精品解析：上海市崇明区九校（五四制）2025-2026学年九年级上学期期中联考数学试题

2025学年第一学期期中考试试卷 九年级数学学科 （完卷时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列两个图形中，一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个矩形 2. 已知，那么下列等式中成立的是（ ） A. B. C. D. ． 3. 在 Rt 中，，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判定ED//BC的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，下列说法中，不正确的是（ ） A. B. 与方向相同 C. D. 6. 如图，已知在梯形中，，，如果对角线与交于点，的面积分别记作，那么下列结论中，正确的个数是（ ） ① ② ③ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是______． 8. 已知向量与单位向量方向相反，且，那么___________．（用向量的式子表示） 9. 在比例尺为的地图上，相距的两地实际距离是_______． 10. 如果点是线段的黄金分割点，且，，则___________． 11. 已知中，，，则________． 12. 已知，其中顶点，，分别对应顶点，，，如果，，那么_______度． 13. 如果某飞机的飞行高度为，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机与地面控制点之间的距离为________．（用含字母的式子表示） 14. 如图，已知，它们依次交直线于点、、和、、，如果，，则的长是_______． 15. 如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为，它把物品从地面送到离地面5米高的处，则物体从到所经过的路程为______． 16. 如图，矩形内接于，点分别在上，点分别在上，如果，且，则____． 17. 如图，在Rt中，，点是的重心，，则________ ． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，sinB＝，点P为边BC上一点，PC＝3，将△ABC绕点P旋转得到△A'B'C'（点A、B、C分别与点A'、B'、C'对应），使B'C'∥AB，边A'C'与边AB交于点G，那么A'G的长等于______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 20. 如图，已知中，，，，． （1）求线段AE的长； （2）设，．请写出向量关于、的分解式． 21. 如图，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，． （1）求：点的坐标． （2）求：的值． 22. 如图，小岛A在港口P的南偏西方向上，一艘船从港口P沿正南方向以每小时12海里的速度航行，1小时30分后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西的方向上．小岛A离港口P有多少海里（精确到0.1海里）？（参考数据：，，） 23. 已知：如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． （1）求证：； （2）连接，如果，求证：． 24. 上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题对非特殊的锐角比的求解提供了新的思路． 如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1） ． （2）设，那么 （用的代数式表示，以下同）， ． （3） ． （1）根据题目条件填空； （2）【知识迁移】 在中，，，那么 ， ． （3）【拓展应用】 在中，，，，点分别在上，且，，连接、交于点，求的值． 25. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB于点D，P是射线CD上一点，联结AP． （1）求线段CD的长； （2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长； （3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中考试试卷 九年级数学学科 （完卷时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列两个图形中，一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似形，根据相似形的定义，形状完全相同的两个图形是相似图形，进行判断即可. 【详解】解：A、两个直角三角形的形状不一定相同，不一定相似，不符合题意； B、两个菱形的形状不一定相同（对应角不一定相等），不一定相似，不符合题意； C、两个正方形的形状一定相同，一定相似，符合题意； D、两个矩形的形状不一定相同（对应边不一定成比例），不一定相似，不符合题意； 故选：C 2. 已知，那么下列等式中成立的是（ ） A. B. C. D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】比例的性质为两内项之积等于两外项之积，据此可进行解答． 【详解】解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3， ∴3a=2b， A：由以上解释易知A选项错误，不符题意； B：，即，故错误，不符题意； C： ，即，故正确，符合题意； D：，即3a=4b，故错误，不符题意； 故选C． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，掌握基本性质是解题关键． 3. 在 Rt 中，，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用锐角三角函数关系进而表示出AB的长． 【详解】解：如图所示： ∠A＝α，AC＝1， cosα＝， 故AB＝． 故选：D 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确得出边角关系是解题关键． 4. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判定ED//BC的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理推理的逆定理，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】A. 当时，能判断； B. 当时，能判断； C. 当时，不能判断； D. 当时，，能判断. 故选C. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理推理的逆定理，根据定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.能根据定理判断线段是否为对应线段是解决此题的关键. 5. 已知，下列说法中，不正确的是（ ） A. B. 与方向相同 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】A、，故该选项说法错误 B、因为，所以与的方向相同，故该选项说法正确， C、因为，所以，故该选项说法正确， D、因为，所以；故该选项说法正确， 故选A． 【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行． 6. 如图，已知在梯形中，，，如果对角线与交于点，的面积分别记作，那么下列结论中，正确的个数是（ ） ① ② ③ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是梯形的性质，相似三角形的判定与性质，等底或等高的两个三角形的面积之间的关系，证明是解本题的关键． 证，可得，再利用相似三角形的性质以及三角形的面积公式逐一分析判断各选项即可得出结论． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴， ∴，故②正确； ∵， ， ∴， ∴，故①正确； ， ∴， ，故③正确； 故选：D． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，根据相似三角形对应线段的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们对应的角平分线之比是． 故答案为：． 8. 已知向量与单位向量方向相反，且，那么___________．（用向量的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案. 【详解】∵向量与单位向量方向相反，且 故答案为： 【点睛】此题考查了平面向量的知识. 此题难度不大，注意掌握单位向量与相反向量的定义. 9. 在比例尺为的地图上，相距的两地实际距离是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例尺的相关计算，较为简单．根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离的比是，由此计算实际距离，并换算单位． 【详解】解：地图上距离为，比例尺为， 故实际距离为， 由于， 因此实际距离为， 故答案为：． 10. 如果点是线段的黄金分割点，且，，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的定义，正确理解黄金分割点是解题的关键． 根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，比值为可得到，，将代入计算即可． 【详解】解：根据已知条件，画图分析： 点是线段的黄金分割点，且， 即 ． 故答案为：． 11. 已知中，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了互余两角的三角函数的关系，一个角的余切值等于这个角的余角的正切值，据此作答即可． 【详解】解：∵， ∴和互余， ∴． 故答案为：． 12. 已知，其中顶点，，分别对应顶点，，，如果，，那么_______度． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：， ， 故答案为：80． 【点睛】本题考查相似三角形的性质、三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 13. 如果某飞机的飞行高度为，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机与地面控制点之间的距离为________．（用含字母的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查俯角的定义，直角三角形的性质．画出图形，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，飞机在点处，为水平线，地面控制点为点A，则， 根据题意，得，， ， ， ∴． 故答案为：． 14. 如图，已知，它们依次交直线于点、、和、、，如果，，则的长是_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据，，，求出，即可求出﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴﹒ 故答案为：10 15. 如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为，它把物品从地面送到离地面5米高的处，则物体从到所经过的路程为______． 【答案】13m##13米 【解析】 【分析】根据坡度的概念求出AF，然后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过B作BF⊥AF于F， 由题意得，BF＝5米， ∵斜坡的坡度i＝1∶2.4， ∴＝，即， 解得：AF＝12（米）， 由勾股定理得，AB＝（米）． 故答案是：13米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、坡比的计算、勾股定理等知识点，将坡度问题转化为解直角三角形的问题成为解答本题的关键． 16. 如图，矩形内接于，点分别在上，点分别在上，如果，且，则____． 【答案】## 【解析】 【分析】设，则，通过证明，利用相似三角形对应高的比等于相似比建立方程，进而求出的长度． 【详解】解：过点作，交于点， ∵， ∴， ，四边形是矩形， 设，则，， ∵四边形是矩形， ， ∴， ， ∴， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是利用相似三角形的性质建立方程求解． 17. 如图，在Rt中，，点是的重心，，则________ ． 【答案】12 【解析】 【分析】延长交于，如图，根据三角形重心的定义和性质得到为斜边上的中线，，则可求出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质确定的长． 【详解】延长交于，如图， 点是的重心， 为斜边上的中线，， ， ， ． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，sinB＝，点P为边BC上一点，PC＝3，将△ABC绕点P旋转得到△A'B'C'（点A、B、C分别与点A'、B'、C'对应），使B'C'∥AB，边A'C'与边AB交于点G，那么A'G的长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】作PH⊥AB于点H，利用相似三角形的性质求出PH，再证明四边形PHGC′是矩形即可求得． 【详解】解：如图，作PH⊥AB于H． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，sinB＝， ∴， ∴AB＝13，BC＝， ∵PC＝3， ∴PB＝9， ∵∠BPH∽△BAC， ∴， ∴， ∴PH＝， ∵AB∥B′C′， ∴∠HGC′＝∠C′＝∠PHG＝90°， ∴四边形PHGC′是矩形， ∴CG′＝PH＝， ∴A′G＝5﹣＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换，平行线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值．首先根据特殊角的三角函数值把算式转化为实数，然后再根据运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，已知中，，，，． （1）求线段AE的长； （2）设，．请写出向量关于、的分解式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平面向量，相似三角形的性质与判定；解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得，得出，即即可求解． （2）由题意得，再根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ， 由（1）得， ∴， ． 21. 如图，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，． （1）求：点的坐标． （2）求：的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作轴，垂足为，根据，求出，根据勾股定理求出，即可作答； （2）由（1）得出，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义求出即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的应用，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，主要培养了学生的计算能力和推理能力，题目较好，难度适中． 【小问1详解】 解：作轴，垂足为， ，， ， 由勾股定理得：， ∴ 【小问2详解】 解：点的坐标为， ， ∵ ， ， ． 22. 如图，小岛A在港口P的南偏西方向上，一艘船从港口P沿正南方向以每小时12海里的速度航行，1小时30分后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西的方向上．小岛A离港口P有多少海里（精确到0.1海里）？（参考数据：，，） 【答案】60.2海里 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题﹒过作，垂足为﹒根据题意求出海里，设海里，得到海里．在中，求出海里．列方程，解得， 即可求出海里，从而求出海里﹒ 【详解】解∶如图，过作，垂足为﹒ 由题意得（海里）， 设海里， ， 海里． 在中，∵， 海里． ， ． ， ∴（海里）， （海里）﹒ 答：小岛A离港口P约有60.2海里． 23. 已知：如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． （1）求证：； （2）连接，如果，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2） 如图，连接． ∵， ∴，即． ∵， ∴，即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴由三角形中位线定理得出：． 【解析】 【分析】（1）由题意得，再根据，即证明，得出，从而又可证明； （2）连接．由题意易得出，由得出，即可证明，得出．再根据，得出，从而推出，进而得出，最后由三角形中位线定理即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理．熟练掌握三角形相似的判定定理及其性质是解题关键． 24. 上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题对非特殊的锐角比的求解提供了新的思路． 如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1） ． （2）设，那么 （用的代数式表示，以下同）， ． （3） ． （1）根据题目条件填空； （2）【知识迁移】 在中，，，那么 ， ． （3）【拓展应用】 在中，，，，点分别在上，且，，连接、交于点，求的值． 【答案】（1）；；； （2）； （3）1 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题中思路解答即可． （2）作平分交于，过作于，设，则，由面积法求得，进而即可求得；同理可得：； （3）连接，证出，设，求出，则可得出答案． 【小问1详解】 解：先作，其中，；然后延长到点，使，连接． ∵， ∴， ∴． 设，那么，，． ∴． 故答案为：，，，． 【小问2详解】 解：如图，作平分交于，过作于， ， ， ， 在中，， 即， 设，则， ， ， ， 即， ， ， 同理可得：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：连接， ， ， ， ，， ， ， 设， ， ， ， ， ， ． 25. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB于点D，P是射线CD上一点，联结AP． （1）求线段CD的长； （2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长； （3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长． 【答案】（1）；（2）；（3）CP的长是或或． 【解析】 【分析】（1）作辅助线，证明四边形ECFD是正方形，设DF=x，则CF=x，BF=2﹣x，由△BDF∽△BAC，得，可得CD的长； （2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先根据C、B、P、A四点共圆，得∠APB=90°，可知AP=BP，由角平分线性质得：PM=PN，根据HL证明Rt△PMA≌Rt△PNB（HL），得AM=BN，设AM=x，则PM=CM=x+1，CN=2﹣x，由CM=CN列方程可得x的值，可得CD的长； （3）存在三种情况： ①当PM=CM时，如图3，同理作出辅助线，根据△PCM是等腰直角三角形，可得CP的长； ②先根据勾股定理求AB=，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CP的长； ③由△CPN∽△CMH，列比例式结合①可得CP的长． 【详解】详解：（1）如图1，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F． ∵DF平分∠ACB，∠ACB=90°，∴DE=DF． ∵∠DEC=∠ACB=∠CFD=90°， ∴四边形ECFD是正方形． 设DF=x，则CF=x，BF=2﹣x． ∵DF∥AC， ∴△BDF∽△BAC， ∴ ， ∴x=． ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴CD=； （2）如图2． ∵∠PAB=∠PCB=45°， ∴C、B、P、A四点共圆， ∴∠ACB+∠APB=180°． ∵∠ACB=90°， ∴∠APB=90°， ∴△APB是等腰直角三角形， ∴AP=BP． 过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，联结PB． ∵PM=PN， ∴Rt△PMA≌Rt△PNB（HL）， ∴AM=BN． 由（1）知：四边形MCNP是正方形， ∴CM=CN． 设AM=x，则PM=CM=x+1，CN=2﹣x， ∴x+1=2﹣x，x=， ∴CM=， ∴CP=； （3）若△CMP是等腰三角形，存在三种情况： ①当PM=CM时，如图3，同理作出辅助线． ∵∠PCN=45°， ∴△PCN是等腰直角三角形， ∴CN=PN， 同（2）得：CP=； ②Rt△ACB中，AC=1，BC=2， ∴AB=． ∵M是AB的中点， ∴CM=CP=AB=； ③作CM的中垂线交CD于P，则CP=PM，过M作MH⊥CD于H． 由①知：CG（就是CP=）=，CH=． ∵△CPN∽△CMH， ∴ =， CP=． 综上所述：CP的长是或或． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形相似的性质和判定、正方形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，与方程相结合，设未知数，列方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $