第2章解直角三角形复习知识梳理及中考考点精练2025-2026学年青岛版数学九年级上册

第2章章末复习 课标要求 1．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（ sinA , cosA , tanA )，知道30°,45°,60°角的三角函数值。 2．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 3．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。 知识梳理 一、锐角三角比的定义 1．定义：锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比 ∠A的正弦：sin A = ∠A余弦：cos A = ∠A正切：tan A = 二、特殊的锐角三角比 30 45 60 sin cos tan 1 三、用计算器求锐角三角比 常见运算的按键顺序 类型 举例 按键顺序 显示结果 三角函数值 Sin16° 0.275 637 355 知三角函数值求角度 sinA=0.9816 78.991 840 39 四、直角三角形的边角关系 1．三边关系（勾股定理）： 2．两锐角关系：∠A + ∠B = 90° 3．边角关系： 五、解直角三角形 1．定义：由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形 2．方法：（1）已知两边解直角三角形，（2）已知一边及一锐角解直角三角形 3．应用：（1）常见类型： 仰角、俯角 视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角 方向角 点位于点的北偏东30°方向，点位于点的南偏东60°方向，点位于点的北偏西45°方向（或西北方向） 坡度（坡比）、坡角 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫坡度（坡比），用字母表示；坡面与水平线的夹角叫坡角，=tan= （2）基本思想：转化思想、模型思想 （3）基本思路： 第一步将实际问题转化为解直角三角形的问题。 第二步解直角三角形，求出有关的边和角。 第三步明确问题的答案。 中考考点 1．（2025天津中考）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（2025云南中考）如图，在中，．若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024临夏州中考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，则BC的长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 4．（2024达州中考）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan∠BCD的值为（　　） A．2 B． C． D．3 5．（2024威海中考）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB的长，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025兰州中考）如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则__________． 7．（2024眉山中考）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是______海里． 8．（2025北京中考）计算：． 9．（2025青海中考）计算： 10．（2024浙江中考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 11．（2025泸州中考）如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 12.（2025资阳中考）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 学科网（北京）股份有限公司 $第2章解直角三角形 1.(2025天津中考)tan45·-V2cos45°的值等于() A.0 B.1 c1.号 D.1-V2 【答案】A 【解析l解：an45。-V反cos45=1-V反×号=0 故选：A, 2.(2025云南中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若 AB=13,BC=5,则sinA=() A.吉 B.立 C. D. 【答案】D 【解析】解：∠C=90°，AB=13,BC=5, ∴在Rt△ABC中，sinA=脂= 故选：D. 3.(2024临夏州中考)如图，在△ABC中，AB=AC=5,siB=鲁，则BC的长是() B A.3 B.6 C.8 D.9 【答案】B 【解析】解：过点A作BC的垂线，垂足为M, A B M 在Rt△ABM中， sinB=A AB AM=5×4=-4, 5 ∴.BM=√52-42=3. 又，AB=AC, .∴.BC=2BM=6」 故选：B. 4.(2024达州中考)如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2， ∠ABD=120°，其中点A,B,C都在格点上，则tan∠BCD的值为() A.2 B.2V3 D.3 【答案】B 【解析】解：如图，延长BC交格点于E,连接AE, 由题意可得：AE⊥BE,AE=4√3，EC=2, '.tan∠BCD=tan∠ACE= E=4W3=2√3， EC 2 故选：B B 5,(2024威海中考)如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米，用计算器 求AB的长，下列按键顺序正确的是() B 7米 28 A A.Z☑☒sm28日 B.⑦日m2⑧曰 c.☑☒m28曰 D.☑日回Z8曰 【答案】B. 【解析】解：在Rt△ABC中，∠BAC=28°，BC=7米， sin28°=7 AB 7 ,∴AB= sin28°， 因此按键顺序为： 7☑日sSm28= 故选：B B 7米 28 女 C 6.(2025兰州中考)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC,垂足为E,交BD于点F, BE=CE.若AB=4y3,则AF= 【答案】4 【解析】解：连接AC,CF, :AE⊥BC,BE=CE, ·AE垂直平分BC, AB=AC :菱形ABCD :BC=AB=4V3 ·△ABC是等边三角形 ∠ABC=60°， ·∠BAE=∠FBC=30° :BE=AB=专×45=2N3 6=58=5×25=6.歌=胃= =2 :AF=AE-EF=6-2=4. 故答案为：4 7.(2024眉山中考)一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方 向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向 航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 海里. 北 北 60° 45 A 【答案】(63+6) 【解析】解：过点C作CH⊥AB于H. ,∠DAC=60°，∠CBE=45°， ∴.∠CAH=90°-∠CAD=30°，∠CBH=90°-∠CBE=45°， ∴.∠BCH=90°-45°=45°=∠CBH, ..BH=CH, 北 北 DA 3 60 459 ⊙ H 在R△4CH中，∠CAH=30°，4H=AB+B班=12+CH,tam30°=器. :cH=写 (12+CH), 解得CH=6(V5+1). 答：渔船与灯塔C的最短距离是6(3+1)海里. 故答案为：(6W3+6), 8.(2025北京中考)计算：1-31+V27+()-2sin30。. 【答案】4+3V3 【解标】解：-3+V27+(告)-2sin30· =3+3V5+2-2× =4+33 9.(2025青海中考)计算：2+(1-V回°+5-2sin30° I答案】3V3 【解析1解：V2+(1-2°+5-2sin30° =2W5+1+V5-2×为 =3V5 10.(2024浙江中考)如图，在△ABC中，AD1BC,AE是BC边上的中线，AB=10,AD =6,tan∠ACB=1. (1)求BC的长， (2)求sin∠DAE的值 B E D 【答案】(1)14 (2) V37 37 【解析】解：(1)：AD⊥BC,AB=1O,AD=6, ∴BD=√AB2-AD2=V102-62=8: ,tan∠ACB=1, ..CD=AD=6, ∴.BC=BD+CD=8+6=14: (2),AE是BC边上的中线， ∴CE=专BC=7 .DE=CE-CD=7-6=1, AD⊥BC, .AE=AD2+DE2=62+12=37. m∠D4B-盟-府-哥 11.(2025泸州中考)如图，在水平地面上有两座建筑物AD,BC,其中BC=18m·从 AB之间的E点(AE,B在同一水平线上)测得D点，C点的仰角分别为75°和30° ,从C点测得D点的仰角为30·· D 30°1C 759 130° (1)求∠CDE的度数： (2)求建筑物AD的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）， 【答案】(1)45 (2(27+9V3)m 【解析】(1)解：如图所示，过点C作CH⊥AD于H,则∠DHC=90°， 由题意得，∠DCH=30°，∠AED=75°，∠DAE=90°， ∠CDH=180°-∠DCH-∠DHC=60 ∠ADE=180°-∠AED-∠DAE=15°， ∴∠CDE=∠CDH-∠ADE=45°； D 30° 75 30° ■■ A E B (2)解：如图所示，过点E作ET⊥CD于T,则∠ETD=∠ETC=90°， D H 30°1C 75o 30° E B ∴∠DET=90°-∠EDT=45o ∴∠CET=180°-∠AED-∠DET-∠BEC=30o; BC 18 在Rt△BCE中，CE=am2是c=n3o=36m, 在Rt△CTE中，CT=CE·sin∠CET=36·sin30°=18m, ET=CE·cos∠CET=36·cos30°=18V3m, 在Rt△DB7中，Dr=-=18v5m, .CD=DT+CT=(18+18V3)m, 在Rt△DCH中，DH=CD·sin∠DCH=(18+18V5)·sin30°=(9+93)m CH⊥AD,AD⊥AB,BC⊥AB ∴四边形ABCH是矩形， ∴AH=BC=18m .AD=AH+DH=(27+93)m 答：建筑物AD的高度为(27+9V5)m 12.(2025资阳中考)如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN,该平台上有一 个竖直的建筑物CD,在A处测得建筑物顶端C的仰角为30·，在B处测得C的仰角为 60°，斜坡AB的坡度i=1:3,AB=10W10米，CD1BN.(点AB,C,D在同-竖 直平面内)· B60D i=1:3 A30° M (1)求平台BN的高度： (2)求建筑物的高度（即CD的长） 【答案】(110米(2)（15V3-15)米 【解析】(1)解：过点B作BE⊥AM于点E,则∠AEB=90 BA60D i=1:3 A30° :斜坡AB的坡度i=噩=青. ..AE=3BE 在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2, 即(3BE)2+BE2=(10V0)2 ∴BE=10米 .平台BN的高度是10米 (2)解：延长CD交AM于点F, B6O至DN i=13 A30° M ,CD⊥BN,BNIAM, ∴CD⊥AM, .四边形BDFE是矩形 DF=BE=10米，BD=EF 设CD=x米，则CF=CD+DF=x+10(米)， :在Rt△ACF中，∠CAF=30° AF=p=最=V3(x+10)(米). '在Rt△BCD中，∠CBD=60°， BD=m8D=高c=9x(米) ∴EF=BD=号x米 由(1)有AE=3BE=3×10=30(米) .AF=AE+EF. 5(x+10)=30+号x 解得x=15V3-15 ∴CD=153-15(米)， 即建筑物的高度（即CD的长）为(15V3-15)米