精品解析：江西省稳派智慧上进2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

江西省2025-2026学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．考查范围：第一章占40%，第二章占50%，第三章第一节占10%. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题否定方法可得出结论. 【详解】命题“，”的否定为：“，”， 故选：B. 2. （ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质即可求解. 详解】， 故选：A 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】化简集合，即可根据选项逐一求解. 【详解】， 故，，，不是的子集，C正确，ABD错误. 故选：C 4. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简两个集合，即可根据补集和交集的定义，结合图形求解. 【详解】由，可得或，， 故或 由图可知阴影部分表示的集合为， 故选：D 5. “关于的方程的解集为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义来确定答案. 【详解】充分性：当且时，方程的解集为，但此时，不满足，故充分性不成立；  必要性：当时，二次函数恒正，方程无解，因此的解集为，故必要性成立；  故选：B. 6. 已知函数满足对任意，都有，且不恒为0，则下列结论一定正确的是（ ） A. 的值不确定 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 【答案】B 【解析】 【分析】取特值可判定A；结合A的结论，根据奇函数定义赋值可证明B正确；取特殊函数，可否定CD. 【详解】对于A：设 ，，则，所以 ，故A不正确； 对于B：设 ，，则方程：，结合， 即得，所以是奇函数，故B正确； 对于CD：取，满足， 不是偶函数，，，不满足， 故CD错误. 故选：B 7. 对任意，将不大于的正整数中与互质的数的个数记作，且称为欧拉函数．对于，给出下列命题：①；②；③若为质数，则；④若，是互质的正整数，则，其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】命题①②④特值验算进行否定；根据欧拉函数的定义可以证明命题③正确. 【详解】命题①：. 不大于 6 的正整数有 1， 2， 3， 4， 5， 6，与 6 互质的数有 1 和 5，共 2 个，故  ，该命题错误； 命题②：. 取 ：（不大于 2 的正整数中，只有1与2互质）， （不大于 1 的正整数中，只有1与1互质，故 )， ，不相等，该命题不恒成立，错误； 命题③：若  为质数，则 . 当  为质数时，所有小于  的正整数（1 至 ) 均与  互质（因为质数无除 1 和自身外的因数）. 故  成立，该命题正确； 命题④：若，是互质的正整数，则 . 取：，是互质的正整数，，，， （互质数有 1， 5），，相等而非小于，故该命题错误. 综上，正确命题只有③，共 1 个. 故选：A 8. 若函数在区间与区间上的最大值与最小值均相等，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，对分类讨论，求解函数的最值，即可根据不等式的性质求解. 【详解】作出的大致图象如下： 当时，令，则， 若，则在区间的最小值为，最大值为， 此时在区间的最大值一定大于，不符合题意，舍去， 若，则在区间的最小值为，最大值为， 要使在区间的最大值为1，最小值为0，则需满足， 此时， 若时，在区间的最小值为，最大值为， 要使在区间的最大值为1，最小值为0，则需满足， 此时，则， 若，则在区间的最小值为，最大值为， 要使在区间的最大值为1，最小值为0，则需满足， 此时， 当时，在区间的最小值为， 此时在区间的最小值一定大于0，不符合题意，舍去， 综上可知：的范围为， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中是同一函数的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及对应关系即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，两个函数的定义域不相同，故不是同一个函数，A错误； 对于B，两个函数的定义域均为，且对应关系相同，故是同一个函数，B正确， 对于C， 的定义域为，而的定义域为，两个函数的定义域不相同，故不是同一个函数，C错误， 对于D， 由于两个函数的定义域相同，且，故对应关系相同，因此为同一函数，故D正确， 故选：BD 10. 若函数是定义域为的奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象可能关于某条直线对称 C. D. 若时，，则时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由奇函数定义可判定A正确；取特殊函数可判定B正确；注意到可以判定C错误；利用奇函数的性质可以证明D正确. 【详解】对于 A，由奇函数的定义可知，，即，故A正确； 对于B，设，这是奇函数，且关于直线对称，故B正确； 对于C，由A可知，故，此时的分母无意义，故C错误； 对于D，当时，， 由时，， 现在，所以，即，所以，故D正确. 故选：ABD 11. 已知集合为至少有2个元素的有限数集，集合为非空数集，且．记中最大的元素为，对及，当时恒有，则（ ） A. 存在，，对，恒有 B. 当，时，的取值范围为 C. 当，时，的取值范围为 D. 当，时，的取值范围为或 【答案】AC 【解析】 【分析】根据新定义举例说明即可判断A；根据定义列出不等式即可判断B；根据定义以及一元二次方程根的分布即可判断C；先化简集合N，再根据定义判断D. 【详解】对于A，当，时，显然符合题意，故A正确； 对于B，因为， 所以， 根据题意，，，得， 所以，得， 又， 所以且且， 综上：，故B错误； 对于C，因为， 所以， 根据题意，且，，即方程的根都大于2， 令，则，解得， 又集合N为非空数集，且， 所以判别式为且，解得且， 综上：a的取值范围为，故C正确； 对于D，因为， 所以， 因为，即, 根据基本不等式可知： 因为， 所以，解得， 还需满足及，当时恒有， 显然上式已满足， 又因为 故a的取值范围为或或，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据函数解析式即可求解. 【详解】，故， 故答案为：6 13. 若函数的定义域为，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据具体函数定义域的性质，列出不等式，根据不等式恒成立的条件，求出参数范围. 【详解】由题意可知在上恒成立，即在上恒成立， 可得，解得，即取值范围为. 故答案为：. 14. 已知正数，，满足，则的最小值为_____；的最小值为_____ 【答案】 ①. 1 ②. 2 【解析】 【分析】利用常数换元齐次化后，分离常数，利用基本不等式求得①；先固定，利用基本不等式使最大化，进而化简，换元，进一步化简，最后利用二次函数的性质得到②. 【详解】对于空①： ，当且仅当时取等号，所以的最小值为； 对于空②： 记，先固定，，由基本不等式的性质知，,当且仅当 时去等号，取到相对于固定的时的最大值. 因为 ，所以 . 表达式变为：, 设，则 ，，， , 设. 由二次函数的性质知当且仅当 时取得最大值。 因此 的最小值为 . 由，即 ，，. 所以， 故答案为：1；2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）用分数指数幂表示：（i）；（ii）； （2）若，把写成正分数指数幂的形式。 【答案】【答案】（1）（i），（ii）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据分数指数的定义求解；（2）根据幂与分数指数关系求解。 【详解】（1）（i）； （ii）. （2）由， 16. （1）若，解关于的不等式； （2）已知，，证明：． 【答案】（1）,（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据，且，将不等式变形为，即可求解， （2）利用基本不等式以及不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由于，故，且， 故不等式等价于，解得， 故不等式的解为， （2）， 由于，，故，当且仅当时取到等号， 故，故，进而， 因此， 故，当且仅当时取到等号， 17. 已知函数． （1）用定义证明在区间上单调递增； （2）若在区间上的值域为，求、的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （2）分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，根据可求出实数、的值. 【小问1详解】 任取、且，即， 所以 ， 因为，则，，所以，即， 故函数在区间上单调递增. 【小问2详解】 由二次函数的单调性可知，函数的增区间为，减区间为， 当时，函数在区间上单调递增， 此时，， 又因为，解得，； 当时，函数在区间上单调递减， 此时①，②， ①②得， 因为，则，整理可得，则③， 将③代入①可得，即，，无解； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，矛盾. 综上所述，，. 18. 已知使命题：“，”为真命题的的取值集合为，使函数在区间上单调递增的的取值集合为． （1）求； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围； （3）若“”是“恒成立”的充分条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分离参数，利用不等式求解最值即可得解， （2）根据二次函数的单调性，结合根式的性质化简集合，即可求解并集，进而根据必要条件的定义求解即可， （3）根据二次函数的性质即可列不等式求解. 【小问1详解】 若，为真命题，则，，故， 由于,故，当且仅当时取到等号， 故，即，故， 【小问2详解】 要使在区间上单调递增，则需满足，解得，故， 或， 要使“”是“”的必要条件，故或， 故或 【小问3详解】 “”是“恒成立”的充分条件， 即“或”是“恒成立”的充分条件， 则方程的两根在内，所以， 若对称轴，则，此时不成立，故舍去， 若对称轴，则，此时不成立，故舍去， 因此只需考虑或，解得 19. 已知函数． （1）证明：是奇函数； （2）用表示不超过的最大整数，求函数的值域； （3）求在区间上的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得，从而得，再由奇函数的判断方法，即可求解； （2）分别求出时，值域，再结合题设定义，即可求解； （3）通过等价换元，将问题转化成在上的最小值，再利用二次函数的性质，分，，三种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 由，得到，又，则， 所以，其定义域为或， 定义域关于原点对称，又， 所以是奇函数. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 又，则，所以， 所以当时，， 又时，，则， 因为，则，所以， 所以时，，又时，， 所以当时，，当时，， 故的值域为. 【小问3详解】 因为，又，则， 令，则，令，则， 所以，其对称轴为， 若时，在区间上单调递增，在处取到最小值，所以， 若时，由二次函数的性质知， 若时，在区间上单调递减，在处取到最小值，所以， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2025-2026学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．考查范围：第一章占40%，第二章占50%，第三章第一节占10%. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. （ ） A. 8 B. 4 C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5. “关于的方程的解集为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数满足对任意，都有，且不恒为0，则下列结论一定正确的是（ ） A. 的值不确定 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 7. 对任意，将不大于的正整数中与互质的数的个数记作，且称为欧拉函数．对于，给出下列命题：①；②；③若为质数，则；④若，是互质的正整数，则，其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若函数在区间与区间上的最大值与最小值均相等，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中是同一函数有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 10. 若函数是定义域为的奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象可能关于某条直线对称 C D. 若时，，则时， 11. 已知集合为至少有2个元素的有限数集，集合为非空数集，且．记中最大的元素为，对及，当时恒有，则（ ） A. 存在，，对，恒有 B. 当，时，的取值范围为 C. 当，时，的取值范围为 D. 当，时，的取值范围为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 已知函数，则_____． 13. 若函数的定义域为，则的取值范围是_____． 14. 已知正数，，满足，则最小值为_____；的最小值为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）用分数指数幂表示：（i）；（ii）； （2）若，把写成正分数指数幂的形式。 16. （1）若，解关于的不等式； （2）已知，，证明：． 17. 已知函数． （1）用定义证明在区间上单调递增； （2）若在区间上的值域为，求、的值． 18. 已知使命题：“，”为真命题的的取值集合为，使函数在区间上单调递增的的取值集合为． （1）求； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围； （3）若“”是“恒成立”的充分条件，求的取值范围． 19 已知函数． （1）证明：是奇函数； （2）用表示不超过的最大整数，求函数的值域； （3）求在区间上的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $