精品解析：广东省四校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试卷

2025~2026学年度第一学期11月四校联合检测 高二数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知过坐标原点的直线经过点，直线的倾斜角是直线的2倍，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得直线倾斜角，从而求得直线的倾斜角，进而求得直线的斜率. 【详解】直线过原点和，所以斜率为，倾斜角为， 所以直线的倾斜角为，斜率为. 故选：A 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 如图，在四面体中，是的中点，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算求解. 【详解】 故选：B 4. 已知，(其中，，是两两垂直的单位向量)，则与的数量积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的运算律计算即可. 【详解】由题意 . 故选：A. 5. 已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过的母线为，连接，则，以为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求与所成角的余弦值. 【详解】过的母线为，连接，则，又因为，所以， 以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以与所成角的余弦值为. 故选：A. 6. 直线关于轴对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点设是所求直线上任意一点，然后结合点的对称性与已知条件代入求解即可； 【详解】设是所求直线上任意一点， 则关于轴对称的点为，且在直线上， 代入可得，即. 故选：C. 7. 如图，已知正方体棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，从而得到⊥平面，从而点在线段上时，满足平面，点的轨迹长度为. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则， 故， 所以， 又，平面， 所以⊥平面， 故当点在线段上时，满足平面， 点轨迹长度为. 故选：B 8. 已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离为1可求的值. 【详解】因为圆的方程为，故圆的圆心为原点，半径为2， 直线的一般方程为， 因为圆上恰有三个点到直线的距离都等于1且圆的半径为2， 故圆心到直线的距离为1即，故， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，则在上的投影向量为 B. 若空间向量满足，则与夹角为锐角 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据投影向量的定义列式运算得解；对于B，当，同向共线时也成立可判断；对于C，由空间向量共面的推论判断；对于D，由可判断. 【详解】对于A，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，故B错误； 对于C，在中，故四点共面，故C正确； 对于D，由，即，故，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B. 方程表示过点的所有直线 C. 的最小值为 D. 已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据斜率与方向向量的关系，可得其正误；对于B，根据直线方程的表示，通过反例，可得其正误；对于C，根据两点距离公式，结合将军饮马模型，可得其正误；对于D，求得边界直线的斜率，结合图象，可得其正误. 【详解】对于A，设直线上的两个不同点，则，故A正确； 对于B，由当时，，解得，方程表示的直线过定点， 但直线也过，不能由该方程表示，故B错误； 对于C，由， 则该式表示点分别到与的距离之和， 求得点关于直线的对称点， 所以，故C正确； 对于D，直线的斜率，直线的斜率， 由题意可作图如下： 因为直线与线段有交点，所以斜率的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，平行六面体的体积为，，，，且，M，N，P分别为的中点，则（ ） A. 与夹角的余弦值为 B. 平面 C. D. P到平面的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出底面积，再根据棱柱的体积求出高，依题意可得在底面的投影在上，设出投影O，证明投影O为的中点，即可以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量对选项一一验证即可. 【详解】因为，且， 所以四边形的面积为． 因为平行六面体的体积为， 所以平行六面体的高为． 因为， 所以在底面的投影在上． 设在底面的投影为O， 则， 因为， 所以． 因为， 所以O为的中点． 以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，． 则，，，，，，，． 因为， 所以与夹角的余弦值为，故A正确． 设平面的法向量为， 则， 令，则． 因为， 所以与平面不平行，故B错误． 因为， 所以与不垂直，故C错误． 设平面的法向量为， 则， 令，得． 因为， 所以P到平面的距离为，故D正确． 综上所述：选项AD正确， 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的斜截式方程为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】就截距是否为零分类计算后可得所求直线的斜截式方程. 【详解】若直线在两坐标轴上的截距均为零，则直线过原点，故此时直线的斜率为， 故此时直线的斜截式方程为：； 若直线在两坐标轴上的截距不为零，则设直线方程为：， 代入得即，故所求直线的斜截式方程为， 故答案为：或. 13. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式计算得到答案. 【详解】 如图所示建立空间直角坐标系，则， 所以，所以， 所以点到直线的距离是， 故答案为：. 14. 已知与相交于点线段是圆的一条动弦，且则的范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先求得点的轨迹，然后求得线段中点的轨迹，结合向量运算以及圆与圆的位置关系等知识求得正确答案. 【详解】直线，即， 直线过定点，且斜率存在. 直线，即， 直线过定点，直线与轴不平行. 线段的中点为，， 由于，所以， 所以点的轨迹是以线段为直径的圆， 即点的轨迹是圆（除点）. 圆的圆心为，半径为， 设是的中点，连接，则垂直平分， 则，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 即点的轨迹是圆， ，即圆（除点）上的点， 与圆上的点的距离， ， 所以，即， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间内三点，，. （1）求的余弦值； （2）求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）得到、向量后借助空间向量夹角公式计算即可得； （2）得到、向量后借助空间向量夹角公式计算可得，即可得，再借助面积公式计算即可得. 【小问1详解】 、， 则， 即的余弦值为； 【小问2详解】 ，， 则， 则， 则. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）1 （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质有，又，根据线面垂直的判定即可证结论； （2）构建以A为原点，建立空间直角坐标系，根据已知确定对应点坐标，求出平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值； （3）设，根据点共面，利用与平面一个法向量垂直，由向量垂直的坐标表示求，即可确定结果. 【小问1详解】 由平面，平面，则， 又，，平面，所以平面. 【小问2详解】 以A为原点，平面内与垂直的直线为x轴，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 为的中点，，得，， 则有，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，得， 设直线与面所成角为，则有， 所以直线与面所成角的正弦值为1. 【小问3详解】 若线段上存在点使、、、四点共面，设，， 则，， 若、、、四点共面，则在平面内， 又平面的一个法向量为，则有，解得. 所以线段上存在点，使得、、、四点共面，此时. 17. 已知圆的半径为3，圆心在直线上，点. （1）若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程； （2）若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心的横坐标的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知求出圆心，以及圆的方程.分切线斜率不存在，以及斜率存在两种情况，分别求解即可得出答案； （2）由已知求出点满足的轨迹为圆，并求出圆的方程.根据已知得出圆与圆有公共点，列出不等式，求解即可得出答案. 【小问1详解】 联立可得圆心， 所以，圆的方程为. 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到的距离，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线斜率， 切线方程为，即. 因为与圆相切， 所以有到的距离， 即，整理可得，解得， 所以，切线方程为，整理可得. 综上所述，切线方程为或. 【小问2详解】 设圆心，， 则，. 由可得，， 整理可得，，即， 所以，点在以为圆心，为半径的圆上. 由已知可得，圆与圆有公共点， 所以，，即， 平方整理可得，，解得或. 18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记． （1）求证：平面； （2）当的长度最小时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可； （2）利用向量法求出的长度取最小值时的坐标，证明是二面角的平面角，利用向量法求余弦即可, 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系， 则， ，， ． 显然平面的一个法向量为， 而， 因为，平面 所以MN//平面BCE.· · 【小问2详解】 ； 当时，最小，最小值为；此时，为中点时，最短， 则，取的中点，连接，， 则，，， ，，，， 是二面角的平面角． ，， ． 二面角的余弦值是． 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线，交轨迹于，两点，，不在轴上. （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程. 【答案】（1） （2）（i）7（ii）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解； （2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示. （i）结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当、时S的取值范围即可； （ii）设，，直线方程联立圆方程，利用韦达定理表示，同时表示和的方程，求出交点N的坐标即可证明. 【小问1详解】 设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线的斜率不存在， 易得，，则； 若，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即时，取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为7. （ii），设，， 联立消得， 则，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立解得， 则， 所以， 所以点在定直线上. 【点睛】方法点睛：求定点、定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定点（值），再证明这个点（值）与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（值）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期11月四校联合检测 高二数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知过坐标原点的直线经过点，直线的倾斜角是直线的2倍，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，在四面体中，是的中点，，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，(其中，，是两两垂直单位向量)，则与的数量积等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 直线关于轴对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，则在上的投影向量为 B. 若空间向量满足，则与夹角为锐角 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B. 方程表示过点的所有直线 C. 的最小值为 D. 已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11. 如图，平行六面体的体积为，，，，且，M，N，P分别为的中点，则（ ） A. 与夹角的余弦值为 B. 平面 C D. P到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的斜截式方程为__________． 13. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是__________． 14. 已知与相交于点线段是圆的一条动弦，且则的范围为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间内三点，，. （1）求的余弦值； （2）求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与面所成角正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 17. 已知圆的半径为3，圆心在直线上，点. （1）若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程； （2）若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心横坐标的取值范围. 18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记． （1）求证：平面； （2）当的长度最小时，求二面角的余弦值． 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线，交轨迹于，两点，，不在轴上. （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $