精品解析：四川省自贡市第一中学校2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

自贡一中2025-2026学年度上学期高一年级期中考试 数学试题 卷I（选择题共58分） 注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，则如图中的阴影部分表示（ ） A. {2，4} B. {3，5} C. {5} D. {2，3，4，5} 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知函数，则的值等于（ ） A. 11 B. 2 C. 5 D. 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若且，则x，y至少有一个大于1 B. C. 的充要条件是 D. 6. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．漏选得部份分，有错选不得分. 9. 已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的单调递减区间为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的单调递增区间为和 10. 已知关于的不等式解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与不是同一函数 B. 若正实数，满足，则有最小值为5 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 卷II（非选择题共92分） 注意：用黑色或蓝色字迹的钢笔或签字笔答在答题卡指定位置上，答错位置不计分. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则 ______. 13. 已知函数满足：，则______________． 14. 已知函数满足对任意，，恒成立，则函数的值域为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求集合； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数 （1）求，； （2）若，求实数的值； （3）在所给的坐标系中作出函数在区间内的图像． 17. 已知函数的图象过点，且． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值； （3）判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论． 18. 某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元. （1）该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值） （2）若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算?请说明理由. 19. 定义运算：，其中为非零常数．已知，且关于的方程有两个不相等的实数根． （1）证明：为定值． （2）若，求的值． （3）求关于的不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡一中2025-2026学年度上学期高一年级期中考试 数学试题 卷I（选择题共58分） 注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称命题的否定可得出结论. 【详解】命题为全称命题，则命题的否定为，， 故选：A． 2. 已知集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，则如图中的阴影部分表示（ ） A. {2，4} B. {3，5} C. {5} D. {2，3，4，5} 【答案】C 【解析】 【分析】图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合，然后可选出答案. 【详解】因为集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}， 所以图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合，即 故选：C 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】举出反例即可判断A；根据不等式的性质即可判断BD；利用作差法即可判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，， 由，得，所以，故C正确； 对于D，由，得，又，所以，故D正确． 故选：A． 4. 已知函数，则的值等于（ ） A. 11 B. 2 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，令求出x即可计算作答. 【详解】函数，令，得， 所以. 故选：C 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若且，则x，y至少有一个大于1 B. C. 的充要条件是 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，和特称量词命题和全称量词命题的证明方法，逐一说明各选项命题真假，得出结果. 【详解】当且时，，所以当时，x，y至少有一个大于1，所以A正确； 当时，，所以B错误； 当时，可知无法推导，所以不具备充分性，C错误； ，所以，所以D错误； 故选：A. 6. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式的分母不为0求解． 【详解】由题意可知，所以， 故的定义域为， 要使函数有意义， 则解得． 故选：D． 7. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 8. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立. 【详解】因为， 所以由题意 ， 因为，所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立， 综上所述，的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否. 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．漏选得部份分，有错选不得分. 9. 已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的单调递减区间为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的单调递增区间为和 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象直接判断单调区间和最值即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，D正确． 故选：ACD 10. 已知关于的不等式解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系及韦达定理，结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由已知可得，并且是方程的两根， 则由韦达定理可得：，解得，，所以A错误； 选项B：不等式化简为，解得，所以不等式的解集为，所以B错误； 选项C：，所以C正确， 选项D：化简为，解得，所以不等式的解集为，所以D正确， 故选：CD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与不是同一函数 B. 若正实数，满足，则有最小值为5 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两个函数的对应法则不同可判断A；利用基本不等式可判断B；利用对勾函数的单调性可判断C；利用一元二次不等式恒成立的条件可判断D． 【详解】对于A，函数，所以函数与不是同一个函数，故A正确； 对于B，正实数，满足，则， 当且仅当，即时取等，故B正确； 对于C，，因为函数在上单调递增，所以当时，，故C错误； 对于D，当时，不等式即，满足题意，当时，则有，解得， 综上所述，满足题意的的取值范围是，故D错误． 故选：AB． 卷II（非选择题共92分） 注意：用黑色或蓝色字迹的钢笔或签字笔答在答题卡指定位置上，答错位置不计分. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，列出方程，求得或，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】因为，可得或，解得或， 当时，可得，此时不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，可得，符合题意. 故答案为：. 13. 已知函数满足：，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】由方程组法求出的解析式，代值计算可得的值. 【详解】因为函数满足①， 所以，②， 联立①②得，故. 故答案为：. 14. 已知函数满足对任意，，恒成立，则函数的值域为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据单调性定义易知函数在定义域上递增，进而列不等式求参数范围，最后由的单调性求值域． 【详解】由题设在定义域上递增，所以， 而在上递增， ，，故其值域是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求集合； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出分式不等式的解集，即可得解； （2）依题意可得，再分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 由，则，则， 等价于，解得， 所以. 【小问2详解】 因为是的必要条件，， 当，即，解得，此时满足题意，所以； 当，即时，，，解得； 综上实数的取值范围为． 16. 已知函数 （1）求，； （2）若，求实数的值； （3）在所给的坐标系中作出函数在区间内的图像． 【答案】（1），； （2）2或0； （3） 【解析】 【分析】（1）代入求值即可； （2）分与两种情况，列出方程，求出实数的值，去掉不合要求的解． （3）根据分段函数解析式即可作出函数图象. 【小问1详解】 易知， 【小问2详解】 当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍）， 综上可得或0； 【小问3详解】 由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示： 17. 已知函数的图象过点，且． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值； （3）判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3） 函数在上是减函数．证明如下： 设， 则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出值； （2）由（1）得，再根据双勾函数求最值即可； （3）利用单调函数的定义证明函数的单调性． 【小问1详解】 由的图象过点，得， 又， 联立解得：，， 函数的解析式为； 【小问2详解】 由（1）得， ，， 所以当且仅当时，， 所以； 【小问3详解】 略 18. 某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元. （1）该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值） （2）若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算?请说明理由. 【答案】（1）3 （2）方案①较合算，理由如下： 该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出， ， 当且仅当时，取等号， 方案①最后的利润为：（万）； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出， ， 时，利润最大， 方案②的利润为（万）， 两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， 方案①较为合算. 【解析】 【分析】（1）由，能求出该车运输3年开始盈利. （2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万）；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万），比较时间长短，进而得到方案①较为合算. 【小问1详解】 由题意可得，即， 解得， ， 该车运输3年开始盈利.； 【小问2详解】 略 19. 定义运算：，其中为非零常数．已知，且关于的方程有两个不相等的实数根． （1）证明：为定值． （2）若，求的值． （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）证明：由题可知，则， 关于的方程即为，则， 所以，为定值. （2） （3）当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或或． 【解析】 【分析】（1）根据定义由可得，根据一元二次方程的根与系数关系可得，由此可得结论， （2）结合（1）由条件可得，再利用根与系数关系将变形为，由此可得结果， （3）结合定义原不等式可化为，，分，，，，五种情况解一元二次不等式可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）方程可化为， 由， 解得或. 由，得， 解得或. 因为或，所以. 【小问3详解】 由（1） 所以， 所以，且. 由（2）知或， 当时，，则该不等式的解集为或； 当时，，则该不等式的解集为； 当时，，则该不等式的解集为； 当时，，则该不等式的解集为； 当时，，则该不等式的解集为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $