精品解析：湖北省宜昌五中教联体2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

2025年秋宜昌市五中教联体期中试题 九年级数学 一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．每题3分，计30分．） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. 点A与点是对称点 B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 6. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，就得到抛物线（ ） A. B. C. D. 7. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条线，一共开了21条线，则这个航空公司共有飞机场（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 9. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 10. 定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：、都是“整点”．抛物线与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每题3分，计15分．） 11. 在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______． 12. 已知a，b是方程的两个根，则的值为______． 13. 将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是___________． 14. 抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点，则关于 x 的一元二次方程a(x－3)2＋c＝3b－bx 的解是________________ 15. 如图，在矩形 中， ，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段 绕点顺时针旋转，点旋转到点，当的最小值为时，则_________． 三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9题，计75分．） 16. 解方程： 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和 的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将 绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若 是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 19. 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口距地面 ，喷出水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点到喷水枪所在直线的距离为 ，且到地面的距离为，求水流的落地点到喷水枪底部的距离． 20. 【综合与实践】为了更好推广宜昌特色美食，让我们一起制定销售方案吧． 主题：宜昌特色美食销售方案制定问题 宜昌美食历史悠久，尤其是“炸广椒炒肥肠”和“红油包子”，前者酸辣脆爽、妥妥的下饭神器；后者香辣多汁、早餐界的扛把子！为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某美食店推出“炸广椒炒肥肠”，“红油包子”两个镇店招牌美食． 素材1 炸广椒炒肥肠 红油包子 21元/份 19元/份 素材2 经统计，该美食店5月份“炸广椒炒肥肠”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“红油包子”7月份销售量为600份． 素材3 为尽快减少库存，决定8月份对“红油包子”作降价促销，已知每份“红油包子”的成本为9元．经试验，发现该款包子每降价2元，月销售量就会增加200份． 问题解决 任务1 求该美食店“炸广椒炒肥肠”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为使该店8月份“红油包子”总利润达到6300元，求该款包子应该降价多少元？ 21. 如图，在四边形 中，AB//DC，，对角线，交于点，平分 ，过点作交的延长线于点，连接 ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若，，求 的长． 22. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴 与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离 ，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在 上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 23. 已知，点F是矩形 边上一点，点E在边上， ，连接 ． （1）如图1，点F在边上，且 ，连接 ．求证： ； （2）如图2，点F在边上，且 ，连接 交 于点G．求证：． （3）在（2）的条件下，， ，则 ． 24. 将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线． （1）直接写出抛物线，的解析式； （2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上， 是以 为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图（2），直线 （ ，为常数）与抛物线交于，两点，为线段 的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段 的中点．求证：直线经过一个定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋宜昌市五中教联体期中试题 九年级数学 一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．每题3分，计30分．） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、未知数的次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时，再根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. 点A与点是对称点 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键． 【详解】解：A．∵与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故A正确，不符合题意； B．∵对应点到对称中心的距离相等， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵与是对应线段， ∴，故C正确，不符合题意； D．与不是对应角， ∴不成立，故D符合题意． 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【详解】二次函数（）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上， 故选D． 5. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过因式分解求解即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： 或 ∴，， 故选： ． 6. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，就得到抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 7. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴为 轴，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，等于，由解析式可知开口向上，则时， 随 的增大而减小，即可判断，，的大小关系． 【详解】解：由二次函数可得，对称轴为 轴， 时的函数值与时的函数值相等，等于， 时， 随 的增大而减小， ∵， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 8. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条线，一共开了21条线，则这个航空公司共有飞机场（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】D 【解析】 【分析】每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航线，每两个飞机场之间只开通一条航线，等量关系为： 飞机场数 （飞机场数-1）=21，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：设这个航空公司共有飞机场 个， 解得 （不合题意，舍去） 所以，这个航空公司共有飞机场7个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，得出飞机航线与飞机场数的等量关系，并能够正确计算是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N， 设Q(，)，则PM=，QM=， ∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°， ∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′， ∴∠QPM=∠PQ′N， 在△PQM和△Q′PN中， ， ∴△PQM≌△Q′PN(AAS)， ∴PN=QM=，Q′N=PM=， ∴ON=1+PN=， ∴Q′(，)， ∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5， 当m=2时，OQ′2有最小值为5， ∴OQ′的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 10. 定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：、都是“整点”．抛物线与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法，利用函数图象确定与y轴交点位置是本题的关键． 画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围． 【详解】解：抛物线化为顶点式为， ∴函数的对称轴：， ∴M和N两点关于对称， 根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是，，，，， 如图所示： ∵当时，， ∴ 当时，， 即：， 解得，， 故选：B． 二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每题3分，计15分．） 11. 在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】（-2，-3） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点（2，3）关于原点对称的点的 坐标是（-2，-3）， 故答案为：（-2，-3）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键． 12. 已知a，b是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系：，熟记根与系数的两个关系式是解题的关键． 13. 将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是___________． 【答案】12.5 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，掌握正方形的面积公式是解题的关键． 设一段铁丝的长度为，另一段为，由正方形的面积公式可得，由二次函数的性质可求解． 【详解】解：设一段铁丝的长度为，另一段为， 则边长分别为， 则， ∴当时，最小，为． 故答案为：12.5． 14. 抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点，则关于 x 的一元二次方程a(x－3)2＋c＝3b－bx 的解是________________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点建立方程组，用含有a的代数式来表示b和c，之后直接将代数式代入方程即可整理求解． 【详解】解：∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点， ∴ ， ①+②×2可得：6a+3c=0， ， ①-②可得：， ， a(x－3)2＋c＝a(x－3)2－2a=3b－bx=3a－ax， ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数且）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质． 15. 如图，在矩形中， ，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，当的最小值为时，则_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质等，过点作于， 的延长线交于点N，过点E作于H，可证四边形是矩形，得到，进而证明，得到 ，，即可知点在边上移动时，点G在射线上移动，又可证明四边形是矩形，得到，，作点A关于的对称点Q，连接 ，交于点G，可得，可知此时的值最小，最小值为线段 的长，即为，再根据勾股定理列出关于a的方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 的延长线交于点N，过点E作于H， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴点F在边上移动时，点G在射线上移动， ∵点E是边的中点， ∴ ， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ， 如图，作点A关于的对称点Q，连接 ，交于点G， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为线段 的长，即为， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：10． 三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9题，计75分．） 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． ()利用根的判别式，即可求出答案； ()用韦达定理，直接得，把根的和与积代入题目条件，得到关于的方程，解出或，根据的条件，即可解答． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 即， 解得：； 【小问2详解】 ∵，是该方程的两个根， ∴， ， ∴， 整理得：， 解得， ∵， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和 的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将 绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若 是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 【答案】（1） 解：如图； （2） 解：如图 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， （1）根据旋转画出图形即可； （2）根据旋转画出图形即可； （3）根据旋转中旋转中心点到对应点的距离相等的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图； 是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为． 19. 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口距地面 ，喷出水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点到喷水枪所在直线的距离为 ，且到地面的距离为，求水流的落地点到喷水枪底部的距离． 【答案】落地点C距离B点米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，确定坐标系，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 根据题意找出顶点坐标，利用待定系数法求出函数解析式，然后求出抛物线与横轴的交点坐标即可． 【详解】解：以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意则抛物线的顶点坐标为， 设解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴， 当时，， 解得或（舍去） ∴落地点C距离B点米． 20. 【综合与实践】为了更好推广宜昌特色美食，让我们一起制定销售方案吧． 主题：宜昌特色美食销售方案制定问题 宜昌美食历史悠久，尤其是“炸广椒炒肥肠”和“红油包子”，前者酸辣脆爽、妥妥的下饭神器；后者香辣多汁、早餐界的扛把子！为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某美食店推出“炸广椒炒肥肠”，“红油包子”两个镇店招牌美食． 素材1 炸广椒炒肥肠 红油包子 21元/份 19元/份 素材2 经统计，该美食店5月份“炸广椒炒肥肠”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“红油包子”7月份销售量为600份． 素材3 为尽快减少库存，决定8月份对“红油包子”作降价促销，已知每份“红油包子”的成本为9元．经试验，发现该款包子每降价2元，月销售量就会增加200份． 问题解决 任务1 求该美食店“炸广椒炒肥肠”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为使该店8月份“红油包子”总利润达到6300元，求该款包子应该降价多少元？ 【答案】任务1：5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2：该款包子应该降价3元 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 任务1：假设增长率为，根据题意列出方程求解即可； 任务2：假设该款包子应该降价元，根据销售方案列出方程求解即可． 【详解】解：任务1：假设增长率为，根据题意得， ， 解得，或（负值舍fcu ）， ∴5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务2：假设该款包子应该降价元，根据题意得， 解得 或 ， 为尽快减少库存，选择 ， ∴该款包子应该降价3元． 21. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分 ，过点作交的延长线于点，连接 ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求 的长． 【答案】 （1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分 ， ∴， ∴， ∴， 又∵ ， ∴ ， 又∵∥ ， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴ 是菱形． （2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴， ， ， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴ ， 在Rt△AEC中， ，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 22. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离 ，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可； （3）分和两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ， ， ，， 将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解： 抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点， 则， ， ， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为，位置如下图所示： 【小问3详解】 解：中 ， 抛物线开口向下， 当时， 在范围内，当 时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 综上可知，或， 的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论． 23. 已知，点F是矩形边上一点，点E在边上， ，连接． （1）如图1，点F在边上，且 ，连接．求证： ； （2）如图2，点F在边上，且 ，连接 交于点G．求证：． （3）在（2）的条件下，， ，则 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出，即可得出答案； （2）过点C作，交于H，连接，证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，根据证明，得出，，证明，即可求出，根据平行线的性质，得出； （3）设 ，则 ，，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出BE的值，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ， ， ∵在 和 中， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：如图2，过点C作，交于H，连接， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∵在 和 中， ∴， ，， ， ， ， 又， ， ， 【小问3详解】 解：设 ，则 ，， 根据解析（2）可知，， ∵， 即， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不符合题意舍去， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 24. 将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线． （1）直接写出抛物线，的解析式； （2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上， 是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图（2），直线 （ ，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段 的中点．求证：直线经过一个定点． 【答案】（1）抛物线的解析式为： y=x2-4x-2；抛物线的解析式为：y=x2-6；（2）点的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线经过定点（0，2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可； （2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出 是等腰直角三角形．设点A的坐标为（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况； （3）根据直线 （ ，为常数）与抛物线交于，两点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可． 【详解】解：（1）∵抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2， 抛物线的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6． （2）如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD， ∵ 是等腰直角三角形， ∴∠BOA =45°， 又∵∠BDO=∠BAO=90°， ∴点A、B、O、D四点共圆， ∴∠BDA=∠BOA=45°， ∴∠ADC=90°-∠BDA=45°， ∴ 是等腰直角三角形， ∴DC=AC． ∵点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上， ∴抛物线的对称轴为x=2， 设点A的坐标为（x，x2-4x-2）， ∴DC=x-2，AC= x2-4x-2， ∴x-2= x2-4x-2， 解得：x=5或x=0（舍去）， ∴点A的坐标为（5，3）； 同理，当点B、点A在x轴的下方时， x-2= -(x2-4x-2)， x=4或x=-1（舍去）， ∴点的坐标为（4，-2）， 综上，点的坐标为（5，3）或（4，-2）． （3）∵直线 （ ，为常数）与抛物线交于，两点， ∴， ∴x2-kx-6=0， 设点E的横坐标为xE，点F的横坐标为xF， ∴xE+xF=k， ∴中点M的横坐标xM==， 中点M的纵坐标yM=kx=， ∴点M的坐标为（，）； 同理可得：点N的坐标为（，）， 设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0）， 将M（，）、N（，）代入得： ， 解得：， ∴直线MN的解析式为y= ·x+2（ ）， 不论k取何值时（ ），当x=0时，y=2， ∴直线经过定点（0，2）． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A、B、O、D四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $