山东省济南振声学校2025-2026学年高二上学期期中学情检测数学试题

2025-2026学年第一学期高二期中学情检测 数学试题(2025.11) 本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3:考试结束后：将本试卷和答题卡“并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.抛物线方程为y=x,则此抛物线的准线为 A.x=-1 B.y名 C.x=-1 16 D.y=-1 2.已知a,beR,直线1：(2a-3)x+2y-1=0,12:x-2y-1=0,且1L1,,则a-2b的值 为 A.2 B月 C.1 D.分 3.双曲线号行=1(>Q6>0)的离心率为5，则其渐近线方程为 A.y=+2x B.y=tv2x C.y=t5x D.y=5 4.已知圆C:x2+y2=9与圆C2:(x-3)+(y+b)=4恰有两条公切线，则实数b的 取值范围为 A.(L,5) B.（-o,1u(5,+o) C.(-4,4) D.（-o,4)u(4,+o) 5.直线1过点M(1)且与圆芹+号=1相交于从B两点，若线段B的中点为 3 M则直线1的斜率为 A.后 B. c. D. 5 3 2 数学试题第1页（共4页） 6.抛物线y2=2r(p>0)与直线x+2y-5=0交于4，B两点，0为坐标原点，且满 足OA⊥OB,则卫= A.月 B.月 C.1 D.分 7.已知直线a、b是互相垂直的异面直线，平面a经过直线a,直线b与平面x平 行.动点M在平面a上，若M到a、b的距离相等，则M的轨迹是 A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 8。法国着名的数学家蒙日首先发现，椭圆三+茶=1(a>6>0)的两条相互垂置的 切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为x2+y2=a+b2,已 知椭圆E:x+上=1的焦点在x轴上，A,B为E上任意两点，动点P在直线 x-√5y-8=0上.若∠APB怛为锐角，则E的焦距的取值范围为 A.(0,45 B.(0,25) C.(2W24 D.(22 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知喜线1的方程为xcos6-y-3=0,则直线的倾斜角x的可能取值为 A.年 B.胃 C. D.5π 6 10.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则 A.点(x,到点(2,0)的距离为定值B.y的最大值为2 C.√x2+y-12的最大值为5+√5 Dx+y的最大值为2+√6 ,已知双曲线c5Q>06>0)的左右焦点为，5，点P为双曲线c右支 上一点，存在点P使得△PEF2为等腰直角三角形，则 A.双曲线C的离心率为√2+1 A△PFE的内心月处心可能重合 C.当△PE的外接圆的面积取到最小值时，△P的面积为2 D.设点I是△P℉平的内心，则直线瓜，正2的斜率之比为常数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 数学试题第2页（共4页） 12.圆(x-)2+(y-1)2=4关于直线2x-y-6=0对称的圆的方程为 13.如图，已知圆柱的斜截面是一个 椭圆，该椭圆的长轴4C为圆柱轴截 面的对角线，短轴长等于圆柱的底面 直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则 椭圆曲线在展开图中恰好是一个周期的正弦型曲线若该段正弦型曲线是由函数 y=4six的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍所得图象的一部分，则此 椭圆的离心率为 14.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,点A,B在抛物线C上，过线段AB AB 的中点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，若∠AFB=90°，则 MN 的最小值 为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点A(0,4)和C(6,2),AB所在直线的方 程为2x+y-4=0, (1)求对角线BD所在直线的方程； (2)求过A、C、D三点的圆的方程 16.(本小题满分15分) 已知双画线号茶1(a>0,b>0)的右焦点为gA0,蒲近线方程为y。 (1)求双曲线的标准方程： (2)过E的直线1交双曲线于A,B两点，且AB=4W5,求1的方程 17.(本小题满分15分) 如图，某标准足球场的底宽AB=72码，球门宽 EF=8码，球门位于底线的正中位置，现在攻方 45 457 球员甲位于边线上的点O处(OA=AB:OA上AB) 题图 第(2)题图 数学试题第3页（共4页) (1)若球员甲直接在0点起脚打门，球的轨迹为一条射线（不考虑球的飞行高 度).则为了进球，该球员需要控制球的飞出方向在多大的角度范围内（即求∠EOF 的大小，若该角度不是特殊值，则只需求出其一个三角函数值)？ (2)若球员甲直接在O点起脚打门，球的初速度方向为OB方向，球画出一条美 妙的圆弧（不考虑球的飞行高度），挂入球门远角F，则这段圆弧所在圆的半径 是多少码？ 18.(本小题满分17分) 如图，已知抛物线C:y2=4x,过点P(2,1)作斜率为，k,的 直线，，分别交抛物线于点A,B与M,N. (1)若点D是抛物线C上位子第一象限内一点，且其到焦 点F的距离为2，求点D的坐标； (2)若PMPN=PAPB|,证明：k+k2=0; (3)若直线AM过点Q(-2,O),请判断直线BM是否过定点，若是，请求出此定 点坐标、若不是，请说明理由 19.(本小题满分17分) 法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的定义：给定一点P(x)和 一条直线：等+紧-，将直线1称为点P关于椭圆c三+片-1a>b>的极线。 己知点P4,0)关于椭圆c:亡+上=1的极线为直线1 84 (1)求1的方程； (2)若2为1上任意一点. ①过点P作椭圆的割线！交椭圆C于A,B两点，记P2,OA,2B所在直线的斜率依 次为k2,keu,kgs,求证：2kre=kgu+kou ②过点2作直线1，和椭圆C相交于E,F两点，分别连接PE,PF交C于点M,N, 记EF,MN,P2和y轴的交点依次为G,T2,T,求证：T为线段T的中点. 数学试题第4页（共4页） 2025-2026学年第一学期高二期中学情检测 数学试题参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 3 6 答案 D B A B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AD ACD ACD Ⅱ【详解】因为点P为双曲线C右支上点，所以P>PF,且∠PR5≠受 若△PE为等腰直角三角形，则PE2上FE,PE=FF PF-PF =2a 由PE2=|Pr+E2,得c2-2ac-a2=0,即e2-2e-1=0. PE=FF=20 对于A,因为离心率e>1,所以e=√2+1，所以选项A正确； 对于B,因为PF>PF,所以△PFE不可能为等边三角形，所以△PEE的内心与外心不 可能重合，所以选项B不正确： 对于C,设△PEE的外接圆的半径为R,则 FF=2R,即R= im∠FPF2 sin∠FPF) 当∠RP5=2,即s血∠RP吗=1时，半径R取得最小值c,aP的外接圆的面积取到最 小值c2π. Pgf+Pf=2,所以△PB的面积为PP-6所以选项C正确， PK-PF=2a 此时， 对于D,设点I是△PE的内心，过点I分别作PR,PF,E的垂线，垂足为A,D,E, 则防阳会，所以ad4ae. -1、 所以点E是双曲线的右顶点，点I在直线x=a上 m 设I(a,m),m≠0，则直线E,IE2的斜率之比为a+ a-c m a+c a-c 为常数所以选项D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(x-5)+(y+1)2=4(其他等价形式均可)13. 4-5 (或0.8亦可)14.√2 14.【详解】 设AF=m,BF=n,过点A,B分别作抛物线C的准线的垂线， 垂足分别为A,B,如图所示 由抛物线的定义可得AA=m,BB=n.因为M为线段AB的中点 所以w=l4+BBL_m+n B 2 2 p 又∠AFB=90°，所以AB=m2+n2,所以 4(m2+m2） 2mn (m+n三4 (m+n) 2mn 又(m+n)》2≥4mn,所 (m+n ≤2，当且仅当m=”时取等号，所以 -2 MN 即之5，所以 MN MN 的最小值为√2.故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】 (1)因为菱形ABCD的顶点A(0,4)和C(6,2), 利用中点坐标公式可得对角线AC的中点坐标为(3,3)， 根据斜率公式求出kc= 2-4=-,又菱形对角线互相垂直， 6-0=3 所kckm=-1,所o=3, -2- 又菱形对角线互相平分，所以，直线BD过对角线AC的中点坐标为(3,3)， 根据点斜式可得，y-3=3(x-3),即3x-y-6=0. [3x-y-6=0 (2)又(1)可得直线BD的方程解析式为3x-y-6=0,所以，联立 2x+y-4=0 x=2 解得 y=0'故D点坐标为(2,0)， 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, [02+42+D×0+E×4+F=0 [D=-6 把4C、D三点代入方程，得62+22+D×6+E×2+F=0,解得{E=6, 22+02+D×2+E×0+F=0 F=8 所以，圆的一般方程为x2+y2-6x-6y+8=0. 16.【解析】 (1)因为双曲线的渐近线方程为y=±2x,所以=V5,即b=22. 又点F(3,0)是双曲线的右焦点，所以c=3, 得b2+a2=9,所以b2=6,a2=3, 所以，双曲线的方程为二上1. 36 (2)当直线1的斜率为0时，显然有|AB=2√5≠45，不合题意，舍去： 当直线1的斜率不为0时，设直线1的方程为x=my+3, x2 y2 =1 联立直线与双曲线方程{36，消x得，(2m2-1)y2+12my+12=0, x=my+3 2m2-1≠0 设A(,),B(x2:2),则 B △=48(m2+1)>0' 12m 12 片+%=-2m1'%2-' 所以AB=+m45m三45即1+m2m2- 12m2-1 解得，m2=2或0，即m=士√2或0， -3- 所以，1的方程为x=V2y+3或x=3. 17.【解析】 (1)由题意可知4B=32,4AF=40,A0=72,所以an∠40E=32=4 729 an∠A0F=40=5 729 54 所以tan/EOF=tan(∠AOF-∠A0E=9,.9 9 54101 1+-× 99 (2)以A为原点，分别以AO,AB所在直线为xy轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(0,72),F(0,40),0(72,0）, 则ks=-72 2 5 -1,kor= 40 -72 9’ 9 因线段0F的中点为(36,20)，则线段0F的垂直平分线为y=(x-36)+20, 即y号 设所求圆弧的圆心为D, 因球的初速度方向为OB方向，则直线OB为圆D的切线，则OD LOB,则k=1, 则直线OD的方程为y=x-72, 9224 V=-x- 联立 55得， y=x-72 y=-106,即D(-34-106, x=-34 则10D=√(72+34)2+1062=1062， 则这段圆弧所在圆的半径是106√2码. 18.【解析】 (1)由题意xD+1=2,解得x2=1,所以y场=4，又yD>0, 所以yD=2,即点D的坐标(1,2)： (2)由题知k,k2≠0，设AB:x=乃(y-1)+2,MN:x=m2(y-1)+2,A(x,y),B(x2,2)， 月客局亏代入聪物线可得)广-w+-8=0, 片+y2=4,乃y2=41-8, pAP8=-Pa.P丽=-[2-s)2-x)+0-)1-y】 -4- 三4+2（飞+x)-52-1+(4+2)-y, 又x+x=%(3+y2)-2m+4=4-2n+4, -a-2明， 所以PPB=-5+8m2-4n+8-n+4m-4+4n,-4m+8=7m+7 同理|PM-PN=7n+7, 所以m=n,又乃≠n2, 所以=，即脉+k2=0. )因为五五4By-y元-】 x2-x片-吐2+当 4 所以B:(片+y2)y=4x+yy2, 代入点P(2,1),得片+y2=8+yy2①， 设M(3,y3),N(x4,y4),同理AM:(y+)y=4x+y3, AM过点2(-2,0)∴yy3=8② BM:(2+为)y=4x+y2y, 结合0②可得8+4=8+84 3 y3 .8+y2y3=8(+y2), 又因为BM:(y2+3)y=4x+y2 所以BM:(2+)y=4x+8(y2+y)-8,整理得(y2+为)(y-8)=4(x-2） 所以直线BM过定点(2,8). 19.【解析】 (1)由题意易知，极线1的方程为：+X1=1即x=2。 84 (2)①设(2，m,设直线AB的方程为：s(x-2)+t(y-m)=1, 又椭圆方程可化为(x-2+2)2+2(y-m+m)2=8, -5- 即(x-2)2+2(y-m)2+4(x-2)+4m(Gy-m)+2m2-4=0, c-2+20-my+4x-2)+4m0-m)+2m-年得： 由 s(x-2)+t(y-m)=1 (x-2)2+2y-m)2+4[(x-2)+m(y-m)][s(x-2)+y-m)]+(2m2-4儿s(x-2)+t(y-m=0 设k=y一m x-2 则1+22+41+mk)(s+k)+2(m2-2)(s+k)}2=0(★) 故无4，ks为（★）的两个解， 所以ou+o=+ms+2㎡-2斗2-2+2ms+2a2-2h 2+4mt+2(m2-2P-1+2mt+(m2-2/2 因为AB过(40)，故s(4-2)=m+1,故5=m+1, 2 2方+2mm1+2(时-习m生'，m+2m1+mm2-2:n 故kou十keg=- 2 2= 1+2mt+(m2-2)P 1+2mt+(m2-2)r 所以2ke=keu+kgs: ②连接QM,QN, 由①中的结论可知2k0=kow+kgs,2ke=kv+kgr, 又k2s=kgr, 故k2w=kow即2，M,N三点共线， 如图所示，设T(0,),工(0，)，2(0,2)， 10 则02w%wh, 2 2 由①中结论知，2ke=kw+kor, 故2xe_g+g, 2 2 2 故4+2=2t,故T为线段TT2的中点. -6-