形，其他两边长分别为，； 【小问2详解】 该等腰三角形一腰长为， 底边长为， 则， 解得：． 故答案为：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． 首先根据多项式除以单项式法则、平方差公式进行运算，然后去括号，合并同类项即可完成化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 20. 如图，在中，，是的角平分线，于E，F在上，． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及角的平分线的性质，掌握全等三角形的判定与性质及角的平分线的性质是解题的关键． （1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． 【小问1详解】 证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， ∴． 21. 如图是由小正方形组成的7×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A、B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）在图（1）中，在上作点E，使，作的重心O； （2）在图（2）中，点D为格点，请在右边作格点F，使得，在上取一点M，使平分四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的判定，三角形的面积． （1）作出的中点E即可，再作出的中点G，连接和交于点O，则点O就是的重心； （2）作，，则即为所作，计算得出四边形的面积，即可得到，利用三角形面积公式求得，据此作出点M即可． 【小问1详解】 解：如图，点E和点O即为所作； 【小问2详解】 解：和点M即为所作； ∵，， ∴四边形的面积， ∴，即， ∴． 22. 阅读以下材料： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， ∴． 请仿照上面的方法求解下列问题： （1）若x满足，则______； （2）已知，求； （3）如图，已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是35，分别以、为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积．（提示：） 【答案】（1）43 （2） （3）24 【解析】 【分析】（1）设，则，，再利用完全平方公式解答即可； （2）设，则，，再利用完全平方公式解答即可； （3）根据题意得：，则，设，则，可得，再由长方形的面积是35，可得，再利用完全平方公式可得，解答即可． 【小问1详解】 解：设，则 ，， ∴； 故答案为：43 【小问2详解】 解：设，则 ，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：根据题意得：，则， 设，则， ∴， ∵长方形的面积是35， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． 23. 已知在四边形中，，． （1）【问题背景】如图（1），连接，若，，求的长度； （2）【类比探究】如图（2），点P、Q分别在线段、上，满足，探究、、的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】如图（3），若点Q在的延长线上，点P在DA的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为______． 【答案】（1）5 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． （1）由已知可得，再根据全等三角形的性质可以得到解答； （2）如图2，延长，在上面找一点K，使得，连接，通过证得到：，，然后结合已知可以得到，根据全等三角形的性质可以得到要证结论； （3）如图3，在延长线上找一点K，使得，连接，构建全等三角形：，由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理证得：，则其对应角相等：，结合四边形的内角和是360度可以推得：． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：，理由如下： 证明：如图，延长，在上面找一点K，使得，连接， ∵， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴即； 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图3，在延长线上找一点K，使得，连接， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 已知：在平面直角坐标系中，已知． （1）如图（1），点B在y轴负半轴上，且，是以A为直角顶点，为腰的等腰直角三角形，直接写出点C的坐标为______； （2）如图（2），点B在x轴正半轴上，且，点C的坐标是，连接、，过点A作交于点D，求证：； （3）如图（3），P是y轴负半轴上一个动点，若以P为直角顶点，为腰作等腰，过点D作轴于点E，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1） （2）见解析 （3）当D在x轴下方时，；当D在x轴上方时， 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，据此即可得出点的坐标； （2）连接，过B作交延长线于H，先根据坐标与图形性质得到，轴，，证明得到，，再证明得到，进而可得结论； （3）当D在x轴下方时，过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，由轴可得，根据题意可知，再结合，进而可得，则，于是得解；同理当D在x轴上方时，得到，可得解． 【小问1详解】 解：如图（1），过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵，， ∴，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：连接，过B作交延长线于H，则， ∵，点C的坐标是， ∴，轴，则，， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴，又， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：当D在x轴下方时，如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ∴； 根据题意可知：， 又， ∴， ， ， 即：； 当D在x轴上方时，如图，过点作轴于点， 同理可证明， ，， ， 即：， 综上，当D在x轴下方时，；当D在x轴上方时，． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $