精品解析：青海省海南藏族自治州高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

海南州高级中学2025~2026学年第一学期期中考试 高三数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，则. 故选：C. 2. 曲线在处的切线斜率为（ ） A. 1 B. －1 C. 3 D. －3 【答案】B 【解析】 【分析】对给定的函数求导，再将代入导函数中，得到的结果就是曲线在处的切线斜率. 【详解】因为，所以曲线在处切线斜率为． 故选：B. 3. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分不必要的定义判断即可. 【详解】且，则， 但，不能推出且， 例如：，满足，但. 故选：. 4. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数奇偶性求解析式即可. 【详解】解析 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 故选：D． 5. 已知,,,则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】；， 故 故选B 点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平方关系及差角的余弦公式求解. 详解】由，得，由，得， 所以 . 故选：B 7. 已知函数，，的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可. 【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为， 它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 8. 若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为在区间恒成立，分离参数后结合对勾函数的单调性可得. 【详解】， 因为函数在区间单调递增， 所以在区间恒成立，即在区间恒成立， 即在区间恒成立， 由对勾函数的单调性可得故. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. ，，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，利用验证向量平行；B选项，利用验证向量垂直；C选项，利用模长公式求出；D选项，列出方程组，发现方程组无解，故不存在，，使得. 【详解】因为，故，A正确； 因为，所以，B正确； ，，故，C正确； 因为，所以， 即，无解，故不存，，使得，D错误. 故选：ABC 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上的最小值为 C. 点是图象的一个对称中心 D. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 【答案】BC 【解析】 【分析】由周期公式判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；由代值法判断C；根据图象平移写出解析式判断奇偶性可判断D. 【详解】对于A，的最小正周期为，A错误； 对于B，当时，，由余弦函数的单调性可得此时函数单调递减，所以在区间上的最小值为，B正确； 对于C，因为，所以点是图象的一个对称中心，C正确； 对于D，因为，所以平移后得到的图象不关于轴对称，D错误； 故选：BC. 【点睛】三角函数图象变换题的解题入手点 1.对于函数，其图象的基本变换有如下几种： （1）纵向伸缩变换：由的变化引起，时伸长，时缩短； （2）横向伸缩变换：由的变化引起，时缩短，时伸长； （3）横向平移变换：由的变化引起，时左移，时右移； （4）纵向平移变换：由的变化引起，时上移，时下移． 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换． 2.若变换前后的函数名不同，则需要先利用诱导公式将函数名化一致，再利用相应的变换得到结论． 3.由的图象得到的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来进行推． 11. 已知函数的极小值点为，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 当时， D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意结合极值点可得或，并代入结合单调性检验，即可判断AB；根据题意结合函数单调性求函数值的取值范围即可判断C；利用作差法判断D. 【详解】因为函数的定义域为，且， 若函数的极小值点为，则，解得或， 若，则， 令，解得或；令，解得； 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以为函数的极大值点，不合题意； 若，则， 令，解得或；令，解得； 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以为函数的极小值点，符合题意； 综上所述：，且在上单调递增，故A错误，B正确； 对于选项C：因为，令， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，且， 可得，即，故C正确； 对于选项D：因为， 若，则， 可得，所以，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”的否定为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用全称命题的否定形式分析即可. 【详解】由全称命题的否定形式可知命题“”的否定为： “”. 故答案为： 13. 已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的减法运算可得，，根据三点共线可得存在实数，使，然后列方程求解即可. 【详解】由已知可得， ， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 则，即且，解得. 故答案为： 14. 在中，内角，，的对边分别是，，，且，则面积的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理结合基本不等式可得，由三角函数性质计算可得，再由三角形面积公式计算即可. 【详解】由余弦定理可得， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 因为，在上单调递减， 所以，则， 所以的面积. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15. 已知函数． （1）求的值及的最小正周期； （2）求的单调递增区间及对称轴． 【答案】（1）， （2）单调递增区间为；对称轴为． 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式代值计算，利用周期公式计算即得； （2）利用正弦函数的图象性质，整体处理易求得单调区间及函数的对称轴方程. 【小问1详解】 因为，所以， 的最小正周期． 【小问2详解】 令，解得， 所以的单调递增区间为； 令，解得， 所以的对称轴为． 16. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. （1）用，表示向量； （2）若点F在上，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量基本定理得到，； （2）设，所以，结合条件得到，从而得到. 【小问1详解】 因为，是的中点，所以， 因为是的中点， 所以； 【小问2详解】 设，所以， 又，所以，所以， 设，则，又D是的中点， 故，， 故. 17. 在中，，． （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合题意可得答案； （2）由，可得，结合（1）与可得，然后由余弦定理可得，最后由三角形面积公式可得答案. 小问1详解】 由正弦定理边角互化，， 因在三角形中，，则，结合， 可得； 【小问2详解】 因，，则. 由（1），则，则. 由余弦定理：， 则，从而. 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）证明见详解；（3） 【解析】 【分析】（1）因为函数是奇函数，故，建立方程关系求解即可； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）由函数的奇偶性将不等式转化为，然后再利用单调性求的取值范围． 【详解】（1）是上的奇函数， ，即， 解之得； （2）由（1）知，， 设任意的，，满足，则，，， ， 即，所以在上是增函数； （3）， ， 为奇函数， ， 由（2）知，在上是增函数， ，即恒成立， ，解得， 综上所述，的取值范围是. 19. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）由题已知，可得函数解析式，先求函数的导数，得出单调区间，再判断出极值． （2）当和时，由导数可知在上单调递增，知，满足题意；当时，可知在上单调递减，可知，不合题意；由此可得的取值范围； 【小问1详解】 当时，故. 当时；当时 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； ∴当时有极小值，无极大值. 【小问2详解】 因为，所以 令 ， 令，则； （i）当，即时，恒成立，， 则在上单调递增，又，恒成立，满足题意； （ii）当，即或时， 令，解得：，； 当时，，在上恒成立， 则在上单调递增，又，恒成立，满足题意； 当时，，又，，； 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 则当时，，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南州高级中学2025~2026学年第一学期期中考试 高三数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在处的切线斜率为（ ） A. 1 B. －1 C. 3 D. －3 3. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知,,,则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，的零点分别为，则（ ） A B. C. D. 8. 若函数在区间单调递增，则实数取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. ，，使得 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上最小值为 C. 点是图象的一个对称中心 D. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 11. 已知函数的极小值点为，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”的否定为_______________. 13. 已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则______. 14. 在中，内角，，的对边分别是，，，且，则面积的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15. 已知函数． （1）求的值及的最小正周期； （2）求的单调递增区间及对称轴． 16. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. （1）用，表示向量； （2）若点F在上，且，求. 17. 在中，，． （1）求； （2）若，求面积. 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若当时，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $