精品解析：江西省鹰潭市月湖区2024-2025学年九年级下学期中考二模数学试卷

2025年初三年级复习卷数学 说明：1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列实数中，最大的数是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】有理数比较大小的法则：正数大于负数，正数大于0，两个负数中绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：正数大于0，正数大于负数，且，所以中最大的实数是2． 故选：D 【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟练掌握其方法是解题的关键． 2. 如图是由长方体与三棱柱组成的几何体，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了左视图的定义，熟练掌握左视图的定义是解答本题的关键． 根据左视图的定义解答即可． 【详解】解：从左面看，下面长方体的左视图是一个长方形，上面三棱柱的左视图是一个正方形，且正方形位于长方形的正上方， 故选：C． 3. 2025年2月22日南昌市统计局发布，2024年南昌市常住人口增加万，排在全国前列，将万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：将万用科学记数法表示． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，去括号，同底数幂的除法，单项式乘以多项式的法则逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选B． 5. 在九年级组织的班级篮球比赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中的得分情况如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲的得分方差更小，所以更稳定 B. 甲的平均得分更高 C. 乙得分的众数比甲高 D. 如果再比赛一场，乙的得分比甲高的可能性更大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，平均数，众数，方差等知识，根据方差的定义列式计算可判断选项A；根据平均数的定义列式计算可判断选项B；根据众数的定义可判断选项C；根据统计图两人的得分走势比较可判断选项D，进而可得答案． 【详解】解：甲近六场比赛的平均得分是：（分）； 乙近六场比赛的平均得分是：（分）， ∵， ∴乙的平均得分更高， 故选项B说法错误，符合题意； 甲学生近六场得分的方差：； 乙学生近六场得分的方差：， ∴甲的得分方差更小，所以更稳定， 故选项A说法正确，不符合题意； 甲近六场得分中，28分出现的次数最多，故众数是； 乙近六场得分中，32分出现的次数最多，故众数是32， 则乙得分的众数比甲高， 故选项C说法正确，不符合题意； 根据统计图中得分的走势，乙同学的成绩越来越好，得高分的可能性大， ∴如果再比赛一场，乙的得分比甲高的可能性更大， 故选项D说法正确，不符合题意， 故选：B． 6. 如图，为直角三角形，，点在边上，点关于的对称点为点，关于的对称点为点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质、轴对称的性质，熟练掌握知识点是解题关键． 根据对称性质推导出、、 ，利用直角三角形性质用表示，通过等量代换得到，即可得出答案. 【详解】解：，点D关于的对称点为点E，关于的对称点为点F， ， ， ， 在直角 中， ， ． 故选：D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 结论开放若二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合要求的x的值：_________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），熟练掌握该条件并据此列不等式求解是解题的关键． 要使二次根式在实数范围内有意义，被开方数需是非负数，据此列出不等式求解，再取一个满足条件的值即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， 则被开方数 解不等式， 得， 那么取，满足 故答案为：（答案不唯一）． 8. 已知，是一元二次方程两个实数根，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【详解】是一元二次方程的两个实数根， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果是方程的两根，那么，． 9. 第十四届国际数学教育大会在上海举办，大会标识（如图）蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行融合，体现了我国传统文化的博大精深．八卦符号可以用于记数，每卦均可由一个二进制的数来表示，其中阳爻和阴爻分别对应数字1和0．若二进制数为，则它对应的十进制数为：．二进制数对应的十进制数为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解二进制数换算为十进制数的方法是解答本题的关键． 根据题目中二进制数换算成十进制数的方法计算即可． 【详解】解：换算成十进制数是， 故答案：． 10. 镜片的屈光力（单位：屈光度）与焦距（单位：米）满足反比例函数关系，如图，点在该反比例函数图象上．若某镜片的焦距为米，则它的屈光力_______屈光度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，将代入中，得，所以，最后将代入求出即可解答． 【详解】解：镜片的屈光力（单位：屈光度）与焦距（单位：米）满足反比例函数关系， 设， 将代入中，得， ， 故当时，， 故答案为：． 11. 在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连接，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积公式、等腰三角形的判定和性质等知识．求出，作于点H，则得到，根据扇形面积减去三角形面积即可得到答案． 【详解】解：∵中， ∴， ∵以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连接， ∴， ∴， ∴， 作于点H，则 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为： 12. 如图，在等腰直角三角形中，，点是的中点．将绕点A旋转得到（点与点对应，点与点对应），当点落在的边所在的直线上时，点到直线的距离为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，含角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解本题的关键． 分类讨论，①当点恰好落在边时，②当点恰好落在延长线时③当点恰好落在延长线时，分别画出图形，根据含角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】①当落在边上时， 过点作于点， 在等腰直角三角形中 是的中点， 为旋转所得， ， 四边形为矩形 点B到直线的距离为 ②当落在边所在直线上时，如图 由旋转可得：， 由①得： 点B到直线的距离为 ③当落在边所在直线上时，如图 延长交于点 由旋转可得： 四边形为矩形 点B到直线的距离为 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，点B在线段AC上，．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，化简绝对值，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练的掌握零指数幂以及全等三角形的判定． （1）根据化简绝对值，以及零指数幂进行计算即可求解； （2）根据平行线的性质得，进而根据证明． 【详解】（1）解：原式﹒ （2）证明：∵， ∴． 在和中 ∴ 14. 先化简：，再从，1，2四个数中选一个合适的数作为a的值，代入求值． 【答案】，取，原式 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，根据分式的除法和分式的减法计算得到化简结果，选取分式有意义的字母的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ∵要使原分式有意义， ∴a的值不能为，1，2． ∴取． ∴当时，原式． 15. 南昌享有“天下英雄城”的美誉，具有丰富的红色景点，吸引着大量的游客前来参观学习．现将写有八一广场、小平小道陈列馆、新四军旧址、八一起义纪念馆四张外观相同的卡片背面朝上．甲、乙两名游客通过随机抽取卡片的方式选择景点，甲游客随机抽取一张然后放回，乙游客再随机抽取一张． （1）甲游客抽到新四军旧址进行参观是_______事件；（填入相应的序号） ①随机 ②不可能 ③必然 （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两名游客都抽到八一起义纪念馆的概率． 【答案】（1）① （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，事件的分类，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据事件的分类求解即可； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两名游客都抽到八一起义纪念馆的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：甲游客抽到新四军旧址进行参观是随机事件， 故答案为：①； 【小问2详解】 画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中甲、乙两名游客都抽到八一起义纪念馆的结果有种， 甲、乙两名游客都抽到八一起义纪念馆的概率为． 16. 如图是由边长为1的小正方形组成网格，小正方形的顶点为格点，图中的点A，B，C在格点上．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作的平分线； （2）如图2，在上找一点E，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）如图，取格点，连接交于即可； （2）如图，在（1）的作图情况下，记，的交点为，连接并延长交于，则点即为所求； 【小问1详解】 解：如图，取格点，连接交于，则即为所求； ； 理由：∵， 而由网格矩形的性质可得：， ∴平分． 【小问2详解】 解：如图，在（1）的作图情况下，记，的交点为，连接并延长交于，则点即为所求； 理由：由（1）得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是复杂作图，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，矩形的性质，三角形的高的含义，三角形的内角和定理的应用，熟练的作图是解本题的关键． 17. 为迎接端午节水果销售旺季，某商家计划购进甲、乙两种水果进行销售，若用1000元购买甲种水果的重量比用1800元购买乙种水果多10千克，且乙种水果每千克的进价是甲种水果进价的2倍． （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少； （2）若甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为26元/千克，该商家购进甲、乙两种水果共500千克，要使总销售利润不低于2400元，则甲种水果最多购进多少千克? 【答案】（1）甲种水果的进价为10元/千克，乙种水果的进价为20元/千克 （2）300千克 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是总价与单价和数量的关系列出相应的分式方程，利用总利润与每千克利润和千克数的关系列不等式，是解题的关键． （1）设甲种水果的进价为x元/千克，根据1000元购买甲种水果的重量比用1800元购买乙种水果多10千克，列出分式方程，即可求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元； （2）设甲种水果购进a千克，根据甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为26元/千克，该商家购进甲、乙两种水果共500千克，要使总销售利润不低于2400元，列不等式即可解答． 【小问1详解】 解：设甲种水果的进价为x元/千克． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为．则． 答：甲种水果的进价为10元/千克，乙种水果的进价为20元/千克． 【小问2详解】 设甲种水果购进a千克． 解得：． 答：甲种水果最多购进300千克． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，点在以为直径的上，平分交于点，过点作，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法； （1）根据角平分线、等边对等角得出，证明，结合，即可得证； （2）过点作，垂足为．可得四边形为矩形．进而求得．设的半径为，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：连接． 平分， ． ， ． ． ． ， ． ． 为的切线． 【小问2详解】 过点作，垂足为． 四边形为矩形． ．设的半径为． ， ． 在直角三角形中，， ∴， 解得， 的半径为． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）点在线段上，连接，若，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合运用、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出点的坐标． 根据点在反比例函数图象上，可得方程，解方程即可求的值，根据的值求出点、的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； 过点作轴平行线，过点作轴平行线，两线交于点，可证，根据相似三角形对应边成比例可得：点的横坐标为，把点的横坐标代入一次函数的解析式中求出点的纵坐标即可． 【小问1详解】 解：点，在反比例函数图象上， ， 解得：， （舍去） ， ， 反比例函数的解析式是； 将点，的坐标代入一次函数， 可得：， 解得：， 一次函数的解析是； 【小问2详解】 解：过点作轴平行线，过点作轴平行线，两线交于点， 过点作，垂足为， ， ． ，， ，， ， ， ，即， 解得：， 点的横坐标为， 将代入中， 可得：， 点的坐标为． 20. 如图1是一款用于收集卡片的卡曼盒实物图，图2中的矩形是其主视图．如图3所示，四边形可绕点旋转得到四边形，设旋转角为，当，，三点共线时最大．经测量，，． （1）求的长度． （2）①当为何值时，点到边的距离最大，并求出最大距离； ②直接写出当为何值时，点到边的距离等于． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2）①，最大距离为；②或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，矩形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作于点，，证明四边形是矩形，得到，，得到，最后根据勾股定理即可求解； （2）①由旋转可得：，，由（1）知，，，得到，推出，结合当，，三点共线时，点到边的距离最大，即可求解；②当，即点与点重合时，点到边的距离等于；过点作交的延长线于点，则，根据三角函数可推出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，， 在矩形中，， ， 四边形是矩形， ，， ， ； 【小问2详解】 由旋转可得：，， ①由（1）知，，， ， ， 当，，三点共线时，点到边的距离最大，此时， 最大距离为； ②， 当，即点与点 重合时，点到边的距离等于； 过点作交的延长线于点，则， ， ， ， ； 综上所述，当为或时，点到边的距离等于． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某中学为提升学生的数学素养，组织八、九年级学生进行“数学文化与历史”主题知识竞赛（满分100分）．从这两个年级中各随机抽取50名学生的成绩x（单位：分）作为样本进行整理，分成5组（A．；B．；C．；D．；E．），并绘制了如下尚不完整的统计图表． 八年级50名学生竞赛成绩统计表 组别 频数 A 4 B m C 12 D n E 5 已知八年级50名学生竞赛成绩的中位数为75分，竞赛成绩在C组的具体数据是：70，71，72，72，74，74，76，77，77，77，78，79． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）_____，_____； （2）①补全频数分布直方图； ②小慧认为无法从样本的统计图中得知九年级学生竞赛成绩的中位数，所以不能从中位数的角度判断哪个年级的学生成绩更好．她的说法是否正确，请说明理由． （3）若该校八年级有900名学生，九年级有800名学生，竞赛成绩不低于80分为优秀，根据样本数据，估计八、九年级此次竞赛共有多少名同学达到优秀． 【答案】（1）， （2）①见解析；②不正确，理由见解析 （3）758名 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、频数分布表、中位数以及样本估计总体，掌握频数分布直方图、频数分布表、中位数以及样本估计总体是正确解答的前提． （1）先根据中位数的定义求出m的值，即可求出n的值； （2）①求出九年级D组的频数，即可得出答案；②根据中位数的定义解答即可； （3）用各年级总人数分别乘以成绩不低于80分的学生所占的比例即可． 【小问1详解】 解：∵八年级50名学生竞赛成绩的中位数为75分，竞赛成绩在C组的具体数据是：70，71，72，72，74，74，76，77，77，77，78，79． ∴把这50个数从大到小排列，第25位和第26位的分别为74和76， ∴B组的频数为，即， ∴； 故答案为∶15；14 【小问2详解】 解：①根据题意得：九年级D组的频数为， 补全频数分布直方图，如下： ②不正确： 理由：八年级成绩的中位数为75分，九年级共调查了50名学生的成绩， 从小到大排列，第25，26位都在D．， 样本中九年级学生成绩中位数一定大于75分， 所以从中位数角度判断，九年级学生成绩更好． 【小问3详解】 解： （名） 答：八、九年级此次竞赛共有758名同学达到优秀． 22. 如图1，在等边三角形中，动点P从点C出发沿C→B→A匀速运动，同时动点Q从点B出发沿B→A→C匀速运动，且速度均为每秒1个单位，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为，面积为S．图2中的曲线是动点P在边上时S与t的函数图象． （1）的长为_______；______． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数．请求出此时S与t的函数解析式． （3）在运动过程中，若存在三个时刻对应面积均相等，且，求的值． 【答案】（1）4， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图2可知，时，动点P从C点运动到B点，因此，故，当时，动点P运动到的中点，动点Q运动到的中点，，因此可求出m的值； （2）过点Q作，垂足为D．当点P在边上时，． 在中，，根据即可得出答案． （3）当时，设抛物线的解析式为，将代入解析式，可求出a的值，由存在三个时刻对应的面积均相等，． 根据二次函数的对称性可知，因此，故，由即可求出答案． 【小问1详解】 解：由图2可知，时，动点P从C点运动到B点， 动点P运动速度为每秒1个单位， ， 为等边三角形， ， 当时，动点P运动到的中点，动点Q运动到的中点， 过点Q作于点H， ， ， 故， 故答案为：4，； 【小问2详解】 过点Q作，垂足为D． 当点P在边上时，． 在中，． ． 【小问3详解】 由（1）可知，当时，抛物线的顶点坐标为． 当时，设抛物线的解析式为 将代入解析式，解得 ． 存在三个时刻对应的面积均相等， ． 根据二次函数的对称性可知， ． ． ∴， 解得． ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，动点问题，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【特例感知】 在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF与AC相交于点G． （1）①如图①，若E，F分别是AB，AD的中点，则_________． ②如图②，若F是AD的中点，，则_________． 【类比探究】 在菱形ABCD中，，点E，F分别在AB，AD上，对角线AC，BD相交于点O，CF与BD相交于点M，连接EF交AC于点G． （2）①如图③，若E，F分别是AB，AD的中点，求的值； ②如图④，若，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图⑤，在四边形ABCD中，，且，E为AB的中点．若，请直接写出的值． 【答案】（1）①3②（2）①②证明见解析（3）的值为 【解析】 【分析】（1）①设与交于点，由四边形是正方形，得，，，，点分别是的中点，则，，，设，则， 则，然后通过即可求解； ②由四边形是正方形，则，，然后证明，故，又点是的中点，则，最后代入求值即可； （2）①由四边形是菱形，得，，，分别是 的中点，故有，，由勾股定理得，证明是等边三角形，是等边三角形，设 ，则，则，，，由勾股定理得： ，则，求出 ， 再代入即可； ②在的延长线上找一点，连接，使得，证明，则，再证明为等边三角形，则，则，从而求证； （3）过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，证明，则，设，，则， ，又点为的中点，所以，则，解出的值即可． 【详解】解：（1）①设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴ ∴， ∴，设，则 ∴， ， ∴ ②∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， . ∴， ∴， ∴ ∴ ∵点是的中点， ∴ ∴ 故答案为：①3 ②． （2）①∵四边形是菱形， . 分别是的中点， ， ， ，即， ． ， ， 是等边三角形， ． 同理可得是等边三角形， ． 设，则， ， ， ． 由勾股定理得， ， ， ． ②证明：在的延长线上取一点，连接，使得，如图①． ， ，， ． 又， ， ． ， ， 为等边三角形， ， ，即． （3）的值为． （3）如图②，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点． ， 四边形是平行四边形，， ， ． ． ． ， ， ． 设，则． 为的中点， ， ， 整理，得， ， ， 或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，等边三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初三年级复习卷数学 说明：1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列实数中，最大的数是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 如图是由长方体与三棱柱组成的几何体，它的左视图为（ ） A B. C. D. 3. 2025年2月22日南昌市统计局发布，2024年南昌市常住人口增加万，排在全国前列，将万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在九年级组织的班级篮球比赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中的得分情况如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲的得分方差更小，所以更稳定 B. 甲的平均得分更高 C. 乙得分的众数比甲高 D. 如果再比赛一场，乙的得分比甲高的可能性更大 6. 如图，为直角三角形，，点在边上，点关于的对称点为点，关于的对称点为点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 结论开放若二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合要求的x的值：_________． 8. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 9. 第十四届国际数学教育大会在上海举办，大会标识（如图）蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老八卦进行融合，体现了我国传统文化的博大精深．八卦符号可以用于记数，每卦均可由一个二进制的数来表示，其中阳爻和阴爻分别对应数字1和0．若二进制数为，则它对应的十进制数为：．二进制数对应的十进制数为________． 10. 镜片的屈光力（单位：屈光度）与焦距（单位：米）满足反比例函数关系，如图，点在该反比例函数图象上．若某镜片的焦距为米，则它的屈光力_______屈光度． 11. 在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连接，则图中阴影部分的面积为_________． 12. 如图，在等腰直角三角形中，，点是的中点．将绕点A旋转得到（点与点对应，点与点对应），当点落在的边所在的直线上时，点到直线的距离为_________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，点B在线段AC上，．求证：． 14. 先化简：，再从，1，2四个数中选一个合适的数作为a的值，代入求值． 15. 南昌享有“天下英雄城”的美誉，具有丰富的红色景点，吸引着大量的游客前来参观学习．现将写有八一广场、小平小道陈列馆、新四军旧址、八一起义纪念馆四张外观相同的卡片背面朝上．甲、乙两名游客通过随机抽取卡片的方式选择景点，甲游客随机抽取一张然后放回，乙游客再随机抽取一张． （1）甲游客抽到新四军旧址进行参观是_______事件；（填入相应的序号） ①随机 ②不可能 ③必然 （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两名游客都抽到八一起义纪念馆的概率． 16. 如图是由边长为1的小正方形组成网格，小正方形的顶点为格点，图中的点A，B，C在格点上．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作的平分线； （2）如图2，在上找一点E，使得． 17. 为迎接端午节水果销售旺季，某商家计划购进甲、乙两种水果进行销售，若用1000元购买甲种水果的重量比用1800元购买乙种水果多10千克，且乙种水果每千克的进价是甲种水果进价的2倍． （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少； （2）若甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为26元/千克，该商家购进甲、乙两种水果共500千克，要使总销售利润不低于2400元，则甲种水果最多购进多少千克? 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，点在以为直径的上，平分交于点，过点作，垂足为． （1）求证：为切线； （2）若，求的半径． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）点在线段上，连接，若，求点坐标． 20. 如图1是一款用于收集卡片的卡曼盒实物图，图2中的矩形是其主视图．如图3所示，四边形可绕点旋转得到四边形，设旋转角为，当，，三点共线时最大．经测量，，． （1）求的长度． （2）①当为何值时，点到边的距离最大，并求出最大距离； ②直接写出当为何值时，点到边的距离等于． （参考数据：，，） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某中学为提升学生的数学素养，组织八、九年级学生进行“数学文化与历史”主题知识竞赛（满分100分）．从这两个年级中各随机抽取50名学生的成绩x（单位：分）作为样本进行整理，分成5组（A．；B．；C．；D．；E．），并绘制了如下尚不完整的统计图表． 八年级50名学生竞赛成绩统计表 组别 频数 A 4 B m C 12 D n E 5 已知八年级50名学生竞赛成绩的中位数为75分，竞赛成绩在C组的具体数据是：70，71，72，72，74，74，76，77，77，77，78，79． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）_____，_____； （2）①补全频数分布直方图； ②小慧认为无法从样本的统计图中得知九年级学生竞赛成绩的中位数，所以不能从中位数的角度判断哪个年级的学生成绩更好．她的说法是否正确，请说明理由． （3）若该校八年级有900名学生，九年级有800名学生，竞赛成绩不低于80分为优秀，根据样本数据，估计八、九年级此次竞赛共有多少名同学达到优秀． 22. 如图1，在等边三角形中，动点P从点C出发沿C→B→A匀速运动，同时动点Q从点B出发沿B→A→C匀速运动，且速度均为每秒1个单位，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为，面积为S．图2中的曲线是动点P在边上时S与t的函数图象． （1）的长为_______；______． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数．请求出此时S与t的函数解析式． （3）在运动过程中，若存在三个时刻对应面积均相等，且，求的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【特例感知】 在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF与AC相交于点G． （1）①如图①，若E，F分别是AB，AD的中点，则_________． ②如图②，若F是AD的中点，，则_________． 【类比探究】 在菱形ABCD中，，点E，F分别在AB，AD上，对角线AC，BD相交于点O，CF与BD相交于点M，连接EF交AC于点G． （2）①如图③，若E，F分别是AB，AD的中点，求的值； ②如图④，若，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图⑤，在四边形ABCD中，，且，E为AB的中点．若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $