精品解析：山东省德州市2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

高三数学试题 主考学校：临邑一中 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1-2页，第II卷3-4页，共150分，测试时间120分钟． 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第I卷选择题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足为虚数单位，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的公差为，前 项和为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的零点有两个，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 在 处取得极小值 B. 有三个零点 C. 在区间上的值域为 D. 函数图象的对称中心为点 10. 在正四棱柱中，分别为，的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线交于一点 C. 直线与平面 所成角的正切值为 D. 过四点的截面将正四棱柱分成两部分，体积较小的几何体体积为2 11. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 第II卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为___________． 13. 已知 是边长为2的等边三角形， 为三角形 内一点（包括边界）， 为 的中点，则的取值范围是___________． 14. 在四边形 中，，对角线，将沿 翻折成，使二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，函数恒有意义，求实数 的取值范围； （2）是否存在实数 ，使得函数在区间上为减函数，且最大值为1？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 16. 在四面体中，底面、 、 分别是的中点，点 在线段 上，且． （1）求证：平面 ； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小． 17. 已知数列是递增的等比数列，为数列的前 项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前 项和为，求证：． 18. 如图，在 中，角 ， ，的对边分别为 ，， ，且，，为 内一点，． （1）求角 的大小； （2）若，求； （3）若，求 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若，使得成立，求整数 的最小值； （3）若，讨论函数的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 主考学校：临邑一中 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1-2页，第II卷3-4页，共150分，测试时间120分钟． 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第I卷选择题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先通过解对数不等式及分式不等式求得集合 与集合 ，然后通过集合的交集定义进行求解即可. 【详解】由，解得：，得：； 由，移项得：，通分可得：， 不等式等价于，即，解得：. 得：，由此可得：. 故选：B 2. 已知复数满足为虚数单位，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数满足，可得， 则. 故选：A. 3. 已知圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为 ，高为 ，母线长为 ，利用圆的面积公式求出圆锥的底面面积，利用勾股定理求出母线长 ，利用圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，从而得到圆锥的表面积. 【详解】设圆锥的底面半径为 ，高为 ，母线长为 ， 圆锥的底面半径为1，，圆锥的底面面积为， 高为3，，， 圆锥的侧面积为， 圆锥的表面积为. 故选：C. 4. 已知等差数列的公差为，前 项和为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前 项和公式，结合充分必要条件的定义进行判断即可. 【详解】充分性：已知， 由， 可得：，即充分性成立； 必要性：已知， 可得：，得：，即必要性成立； 综上可得：“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由诱导公式将所求正弦转化为余弦，再结合余弦倍角公式计算即可. 【详解】由题. 故选：D 6. 若函数的零点有两个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数有两个零点，即函数的图像与的图像有两个交点，由导数判断函数的单调性、极值、由函数图像的交点个数得的取值范围. 【详解】函数有两个零点，即函数的图像与的图像有两个交点， 函数的定义域为， ， 令，解得：， 当时，，得在区间上单调递减； 当时，，得在区间上单调递增； 故当时，取得极小值，极小值为， 令，解得， 当时，；当 时，， 当 无限趋向于负无穷大时，无限趋向于 ； 当 无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 由此作出函数的大致图像： 由图像可得当时，交点为 个； 当或时，交点为1个； 当时，交点为2个. 若函数的图像与的图像有两个交点， 则由图可知：实数的取值范围为. 故选：B 7. 已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简函数解析式，接着由题设结合正弦函数零点性质先求出和，再求出符合 代入即可分析求解. 【详解】由题函数 ， 当，则， 因为在区间内没有零点， 所以即， 且，解得， 令得或0， 则当时，有；当时，有； 综上，满足题意的实数的取值范围是. 故选：D 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】AB选项，利用作差法比较两个数的大小关系；CD选项，构造函数，利用导数求解函数单调区间，然后利用函数单调性比较两个数的大小关系. 【详解】对于A选项，已知，得：， 由，可得：，故A选项错误； 对于B选项，已知，得：，由，得：， 由， 可得：，故B选项错误； 对于C选项，令，则， 当 时，单调递增， 且，， 故存在，使得， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 由于，此时与大小关系无法确定， 故C选项错误； 对于D选项，令，， 令，， 当时，，在区间上单调递减； 因此对于，， 因此可得：当时，，在区间上单调递减； 又，得：，即：，可得：. 故D选项正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 在 处取得极小值 B. 有三个零点 C. 在区间上的值域为 D. 函数图象的对称中心为点 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得，得出函数的单调性，结合极值点的定义，可得判定A正确；根据，以及函数值的变化，可判定B正确；利用函数的单调性求得函数的值域，可判定C错误；令，得到为奇函数，进而可判定D正确. 【详解】对于A，由函数，可得， 令，解得或；令，解得 ， 所以函数在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以在 处，函数取得极小值，所以A正确； 对于B，由A中，函数极小值为，极大值为， 且当时，，当 时，， 所以函数在区间各有一个零点， 所以函数有三个零点，所以B正确； 对于C，由A知，函数在单调递增，在单调递减，在单调递增， 且，，且，， 所以函数在区间上的值域为，所以C错误； 对于D，令，可得， 由，所以为奇函数， 所以的对称中心为，则函数的对称中心为，所以D正确. 故选：ABD. 10. 在正四棱柱中，分别为，的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线交于一点 C. 直线 与平面 所成角的正切值为 D. 过四点的截面将正四棱柱分成两部分，体积较小的几何体体积为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】连接，分别证得和，得到，可判定A错误；连接 ，，证得且，结合平面的性质，可判定B正确；由平面 ，得到是直线 与平面 所成角，在直角中，可判定C正确；延长 交于点，得到过四点的截面即为，结合棱柱的体积公式，可判定D正确. 【详解】对于A，连接，因为分别为的中点，可得， 在正四棱柱中，可得，所以，所以A错误； 对于B，连接 和 ，因为分别为的中点， 可得，且， 又因为分别为的中点，可得，所以且， 所以和 交于一点，设交点为,即，连接， 因为，且平面，所以平面， 由且可知 为的中点，又 为 的中点， 所以，所以，即直线交于一点，所以B正确； 对于C，在正四棱柱中，可得平面 ， 所以是直线 与平面 所成角， 在直角中，可得， 所以直线 与平面 所成角的正切值为，所以C正确； 对于D，延长 交于点，即过四点的截面即为， 根据棱柱的定义，可得截得较小的部分为一个直三棱柱， 因为，三棱柱的体积为，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由题设分和依次求出和数列是以2为公比，为首项的等比数列，进而得到数列是以为公差，为首项的等差数列求出，接着求出即可逐一计算即可得解. 【详解】数列的首项，且满足， 所以时，， 当时，， 整理得， 所以数列是以2为公比，为首项的等比数列， 所以，所以， 所以数列是以为公差，为首项的等差数列， 所以， 所以，， 所以常数， . 综上，ACD正确，B错误. 故选：ACD 第II卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数求斜率，再利用点斜式求出. 【详解】由题意得，，， 由导数的几何意义得切线斜率为， 则切线方程为，即. 故答案为： 13. 已知是边长为2的等边三角形， 为三角形 内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据向量的运算将转化为，然后观察几何图形求得的最大值与最小值，进而求解的取值范围. 【详解】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接 . ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于 为三角形 内一点（包括边界）， 因此当点 与点重合时，取得最小值，最小值为 ， 当点 与点 或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 14. 在四边形 中，，对角线，将沿翻折成，使二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取 中点 ，连接，弦2由题设和二面角定义得到，分别取外接圆圆心，分别过作垂直于平面和平面的垂线得到两垂线交点O为四面体外接球的球心，依据题设信息求出和即可分析计算求解. 【详解】由题可得是正三角形，如图取 中点 ，连接， 则，所以为二面角的一个平面角，故， 分别取外接圆圆心，连接， 则分别在上，且， 分别过作垂直于平面和平面的垂线，两垂线相交于点O， 则O为四面体外接球的球心，且， 连接，则，所以， 所以四面体外接球的半径R满足. 所以四面体外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由对数函数定义将问题转化为对一切恒成立，再结合函数的单调性即可分析求解； （2）不存在，先由函数单调性和最值求出参数a，再由函数单调性和定义求出参数符合的范围得到所求出的参数值不符合即可得解. 【小问1详解】 设，由题意知对一切恒成立. 因为，所以在区间上为减函数， 所以只需，解得. 又，且，所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 不存在.理由如下： 假设存在实数（且），使得函数在区间上为减函数，且最大值为1， 则由题意得，即，解得. 因为（且）为减函数，对一切恒成立， 所以增函数且，即， 所以，则不符合，所以实数不存在. 16. 在四面体中，底面、、 分别是的中点，点 在线段 上，且． （1）求证：平面 ； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1）证明：取 的中点为 ，在线段 上取点 ， 使得，连接、 、. 因为，所以， 所以，且. 因为 和 分别为和 的中点， 所以，且 因此且， 所以四边形是平行四边形，因此． 又因为平面平面 ， 所以平面 . （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例及中位线性质可得且，利用平行四边形得出线线平行，即可证明线面平行； （2）作辅助线，利用线面垂直得出线线垂直，证明即为二面角的平面角，再解直角三角形即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以． 因为 底面 ，所以三棱锥的高为， 又因为 故. 连接． 因为分别是的中点， 所以，又因为 平面 所以平面 过点 作，垂足为点 ，连接 因为平面 ，且平面 ， 所以，又因为，且， 所以 平面. 又因为平面，所以，又， 所以即为二面角的平面角, 因为平面 ，且平面 ，所以． 故为直角三角形． 在Rt中，，所以 所以平面与平面的夹角大小为. 17. 已知数列是递增的等比数列，为数列的前 项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前 项和为，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先设等比数列的公比为，首项为，然后根据等比数列的基本量的运算求解出与，进而求解数列的通项公式； （2）首先根据等比数列的前 项和公式求解，进而求得数列的通项公式，然后再根据裂项相消法求得数列的前 项和为，进而证明结论即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，首项为，则，所以， 又因为数列是递增的等比数列，所以或（舍）， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 所以 ， 由于，所以，因此可得：， 所以，即. 18. 如图，在中，角 ， ，的对边分别为，， ，且，，为内一点，． （1）求角 的大小； （2）若，求； （3）若，求 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）首选由，得：，将角化边可得：，将其代入中并利用余弦定理可求得角，进而求解角 ； （2）首先设，在中，由正弦定理得，然后根据同角三角函数的基本关系求角的正切值； （3）首先，在中，由余弦定理得：即得：，然后解方程求得的值，进而求得 . 【小问1详解】 因为，所以， 即. 又因为，所以 由余弦定理， 所以，又，所以. 【小问2详解】 在中，因为， 所以，，设，易知,故， 在中，由正弦定理得， 化简得， 所以，即. 【小问3详解】 设， 在中，由余弦定理得： 即，所以， 由，得：， 解得：或， 若，得：，由，则，所以 若，得：，由，则，所以. 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若，使得成立，求整数 的最小值； （3）若，讨论函数的零点个数． 【答案】（1）极小值为0，无极大值. （2）1 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将代入，通过导函数的正负求解函数的单调区间，进而求解函数极值； （2）首先分离参数可得：，然后令，利用导数求解的最大值，进而求得参数 的最小值； （3）分、及三种情况，分别利用导数求解函数的单调性，然后利用零点存在定理判断每种情况下的零点个数即可. 【小问1详解】 若，得：，则有， 当时，，所以在为减函数； 当时，，所以在为增函数； 所以，当时，的极小值为0，无极大值. 【小问2详解】 若，使得成立， 即，所以， 所以，令，则， 当单调递增，单调递减， 所以的最大值为， 所以，又因为，所以整数 的最小值为1 【小问3详解】 由题意得， 令，可得 ①当时，， 所以，即在上单调递减， 又，所以当时，， 所以在为增函数； 当时，，所以在为减函数； 又，所以有唯一的零点， ②当时，， 因为，则在为减函数，， 所以存在，使得， 当时，，所以在上增函数； 当时，，所以在上减函数． 因为，则，当， 使得， 所以时，，即，即在为减函数； 当时，，即，即在为增函数； 当时，，即，即在为减函数； 因为，所以．而， 所以使得在为减函数， 所以，得到存在两个零点. ③当，结合在为减函数 当时，，在为增函数； 当时，，在为减函数； 所以，所以，即在上为减函数． 又因为，所以只有一个零点； 综上所述：当或，函数有1个零点； 当函数有2个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $