第11讲二元一次方程组单元复习题2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第11讲 二元一次方程组 模块一 认识二元一次方程组 知识清单 知识点1 二元一次方程的概念 1．二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程． 知识点2 二元一次方程组的概念 1．将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组． 注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个． 2．判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数；②含未知数的项的次数是否都是1；③是否含有多个方程组成． 知识点3 二元一次方程的解的概念 1．二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 知识点四 二元一次方程组的解的概念 1．二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解． 2．检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解． 注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解． 题型精讲 考点一：二元一次方程的定义 1．下列方程为二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 考点二：利用二元一次方程的定义求参数 3．若是关于的二元一次方程，则的值是（    ） A．2 B．2或0 C．0 D．任何数 4．是关于x，y的二元一次方程，则（     ） A．2 B．0 C．1 D． 5．若方程是二元一次方程，则 ， ． 考点四：判断是否是二元一次方程的解 6．下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 7．方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 考点五：已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 8．已知是方程的解，则a的值为 ． 9．若是方程的解，则 ． 考点六：判断是否是二元一次方程组的解 10．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（    ） A． B． C． D． 11．解为的方程组可以是（    ） A． B． C． D． 素养提升 考点七：与二元一次方程的定义或解有关的新定义型问题 12．把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”，当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为， 其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值． 课后作业 一、单选题 1．下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．二元一次方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 3．二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知是方程的解，则 ． 5．二元一次方程的自然数解有 组． 6．若是关于的二元一次方程，则 ． 三、解答题 7．某校举办运动会，计划购买奖章颁发给获奖者．已知甲种奖章每个20元，乙种奖章每个35元，若购买甲种奖章x个，乙种奖章y个，需要花费380元． (1)试列出关于x，y的二元一次方程：__________________． (2)当甲种奖章有12个时，求乙种奖章的个数． (3)当乙种奖章有8个时，求甲种奖章的个数． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 模块二 求解二元一次方程组 知识清单 知识点一 代入消元法解二元一次方程组 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程.③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 知识点二 代入加减消元法解二元一次方程组 1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 知识点三 解三元一次方程组 1.三元一次方程组的概念 1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组. 2.解三元一次方程组的方法和步骤 1）步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元 题型精讲 考点一：变换利用一个字母表示另外一个式子 1．将方程变形为用含y的代数式表示x，即 ． 2．若将二元一次方程写成用含的代数式表示的形式，则 ． 考点二：代入消元法解二元一次方程组 3.解方程组： 4．解方程组： 考点三：加减消元法解二元一次方程组 5．用加减法解下列方程组： (1) (2) 6．解方程组： (1) (2) 7．解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 考点四：二元一次方程组的错解复原问题 8．下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 9．下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2，得……③  第一步 ②－③，得  第二步 ．  第三步 将代入①，得．  第四步 所以，原方程组的解为  第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误． (2)请写出此题正确的解答过程． 考点五：已知二元一次方程组解的情况求参数 10．已知关于、的方程组的解是，则 ． 11．已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 考点七：构造二元一次方程组求解 12．已知+=0，则为（　　） A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023 13．若是二元一次方程，那么a、b的值分别是 ． 考点八：同解方程组的问题 14．已知方程组与有相同的解，则 ． 15．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为 ． 课后作业 一、单选题 1．关于x，y的二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．用加减消元法解方程组时，有如下四种解法，甲：，乙：，丙：，丁：：其中不能完成“消元”的是（    ） A．只有甲 B．乙和丙 C．丁和乙 D．丙和丁 3．已知 是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．已知二元一次方程，用含的代数式表示 ． 5．如果实数满足方程组，那么 ． 三、解答题 6．解方程组： (1)； (2)． 7．解方程组 (1)； (2) 8．下面是张亮同学的一道作业题，请认真阅读并完成相应任务． 解：． 第一步：由①得，③； 第二步：将③代入②，得； 第三步：解得； 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为． 任务一：张亮解方程组用的方法是__________________消元法（填“代入”或“加减”）； 任务二：仔细检查后，发现张亮的答案是错误的，他从第__________________步开始出现错误； 任务三：请写出正确的解答过程． 模块一 认识二元一次方程组 参考答案： 1．A 【分析】根据二元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意； B、不是二元一次方程，不符合题意； C、不是二元一次方程，不符合题意； D、不是二元一次方程，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：①方程中只含有2个未知数；②含未知数项的最高次数为一次；③方程是整式方程． 2．D 【分析】根据二元一次方程的定义进行作答即可． 【详解】解：A、的次数是2，故不是二元一次方程； B、不是整式方程，故不是二元一次方程； C、的次数是2，故不是二元一次方程； D、是二元一次方程； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义；含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 3．C 【分析】从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程， ∴且， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 4．B 【分析】利用二元一次方程的定义解答即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键． 5． 【分析】根据二元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴，， 解得，． 故答案为：；． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程是解答此题的关键． 6．A 【分析】代入的值，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键． 7．B 【分析】把各项中的x、y的值代入方程检验即可求解． 【详解】解：A.把代入方程得，，不是方程的解，故不符合题意； B.把代入方程得，，是方程的解，故符合题意； C. 把代入方程得，，不是方程的解，故不符合题意； D. 把代入方程得，，不是方程的解，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解得概念是解题的关键． 8．1 【分析】将方程的解代入方程中求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，则， 故答案为：1． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键． 9． 【分析】把代入方程可得，再解一元一次方程即可． 【详解】∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程的解、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 10．C 【分析】先根据二元一次方程组的定义排除A、D选项，再根据“方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程”即可解答． 【详解】解：A.方程组不是二元一次方程组，不符合题意． B.把代入方程组可得，该数值不满足方程组中的方程． C.把代入方程组，可得这组解满足每一个方程，符合题意． D.方程组不是二元一次方程组，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程组的定义，解决本题的关键是用代入法进行检验． 11．C 【分析】根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可． 【详解】A、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意； B、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意； C、把代入方程方程，左边右边，把代入方程方程，左边右边，故是方程组的解，故选项符合题意； D、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，正确理解定义是关键． 12．(1) (2) 【分析】（1）根据“雅系二元一次方程”的“完美值”定义，将代入方程，然后解关于x的方程即可． （2）根据“雅系二元一次方程”的“完美值”定义，将y=x=2代入“雅系二元一次方程” 中，即可求得m的值． 【详解】（1）根据“雅系二元一次方程”的定义，当时的x值称为“完美值”， ∴化为：． 解得：． 即“雅系二元一次方程”的“完美值”是． （2）根据题意，将代入“雅系二元一次方程”中得， ． ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义及解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的概念正确求解． 课后作业 1．C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义依次判断得到答案． 【详解】解：A、是一元一次方程，故本选项错误； B、是分式方程，故本选项错误； C、是二元一次方程，故本选项正确； D、是二元二次方程，故本选项错误． 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，正确把数据代入计算是解题关键．分别将各选项代入方程进而计算得出答案． 【详解】解：A、把代入方程左边得：，左边右边，故不是方程的解； B、把代入方程左边得：，右边，左边=右边，是方程的解； C、把代入方程左边得：，左边右边，故不是方程的解； D、把代入方程左边得：，左边右边，故不是方程的解； 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．根据二元一次方程组的解法可进行求解． 【详解】解： 得：，解得：， 把代入①得： ， ∴原方程组的解为； 故选B． 4．1 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解与方程的关系，并能准确代入求值是解题的关键． 将代入即可求的值． 【详解】解：将代入，可得 ， 解得：， 故答案为：1． 5．3 【分析】本题考查二元一次方程的自然数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有自然数值，再求出另一个未知数的值，即可解题． 【详解】解：， ， ， 二元一次方程的自然数解有，，，共组， 故答案为：3． 6． 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，绝对值的意义，解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， ∴， 故答案为：． 7．(1) (2)4个 (3)5个 【分析】本题考查了列二元一次方程以及解一元一次方程的知识， （1）依据题意直接列式即可； （2）令，代入（1）的方程，解出即可作答； （3）令，代入（1）的方程，解出即可作答； 【详解】（1）根据题意有：， 故答案为：； （2）令，则有， 解得：， 即乙种奖章的个数为4个； （3）令，则有， 解得：， 即甲种奖章的个数为5个 求解二元一次方程组 参考答案： 1．## 【分析】此题考查了解二元一次方程，把y看作已知数求出x即可． 【详解】方程， 移项得：． 故答案为：． 2． 【分析】本题考查了代入消元法，利用等式的基本变形，移项、系数化为即可，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 系数化为得，， 故答案为：． 3． 【分析】先将②代入①求出的值，将的值代入②，即可求解． 【详解】 解：将②代入①得 ，                 解得，                     将代入②得 ，                     原方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握解法是解题的关键． 4．． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，方程组利用代入消元法求出解即可，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解： 把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∴这个方程组的解为：． 5．(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． （1）两个方程相加，即可消去未知数，求出未知数，再代入求出的值即可； （2）①②，即可消去未知数，求出未知数，再代入求出的值即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 故原方程组的解为； （2）解：， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 故原方程组的解为． 6．(1) (2) 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）原方程组整理得，，然后根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解： 得， 解得： 将代入②得， ∴方程组的解为： （2）解： 原方程组整理得， 得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴ 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 7．(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法求解即可； （2）先化简，然后用加减消元法求解即可． 【详解】（1）， ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴， ∴； （2） 化简，得 ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 8．任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号（言之成理即可）；任务三：过程见解析． 【分析】根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，小亮用的方法是代入消元； 但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号； 正确的解答过程：由①得 ③ 将③代入②得 解得，代入③，解得 ∴原方程组的解为： 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键． 9．(1)加减消元法，第四步 (2)见解析 【分析】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算． （2）按照解方程组的步骤求解即可 【详解】（1）根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错， 故答案为：加减消元法，第四步． （2）方程组： 解：①×2，得……③  ， ②－③，得 ， 解得．   将代入①，得3． 解得x=． 所以，原方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键． 10．3 【分析】将方程组的解代入方程组得：，两式相加即可得出答案． 【详解】解：将方程组的解代入方程组得：， 两式相加得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，考查整体思想，两式相加直接求出的值是解题的关键． 11．2 【分析】两个方程相减可得，即可求解． 【详解】 解：得 ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了利用二元一次方程组的解求参数的值，掌握解法是解题的关键． 12．A 【分析】根据两个非负数的和为0，两个数均为0列二元一次方程组并求解，然后代入求值即可； 【详解】解：∵+=0， ∴ 联立方程组得：解得： 代入得： 故选A； 【点睛】本题考查了两个非负数的和为0，两个加数分别为0，涉及了二元一次方程组等知识，掌握并熟练使用相关知识，认真计算是本题的解题关键 13．， 【分析】依据二元一次方程的未知数的次数为1列出方程组求解即可． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，依据二元一次方程的未知数的次数为1列出方程组是解题的关键． 14．4 【分析】根据题意，重新构造新的方程组，解出x，y的值，再代入，得出m，n的值． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴联立方程组， 解得， 将代入，， 解得， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组，代入求值是解题的关键． 15．1 【分析】本题考查的是同解方程组，二元一次方程组的解法，利用同解的含义重组方程组是解题的关键．把方程组中的两个已知方程组合可得，解方程组可得：，再代入另外两个方程，求解 从而可得答案． 【详解】解：根据题意得： ①②： 把代入①： 把代入得 解得： ； 故答案为： 课后作业 1．D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 则方程组的解为， 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据加减消元法进行计算即可求解． 【详解】解： 甲：，得不能消元，符合题意； 乙：，得能消去，不合题意； 丙：，得，能消去，不合题意； 丁：：得，能消去，不合题意； 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据题意求出的值是解题的关键．将代入二元一次方程组可得：，计算出的值即可得到答案． 【详解】解：将代入二元一次方程组可得：， 解得：， ， 故选：D． 4． 【分析】本题主要考查解二元一次方程，掌握等式的性质是解题的关键． 将x看作已知数，解关于y的一元一次方程即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 5．8 【分析】本题考查解二元一次方程组及代数式求值，先利用加减消元法求出实数，将他们代值代数式即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①②得； 将代入②得； ， 故答案为：8． 6．(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入法和加减法两种． （1）把①代入②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）得出，求出，再把代入求出即可． 【详解】（1）解： 把①代入②，得， 解得：， 把代入①，得， 所以方程组的解是； （2）， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以方程组的解是． 7．(1)； (2)． 【分析】（）利用代入法解答即可求解； （）利用加减法解答即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 把代入得，， 解得， 把代入得，， ∴方程组的解为； （2）解：， 得，， 得，， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为． 8．任务一：代入；任务二：二；任务三：过程见解析， 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键． 根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案． 【详解】解：任务一：根据题意可得，用的方法是代入消元法； 故答案为：代入； 任务二：但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号； 任务三：正确的解答过程：由①得 ③ 将③代入②得， 解得，代入③，解得， ∴原方程组的解为： ． 8 1 学科网（北京）股份有限公司 $